第二講線性規(guī)劃與靈敏分析演示文稿

第二講線性規(guī)劃與靈敏度分析演示文稿目前一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)（優(yōu)選）第二講線性規(guī)劃與靈敏度分析目前二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)本章主要內(nèi)容框架圖目前三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.1線性規(guī)劃靈敏度分析在第1章的討論中，假定以下的線性規(guī)劃模型中的各個(gè)系數(shù)cj、bi、aij是確定的常數(shù)，并根據(jù)這些數(shù)據(jù)，求得最優(yōu)解。目前四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.1線性規(guī)劃靈敏度分析其實(shí)，系數(shù)cj、bi、aij都有可能變化，因此，需要進(jìn)行進(jìn)一步的分析，以決定是否需要調(diào)整決策。靈敏度分析研究的另一類問(wèn)題是探討在原線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)變量或者一個(gè)約束條件對(duì)最優(yōu)解的影響。目前五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.1線性規(guī)劃靈敏度分析對(duì)例1.1進(jìn)行靈敏度分析最優(yōu)解為（2，6），Maxz＝3600目前六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.1線性規(guī)劃靈敏度分析問(wèn)題1：如果門的單位利潤(rùn)由原來(lái)的300元提升到500元，最優(yōu)解是否會(huì)改變？對(duì)總利潤(rùn)又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響?問(wèn)題2：如果門和窗的單位利潤(rùn)都發(fā)生變化，最優(yōu)解會(huì)不會(huì)發(fā)生改變？對(duì)總利潤(rùn)又會(huì)產(chǎn)生怎樣的影響?問(wèn)題3：如果車間2的可用工時(shí)增加1個(gè)小時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?問(wèn)題4：如果同時(shí)改變多個(gè)車間的可用工時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?問(wèn)題5：如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來(lái)的2小時(shí)下降到1.5小時(shí),最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變？總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？問(wèn)題6：工廠考慮增加一種新產(chǎn)品，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？問(wèn)題7：如果工廠新增加用電限制，是否會(huì)改變?cè)瓉?lái)的最優(yōu)方案？目前七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)下面討論在假定只有一個(gè)系數(shù)cj改變，其他系數(shù)均保持不變的情況下，目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)對(duì)最優(yōu)解的影響。如果當(dāng)初對(duì)門的單位利潤(rùn)估計(jì)不準(zhǔn)確，如把它改成500元，是否會(huì)影響求得的最優(yōu)解呢？方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”尋找允許變化范圍目前八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）可以借助電子表格互動(dòng)地展開(kāi)靈敏度分析。當(dāng)模型參數(shù)發(fā)生改變時(shí)，只要改變電子表格模型中相應(yīng)的參數(shù)，再通過(guò)重新運(yùn)行Excel“規(guī)劃求解”工具，就可以看出改變參數(shù)對(duì)最優(yōu)解的影響。需要一個(gè)一個(gè)地進(jìn)行嘗試，效率略顯低下目前九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”尋找允許變化范圍生成“敏感性報(bào)告”讀懂相應(yīng)的信息目前十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)結(jié)果：最優(yōu)解沒(méi)有發(fā)生改變，仍然是（2，6）由于門的單位利潤(rùn)增加了200元，因此總利潤(rùn)增加了（500－300）×2＝400元。目前十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.2單個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)變動(dòng)圖解法（直觀）可以看到，

最優(yōu)解（2，6）保持不變

目前十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)假如，以前把門的單位利潤(rùn)（300元）估計(jì)低了，現(xiàn)在把門的單位利潤(rùn)定為450元；同時(shí)，以前把窗的單位利潤(rùn)（500元）估計(jì)高了，現(xiàn)在定為400元。這樣的變動(dòng)，是否會(huì)導(dǎo)致最優(yōu)解發(fā)生變化呢？方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析（百分之百法則）目前十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）可以看到，最優(yōu)解并沒(méi)有發(fā)生變化，總利潤(rùn)由于門和窗的單位利潤(rùn)的改變相應(yīng)地改變了(450－300)×2＋(400－500)×6＝－300目前十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析百分之百法則:如果目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算出每一系數(shù)變動(dòng)量占該系數(shù)允許變動(dòng)量（允許的增量或允許的減量）的百分比，而后，將各個(gè)系數(shù)的變動(dòng)百分比相加，如果所得的和不超過(guò)100%，則最優(yōu)解不會(huì)改變；如果超過(guò)100%，則不能確定最優(yōu)解是否改變，只能通過(guò)重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具來(lái)判斷了目前十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.3多個(gè)目標(biāo)函數(shù)系數(shù)同時(shí)變動(dòng)但是變動(dòng)百分比之和超過(guò)100%并不一定表示最優(yōu)解會(huì)改變。例如，門和窗的單位利潤(rùn)都減半變動(dòng)百分比超過(guò)了100%，但從右圖看最優(yōu)解還是（2，6），沒(méi)有發(fā)生改變。這是由于這兩個(gè)單位利潤(rùn)同比例變動(dòng)，等利潤(rùn)直線的斜率不變，因此最優(yōu)解就不變。目前十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.4單個(gè)約束右端值變動(dòng)單個(gè)約束右端值變動(dòng)對(duì)目標(biāo)值的影響如果車間2的可用工時(shí)增加1個(gè)小時(shí)，總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？如何改變?最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）方法2：從“敏感性報(bào)告”中獲得關(guān)鍵信息（影子價(jià)格，ShadowPrice）目前十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.4單個(gè)約束右端值變動(dòng)方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）總利潤(rùn)為3750元，增加了：3750-3600=150元。由于總利潤(rùn)增加了，而目標(biāo)函數(shù)系數(shù)不變，所以最優(yōu)解一定會(huì)發(fā)生改變，從圖中可以看出，最優(yōu)解由原來(lái)的（2，6）變?yōu)椋?.667，6.5）

目前十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.4單個(gè)約束右端值變動(dòng)方法2：從“敏感性報(bào)告”中獲得關(guān)鍵信息在給定線性規(guī)劃模型的最優(yōu)解和相應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值的條件下，影子價(jià)格（ShadowPrice）是指約束右端值增加（或減少）一個(gè)單位，目標(biāo)值增加（或減少）的數(shù)量第二個(gè)約束條件（車間2的工時(shí)約束）的影子價(jià)格是150，說(shuō)明在允許的范圍[6，18]（即[12-6，12+6]）內(nèi)，再增加（或減少）一個(gè)單位的可用工時(shí)，總利潤(rùn)將增加（或減少）150

目前十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.4單個(gè)約束右端值變動(dòng)圖解法（直觀）可以看到，

在這個(gè)范圍內(nèi)，每次車間的約束右端值增加（或減少）1，交點(diǎn)的移動(dòng)就使利潤(rùn)增長(zhǎng)（或減少）影子價(jià)格的數(shù)量（150元）目前二十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.5多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)對(duì)目標(biāo)值的影響將1個(gè)小時(shí)的工時(shí)從車間3移到車間2，對(duì)總利潤(rùn)所產(chǎn)生的影響方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析（百分之百法則）目前二十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.5多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)方法1：使用電子表格進(jìn)行分析（重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具）總利潤(rùn)增加了3650-3600=50（元），影子價(jià)格有效。目前二十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.5多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)方法2：運(yùn)用“敏感性報(bào)告”進(jìn)行分析百分之百法則：如果約束右端值同時(shí)變動(dòng)，計(jì)算每一變動(dòng)占允許變動(dòng)量（允許的增量或允許的減量）的百分比，如果所有的百分比之和不超過(guò)100%，那么，影子價(jià)格依然有效，如果所有的百分比之和超過(guò)100％，那就無(wú)法確定影子價(jià)格是否依然有效，只能通過(guò)重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具來(lái)判斷了目前二十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.5多個(gè)約束右端值同時(shí)變動(dòng)在影子價(jià)格有效范圍內(nèi)，總利潤(rùn)的變化量可以直接通過(guò)影子價(jià)格來(lái)計(jì)算。比如將車間3的3個(gè)工時(shí)轉(zhuǎn)移給車間2，由于所以，總利潤(rùn)的變化量為目前二十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.6約束條件系數(shù)變化如果車間2更新生產(chǎn)工藝，生產(chǎn)一扇窗戶由原來(lái)的2小時(shí)下降到1.5小時(shí),最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生改變？總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具)重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具后，最優(yōu)解發(fā)生了改變，變成了（2/3，8），總利潤(rùn)也由3600元增加到了4200元?？梢?jiàn)，車間2更新生產(chǎn)工藝后，為工廠增加了利潤(rùn)。目前二十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.7增加一個(gè)新變量例2.1如果工廠考慮增加一種新產(chǎn)品：防盜門，其單位利潤(rùn)為400元。生產(chǎn)一個(gè)防盜門會(huì)占用車間1、車間2、車間3各2、1、1工時(shí),總利潤(rùn)是否會(huì)發(fā)生變化？使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具)最優(yōu)解(2,5.5,1）,最大利潤(rùn)是3750元?？梢?jiàn)新產(chǎn)品為工廠增加了利潤(rùn)目前二十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.8增加一個(gè)約束條件比如工廠關(guān)心電力供應(yīng)限制(例2.2假定生產(chǎn)兩種新產(chǎn)品每件需要消耗電力分別為20kw、10kw，工廠總供電最多為90kw),最優(yōu)解是否會(huì)發(fā)生變化?使用電子表格進(jìn)行分析(重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具)可見(jiàn)電力約束的確限制了新產(chǎn)品門和窗的產(chǎn)量，最優(yōu)解變成(1.5,6),總利潤(rùn)也相應(yīng)的下降為3450元。目前二十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格（1）影子價(jià)格是根據(jù)資源在生產(chǎn)中作出的貢獻(xiàn)而做的估價(jià)。它是一種邊際價(jià)格，其值相當(dāng)于在資源得到最優(yōu)利用的生產(chǎn)條件下，資源（約束右端值）每增加一個(gè)單位時(shí)目標(biāo)函數(shù)值的增加量；（2）影子價(jià)格的經(jīng)濟(jì)意義和應(yīng)用目前二十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格資源的影子價(jià)格實(shí)際上是一種機(jī)會(huì)成本。在純市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)條件下，當(dāng)資源的市場(chǎng)價(jià)格低于影子價(jià)格時(shí)，可以買進(jìn)這種資源，反之，可以賣出。隨著資源的買進(jìn)和賣出，它的影子價(jià)格也將隨之發(fā)生改變，一直到影子價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格保持同等水平，才處于平衡狀態(tài)。當(dāng)資源的影子價(jià)格為0時(shí)，表明該種資源未得到充分利用。當(dāng)資源的影子價(jià)格不為0時(shí)，表明該種資源在生產(chǎn)中已耗費(fèi)完畢?？梢岳糜白觾r(jià)格計(jì)算產(chǎn)品的隱含成本（單位資源消耗量×相應(yīng)的影子價(jià)格后求和）。當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)值大于隱含成本時(shí)，表明生產(chǎn)該產(chǎn)品有利，可計(jì)劃安排生產(chǎn)；否則用這些資源生產(chǎn)別的產(chǎn)品更為有利。目前二十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格一般來(lái)說(shuō)，對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題的求解就是確定資源的最優(yōu)分配方案，所以對(duì)資源的估計(jì)直接涉及到資源的最有效利用。如在大公司內(nèi)部，可借助資源的影子價(jià)格確定一些內(nèi)部結(jié)算價(jià)格，以便控制有限資源的使用和考核企業(yè)經(jīng)營(yíng)的好壞。又如在社會(huì)上可對(duì)一些最緊缺的資源，借助影子價(jià)格規(guī)定使用這種資源一個(gè)單位必須上交的利潤(rùn)額，以使一些經(jīng)濟(jì)效益低的企業(yè)自覺(jué)地節(jié)約使用緊缺資源，使有限資源發(fā)揮更大的經(jīng)濟(jì)效益。目前三十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格例2.3

某文教用品廠利用原材料白坯紙生產(chǎn)原稿紙、日記本和練習(xí)本三種產(chǎn)品。該廠現(xiàn)有工人100人，每天白坯紙的供應(yīng)量為30000千克。如果單獨(dú)生產(chǎn)各種產(chǎn)品時(shí)，每個(gè)工人每天可生產(chǎn)原稿紙30捆、或日記本30打，或練習(xí)本30箱。已知原材料消耗為：每捆原稿紙用白坯紙10/3千克、每打日記本用白坯紙40/3千克，每箱練習(xí)本用白坯紙80/3千克。已知生產(chǎn)各種產(chǎn)品的盈利為：每捆原稿紙1元、每打日記本2元，每箱練習(xí)本3元。試討論在現(xiàn)有生產(chǎn)條件下使該廠盈利最大的方案。如白坯紙供應(yīng)量不變，而工人數(shù)量不足時(shí)，可從市場(chǎng)上招收臨時(shí)工，臨時(shí)工費(fèi)用為每人每天15元，問(wèn)該廠是否招臨時(shí)工及招收多少人為宜。目前三十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格設(shè)該廠每天生產(chǎn)原稿紙x1捆、日記本x2打、練習(xí)本x3箱目前三十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格Excel求解結(jié)果為：生產(chǎn)原稿紙1000捆，日記本2000打，練習(xí)本不生產(chǎn)，此時(shí)的總利潤(rùn)最大，為5000元目前三十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格生成“敏感性報(bào)告”工人約束的影子價(jià)格為20元，與臨時(shí)工每人每天費(fèi)用15元相比，影子價(jià)格要大，所以每招一名臨時(shí)工，能為工廠多盈利20-15=5（元），招收的人數(shù)在允許的增量200人范圍內(nèi)當(dāng)工人數(shù)量不足時(shí)，可從市場(chǎng)上招收臨時(shí)工，最多招收200人為宜目前三十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格（補(bǔ)充）補(bǔ)充某外貿(mào)公司準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)兩種產(chǎn)品A1和A2。購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品A1每件需要10元，占用5m3的空間，待每件A1賣出后，可獲純利潤(rùn)3元；購(gòu)進(jìn)產(chǎn)品A2每件需要15元，占用3m3的空間，待每件A2賣出后，可獲純利潤(rùn)4元。公司現(xiàn)有資金1400元，有430m3的倉(cāng)庫(kù)空間存放產(chǎn)品。試討論在現(xiàn)有條件下使該公司盈利最大的方案。現(xiàn)在公司有另外一筆資金585元，準(zhǔn)備用于投資。這筆資金可以用來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品A1、A2，也可以用來(lái)增加倉(cāng)庫(kù)的容量（假設(shè)增加1m3的倉(cāng)庫(kù)空間需要0.8元）。問(wèn)應(yīng)如何進(jìn)行投資使公司獲得更多的利潤(rùn)。目前三十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格（補(bǔ)充）－續(xù)設(shè)公司購(gòu)進(jìn)A1產(chǎn)品x1件、A2產(chǎn)品x2件目前三十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格（補(bǔ)充）－續(xù)Excel求解結(jié)果為：最優(yōu)方案是購(gòu)進(jìn)A1產(chǎn)品50件、A2產(chǎn)品60件，此時(shí)的總利潤(rùn)最大，為390元。目前三十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)2.9影子價(jià)格（補(bǔ)充）－續(xù)生成“敏感性報(bào)告”資金約束的影子價(jià)格約為0.24元，而空間約束的影子價(jià)格約為0.11元（每1元資金投資空間的收益約為0.14元，0.11/0.8）。由于資金約束的影子價(jià)格大，所以這筆資金可以直接用來(lái)購(gòu)買產(chǎn)品，585元在允許的增量750元范圍內(nèi)，可以增加利潤(rùn)為：585×0.244=143元。購(gòu)買方案為（11，125）目前三十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)上機(jī)實(shí)驗(yàn)二線性規(guī)劃靈敏度分析（一）實(shí)驗(yàn)?zāi)康模赫莆帐褂肊xcel軟件進(jìn)行靈敏度分析的操作方法。（二）內(nèi)容和要求：用Excel軟件完成習(xí)題2.4、案例2（三）操作步驟：（1）建立電子表格模型；（2）使用Excel規(guī)劃求解工具求解問(wèn)題并生成“敏感性報(bào)告”；（3）結(jié)果分析：哪些問(wèn)題可以直接利用“敏感性報(bào)告”中的信息求解，哪些問(wèn)題需要重新運(yùn)行“規(guī)劃求解”工具，并對(duì)結(jié)果提出你的看法；（4）在Excel或Word文檔中寫實(shí)驗(yàn)報(bào)告，包括線性規(guī)劃模型、電子表格模型、敏感性報(bào)告內(nèi)容和結(jié)果分析等。目前三十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)案例2經(jīng)理會(huì)議建議的分析案例2

某公司生產(chǎn)三種產(chǎn)品A1、A2、A3，它們?cè)贐1、B2兩種設(shè)備上加工，并耗用C1、C2兩種原材料，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品耗用的工時(shí)和原材料以及設(shè)備和原材料的最多可使用量如表C-7所示。表C-7生產(chǎn)三種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)資源產(chǎn)品A1產(chǎn)品A2產(chǎn)品A3每天最多可使用量設(shè)備B1（min）121430設(shè)備B2（min）302460原料C1（kg）140420原料C2（kg）111300每件利潤(rùn)（元）302050目前四十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)第3章線性規(guī)劃的建模與應(yīng)用LinearProgrammingFormulationandApplications目前四十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)本章內(nèi)容要點(diǎn)線性規(guī)劃問(wèn)題的四種主要類型線性規(guī)劃的建模與應(yīng)用目前四十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)本章節(jié)內(nèi)容3.1資源分配問(wèn)題3.2成本收益平衡問(wèn)題3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題3.4混合問(wèn)題3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用目前四十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)本章主要內(nèi)容框架圖目前四十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題資源分配問(wèn)題是將有限的資源分配到各種活動(dòng)（決策）中去的線性規(guī)劃問(wèn)題。這一類問(wèn)題的共性是在線性規(guī)劃模型中每一個(gè)函數(shù)約束均為資源約束,并且每一種資源都可以表現(xiàn)為如下的形式：使用的資源數(shù)量可用的資源數(shù)量對(duì)任何資源分配問(wèn)題，有三種數(shù)據(jù)必須收集：（1）每種資源的可供量；（2）每一種活動(dòng)所需要的各種資源的數(shù)量,對(duì)于每一種資源與活動(dòng)的組合,單位活動(dòng)所消耗的資源量必須首先估計(jì)出來(lái)；（3）每一種活動(dòng)對(duì)總的績(jī)效測(cè)度（如總利潤(rùn)）的單位貢獻(xiàn)（如單位利潤(rùn)）。目前四十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題例3.1

某公司是商務(wù)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)項(xiàng)目的主要投資商。目前，該公司有機(jī)會(huì)在三個(gè)建設(shè)項(xiàng)目中投資： 項(xiàng)目1：建造高層辦公樓； 項(xiàng)目2：建造賓館； 項(xiàng)目3：建造購(gòu)物中心。每個(gè)項(xiàng)目都要求投資者在四個(gè)不同的時(shí)期投資：在當(dāng)前預(yù)付定金，以及一年、二年、三年后分別追加投資。表3-1顯示了四個(gè)時(shí)期每個(gè)項(xiàng)目所需資金（百萬(wàn)元）。投資者可以按一定的比例進(jìn)行投資和獲得相應(yīng)比例的收益。年份辦公樓項(xiàng)目賓館項(xiàng)目購(gòu)物中心項(xiàng)目0（現(xiàn)在）408090160805029080203107060凈現(xiàn)值457050公司目前有2500萬(wàn)元資金可供投資，預(yù)計(jì)一年后，又可獲得2000萬(wàn)元，兩年后獲得另外的2000萬(wàn)元，三年后還有1500萬(wàn)元以供投資。那么，該公司要在每個(gè)項(xiàng)目中投資多少比例，才能使其投資組合獲得最大的總凈現(xiàn)值？目前四十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題解：這是一個(gè)資源分配問(wèn)題。(1)決策變量設(shè)：x1，x2，x3分別為在辦公樓項(xiàng)目、賓館項(xiàng)目、購(gòu)物中心項(xiàng)目中的投資比例(2)目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是總凈現(xiàn)值最大目前四十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題(3)約束條件本題的約束條件是公司在各期可獲得的資金限制（資源約束）。但要注意的是：前一期尚未使用的資金，可以在下一期使用（為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，不考慮資金可獲得的利息）。因此，每一時(shí)點(diǎn)的資金限制就表現(xiàn)為累計(jì)的資金。表3-2顯示了累計(jì)的資金數(shù)據(jù)。年份辦公樓項(xiàng)目賓館項(xiàng)目購(gòu)物中心項(xiàng)目可用資金0（現(xiàn)在）40809025110016014045219024016065320031022080凈現(xiàn)值457050目前四十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前四十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.1資源分配問(wèn)題電子表格模型目前五十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)補(bǔ)充：例3.1的解法2例3.1還可用另外一種解法，引入剩余變量si。數(shù)學(xué)模型為：目前五十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)補(bǔ)充：例3.1的解法2例3.1還可用另外一種解法，引入剩余變量si。電子表格模型為：注意：在“規(guī)劃求解”中，決策變量不連續(xù)時(shí)，用;隔開(kāi)目前五十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題成本收益平衡問(wèn)題與資源分配問(wèn)題的形式完全不同，這種差異主要是因?yàn)閮煞N問(wèn)題的管理目標(biāo)不同而造成的。在資源分配問(wèn)題中，各種資源是受限制的因素（包括財(cái)務(wù)資源），問(wèn)題的目標(biāo)是最有效地利用各種資源，使獲利最大。而對(duì)于成本收益平衡問(wèn)題，管理層采取更為主動(dòng)的姿態(tài)，他們指明哪些收益必須實(shí)現(xiàn)（不管如何使用資源），并且要以最低的成本實(shí)現(xiàn)所指明的收益。這樣，通過(guò)指明每種收益的最低可接受水平，以及實(shí)現(xiàn)這些收益的最小成本，管理層期望獲得成本和收益之間的適度平衡。因此，成本收益平衡問(wèn)題是一類線性規(guī)劃問(wèn)題，這類問(wèn)題中，通過(guò)選擇各種活動(dòng)水平的組合，從而以最小的成本來(lái)實(shí)現(xiàn)最低可接受的各種收益水平。目前五十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題成本收益平衡問(wèn)題的共性是，所有的函數(shù)約束均為收益約束，并具有如下的形式：

完成的水平最低可接受的水平如果將收益的含義擴(kuò)大，所有以“”表示的函數(shù)約束均為收益約束。在多數(shù)情況下，最低可接受的水平是作為一項(xiàng)政策由管理層制定的，但有時(shí)這一數(shù)據(jù)也可能是由其他條件決定。成本收益平衡問(wèn)題需要的三種數(shù)據(jù)：（1）每種收益的最低可接受水平（管理決策）；（2）每一種活動(dòng)對(duì)每一種收益的貢獻(xiàn)（單位活動(dòng)的貢獻(xiàn)）；（3）每種活動(dòng)的單位成本。目前五十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題排班問(wèn)題是成本收益平衡問(wèn)題研究的最重要的應(yīng)用領(lǐng)域之一。在這一領(lǐng)域中，管理層意識(shí)到在向顧客提供令人滿意的服務(wù)水平的同時(shí)必須進(jìn)行成本控制，因此，必須尋找成本和收益之間的平衡。于是，研究如何規(guī)劃每個(gè)輪班人員才能以最小的成本提供令人滿意的服務(wù)。例3.2

某航空公司正準(zhǔn)備增加其中心機(jī)場(chǎng)的往來(lái)航班，因此需要雇傭更多的服務(wù)人員。不同時(shí)段有最少需要服務(wù)人員數(shù)，有5種排班方式，每8小時(shí)為一班。目前五十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題例3.2（續(xù)）5種排班方式排班1：6AM～2PM，即早上6點(diǎn)上班；排班2：8AM～4PM，即早上8點(diǎn)上班；排班3：中午～8PM，即中午12點(diǎn)上班；排班4：4PM～午夜，即下午4點(diǎn)上班；排班5：10PM～6M，即晚上10點(diǎn)上班。時(shí)段排班1排班2排班3排班4排班5最少需要人數(shù)6AM～8AM√488AM～10AM√√7910AM～中午√√65中午～2PM√√√872PM～4PM√√644PM～6PM√√736PM～8PM√√828PM～10PM√4310PM～午夜√√52午夜～6PM√15每人每天工資(元)170160175180195目前五十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題解:這是一個(gè)純成本收益平衡問(wèn)題。（1）決策變量本問(wèn)題的決策是不同排班的人數(shù)。設(shè)：xi為排班i的人數(shù)(i＝1,2,,5)（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是人員總費(fèi)用（工資）最少，即（3）約束條件①每個(gè)時(shí)段的在崗人數(shù)必須不少于最低可接受水平（最少需要人數(shù)）②非負(fù)目前五十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前五十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.2成本收益平衡問(wèn)題電子表格模型目前五十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題通過(guò)配送網(wǎng)絡(luò)能以最小的成本完成貨物的配送，所以稱之為網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題。網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題將在第4章和第5章中重點(diǎn)介紹。與確定資源和收益一樣，在網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題中，必須確定需求以及相應(yīng)地確定需求的約束條件。確定需求約束的形式如下：提供的數(shù)量＝需求的數(shù)量目前六十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題例3.3

某公司網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題。某公司在兩個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品?，F(xiàn)在收到三個(gè)顧客的下個(gè)月定單要購(gòu)買這種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品會(huì)被單獨(dú)運(yùn)送，表3-4顯示了從每個(gè)工廠到每個(gè)顧客的運(yùn)送一個(gè)產(chǎn)品的成本。該表同樣表明了每個(gè)顧客的訂貨量和每個(gè)工廠的生產(chǎn)量?，F(xiàn)在公司的物流經(jīng)理要決定從每個(gè)工廠運(yùn)送多少個(gè)產(chǎn)品到每個(gè)顧客那里才能使總成本最小？

單位運(yùn)輸成本（元/個(gè)）產(chǎn)量（個(gè)）顧客1顧客2顧客3工廠170090080012工廠280090070015訂貨量(個(gè))108927(產(chǎn)銷平衡)目前六十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題解:由于“總產(chǎn)量（27）＝總訂貨量（27）”，所以本問(wèn)題是一個(gè)平衡運(yùn)輸問(wèn)題。（1）決策變量本問(wèn)題的決策為從每個(gè)工廠運(yùn)送多少個(gè)產(chǎn)品到每個(gè)顧客那里。設(shè)：xi-j為從工廠i運(yùn)輸?shù)筋櫩蚸的產(chǎn)品數(shù)量（i＝F1,F2;j=C1,C2,C3)（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使得公司總運(yùn)輸成本最低.（3）約束條件①?gòu)墓S運(yùn)送出去的產(chǎn)品數(shù)量等于其產(chǎn)量②顧客收到的產(chǎn)品數(shù)量等于其訂貨量③非負(fù)目前六十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前六十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.3網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題電子表格模型目前六十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題前面討論了線性規(guī)劃問(wèn)題的三種類型：資源分配問(wèn)題、成本收益平衡問(wèn)題以及網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題。如表3-5所總結(jié)的，每一類問(wèn)題都是以一類約束條件為特色的。實(shí)際上，純資源分配問(wèn)題的共性是它所有的函數(shù)約束均為資源約束（≤）而成本收益平衡問(wèn)題的共性是它所有的函數(shù)約束均為收益約束（）網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題中，主要的函數(shù)約束為一特定類型的確定需求約束（＝）目前六十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題但許多線性規(guī)劃問(wèn)題并不能直接歸入三類中的某一類，一些問(wèn)題勉強(qiáng)可以歸入一類，因其主要的函數(shù)約束與表3-5的相應(yīng)函數(shù)約束大致相同。另一些問(wèn)題卻沒(méi)有一類占主導(dǎo)地位的函數(shù)約束，不能歸入前三類中的某一類。因此，混合問(wèn)題是第四類線性規(guī)劃問(wèn)題，這一類型將包括所有未歸入前述三類中的線性規(guī)劃問(wèn)題。一些混合問(wèn)題僅包含兩類函數(shù)約束，而更多的是包含三類函數(shù)約束。目前六十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題表3-5各類函數(shù)約束類型形式*解釋主要用于資源約束LHSRHS對(duì)于特定的資源使用的數(shù)量

可獲得的數(shù)量資源分配問(wèn)題混合問(wèn)題收益約束LHSRHS對(duì)于特定的收益到達(dá)的水平

最低可接受水平成本收益平衡問(wèn)題混合問(wèn)題確定需求約束LHS=RHS對(duì)于一些數(shù)量提供的數(shù)量=需求的數(shù)量網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題混合問(wèn)題*LHS=左式（一個(gè)SUMPRODUCT函數(shù)）

RHS=右式（一般為常數(shù)）目前六十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題配料問(wèn)題。這類問(wèn)題的一般提法是：由多種原料制成含有m種成分的產(chǎn)品，已知產(chǎn)品中所含各種成分的比例要求、各種原料的單位價(jià)格以及各原料所含成分的數(shù)量?？紤]的問(wèn)題是：應(yīng)如何配料，可使產(chǎn)品的總成本最低。例3.4配料問(wèn)題。某公司計(jì)劃要用Ａ、Ｂ、C三種原料混合調(diào)制出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，產(chǎn)品的規(guī)格要求和單價(jià)、原料的供應(yīng)量和單價(jià)等數(shù)據(jù)如表3-6所示。問(wèn)：該公司應(yīng)如何安排生產(chǎn)，可使總利潤(rùn)最大？目前六十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題表3-6混合配料數(shù)據(jù)表ABC產(chǎn)品單價(jià)（元/千克）甲50%35%不限90乙40%45%不限85丙30%50%20%65原料供應(yīng)量（千克）200150100原料單價(jià)（元/千克）603530目前六十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題解：（1）決策變量

本問(wèn)題的難點(diǎn)在于給出的數(shù)據(jù)是非確定數(shù)值，而且各產(chǎn)品與原料的關(guān)系較為復(fù)雜。為了方便，設(shè)xij表示原料i（i=A，B，C）用于產(chǎn)品j（j=1為甲，j=2為乙，j=3為丙）的數(shù)量。（2）目標(biāo)函數(shù) 本問(wèn)題的目標(biāo)是使總利潤(rùn)最大總利潤(rùn)＝產(chǎn)品收入－原料支出目前七十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題（3）約束條件本題的約束條件：原料供應(yīng)量限制3個(gè)、規(guī)格要求7個(gè)和決策變量非負(fù)。在例3.4中，有9個(gè)決策變量和10個(gè)函數(shù)約束條件，包括5個(gè)資源約束、2個(gè)收益約束和3個(gè)確定需求約束。目前七十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.4混合問(wèn)題電子表格模型目前七十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用前面按照函數(shù)約束的分類，介紹了四種線性規(guī)劃問(wèn)題：資源分配問(wèn)題（,資源約束）成本收益平衡問(wèn)題（，收益約束）網(wǎng)絡(luò)配送問(wèn)題（=，確定需求約束）混合問(wèn)題（包含兩種或三種類型的約束函數(shù)）本節(jié)按照應(yīng)用方面介紹線性規(guī)劃在生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題、資金管理問(wèn)題、市場(chǎng)調(diào)查問(wèn)題和混合配料問(wèn)題等方面的應(yīng)用目前七十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用建立線性規(guī)劃模型的過(guò)程可以分為四個(gè)步驟：設(shè)立決策變量；用決策變量的線性函數(shù)表示目標(biāo)，并確定是求最大（Max）還是最?。∕in）；明確約束條件并用決策變量的線性等式或不等式表示；根據(jù)決策變量的物理性質(zhì)研究變量是否有非負(fù)性。目前七十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用生產(chǎn)計(jì)劃問(wèn)題是企業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中常常遇到的問(wèn)題，其中最簡(jiǎn)單的一種形式可以描述如下（資源分配問(wèn)題）：

用若干種原材料（資源）生產(chǎn)某幾種產(chǎn)品，原材料（或某種資源）供應(yīng)量有一定的限制，要求制定一個(gè)產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，使其在給定的資源限制條件下能得到最大收益。目前七十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.5

某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，都要經(jīng)過(guò)鑄造、機(jī)加工和裝配三個(gè)車間。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。有關(guān)情況的數(shù)據(jù)如表3-9所示。問(wèn)：公司為了獲得最大利潤(rùn)，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件由本公司鑄造和由外包協(xié)作各應(yīng)多少件？目前七十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用表3-9自行生產(chǎn)或外包的有關(guān)數(shù)據(jù)產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品丙工時(shí)限制單件鑄造工時(shí)（小時(shí)）51078000單件機(jī)加工工時(shí)（小時(shí)）64812000單件裝配工時(shí)（小時(shí)）32210000自產(chǎn)鑄件成本（元/件）354外協(xié)鑄件成本（元/件）56－機(jī)加工成本（元/件）213裝配成本（元/件）322產(chǎn)品售價(jià)（元/件）231816目前七十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量此問(wèn)題的難度是由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件既可以外包協(xié)作，也可以自行生產(chǎn)，從而使問(wèn)題復(fù)雜化。如果只設(shè)甲、乙、丙產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3，則由于產(chǎn)品甲和乙的鑄件來(lái)源不同造成單位利潤(rùn)不同，因此目標(biāo)函數(shù)中x1和x2的系數(shù)不是常數(shù)，目標(biāo)函數(shù)成為非線性函數(shù)，但是如果把它們區(qū)分開(kāi)來(lái)，另設(shè)兩個(gè)變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術(shù)），則可以較容易地建立問(wèn)題的線性規(guī)劃模型。設(shè)x1、x2、x3分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)；

x4、x5分別為由外協(xié)鑄造再由本公司機(jī)加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。目前七十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使得公司獲得的總利潤(rùn)最大。為了建立目標(biāo)函數(shù)，首先計(jì)算各決策變量的單位利潤(rùn)：?jiǎn)挝焕麧?rùn)＝售價(jià)-成本（鑄造、機(jī)加工、裝配）（3）約束條件（3個(gè)資源約束、非負(fù)約束）①鑄造工時(shí)限制②機(jī)加工工時(shí)限制③裝配工時(shí)限制④非負(fù)目前七十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前八十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用電子表格模型目前八十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.6

某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，均需經(jīng)過(guò)兩道工序，每生產(chǎn)1噸A產(chǎn)品需要經(jīng)第一道工序加工2小時(shí)，第二道工序加工3小時(shí)；每生產(chǎn)1噸B產(chǎn)品需經(jīng)過(guò)第一道工序加工3小時(shí)，第二道工序加工4小時(shí)?？晒├玫牡谝坏拦ば蚬r(shí)為15小時(shí)，第二道工序工時(shí)為25小時(shí)。生產(chǎn)產(chǎn)品B的同時(shí)可產(chǎn)出副產(chǎn)品C，每生產(chǎn)1噸產(chǎn)品B，可同時(shí)得到2噸產(chǎn)品C而不需要外加任何費(fèi)用。副產(chǎn)品C一部分可以盈利，但剩下的只能報(bào)廢，報(bào)廢需要有一定的費(fèi)用。各項(xiàng)費(fèi)用的情況為：出售產(chǎn)品A每噸能盈利400元；出售產(chǎn)品B每噸能盈利800元；每銷售1噸副產(chǎn)品C能盈利300元；當(dāng)剩余的產(chǎn)品C報(bào)廢時(shí)，每噸損失費(fèi)為200元。經(jīng)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，在計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品C的最大銷量為5噸。問(wèn)：如何安排A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量可使工廠總的盈利為最大？目前八十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量本問(wèn)題的難度是由于副產(chǎn)品C的出現(xiàn)而使問(wèn)題復(fù)雜化了。如果只設(shè)A、B、C產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2、x3

，則由于產(chǎn)品C的單位利潤(rùn)不同（贏利300元或損失200元），因此目標(biāo)函數(shù)中x3的系數(shù)不是常數(shù)，目標(biāo)函數(shù)成為非線性函數(shù)，但是如果把產(chǎn)品C的銷售量和報(bào)廢量區(qū)分開(kāi)來(lái)，設(shè)作兩個(gè)變量（采用第7章的可分離規(guī)劃技術(shù)），則可以容易地建立線性規(guī)劃模型。設(shè)A、B產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為x1、x2；C產(chǎn)品的銷售量和報(bào)廢量分別為x3、x4。目前八十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使工廠的總盈利最大，即

（3）約束條件（3個(gè)資源約束、1個(gè)確定需求約束、非負(fù)約束） ①第一道工序 ②第二道工序 ③產(chǎn)品B與產(chǎn)品C ④產(chǎn)品C的最大銷量 ⑤非負(fù)

目前八十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用線性規(guī)劃模型（數(shù)學(xué)模型）目前八十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用電子表格模型目前八十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.7

某公司根據(jù)訂單進(jìn)行生產(chǎn)。已知半年內(nèi)對(duì)某產(chǎn)品的需求量、單位生產(chǎn)費(fèi)用和單位存儲(chǔ)費(fèi)用,還已知公司每月的生產(chǎn)能力為100，每月倉(cāng)庫(kù)容量為50。問(wèn)：如何確定產(chǎn)品未來(lái)半年內(nèi)每月最佳生產(chǎn)量和存儲(chǔ)量，以使總費(fèi)用最少。月份123456需求量504050455530單位生產(chǎn)費(fèi)用825775850850775825單位存儲(chǔ)費(fèi)用403035204040目前八十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（生產(chǎn)與庫(kù)存問(wèn)題，更多請(qǐng)參見(jiàn)第9章，動(dòng)態(tài)規(guī)劃）(1)決策變量本問(wèn)題的決策為產(chǎn)品未來(lái)半年內(nèi)每月的最佳生產(chǎn)量和庫(kù)存量。設(shè)每月生產(chǎn)量為xi(i=1,2,,6)，每月月末庫(kù)存量為si(i=1,2,,6)。(2)目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是總費(fèi)用最小

總費(fèi)用＝生產(chǎn)總費(fèi)用+存儲(chǔ)總費(fèi)用目前八十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用(3)約束條件①對(duì)于每個(gè)月上月庫(kù)存量＋本月生產(chǎn)量－市場(chǎng)需求＝本月月末庫(kù)存量

②公司每月的生產(chǎn)能力為100③每月倉(cāng)庫(kù)容量為50④非負(fù)目前八十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前九十頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.7的電子表格模型目前九十一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用資金管理問(wèn)題線性規(guī)劃在資金管理方面的應(yīng)用主要包括投資組合優(yōu)化、連續(xù)投資、財(cái)務(wù)計(jì)劃、資本預(yù)算等。本小節(jié)將介紹線性規(guī)劃在投資組合優(yōu)化與連續(xù)投資方面的應(yīng)用。更多的例子請(qǐng)見(jiàn)第9章。投資組合優(yōu)化問(wèn)題研究如何選擇投資對(duì)象，例如，如何選擇不同的債券或股票，在滿足某些要求的前提下，使得利潤(rùn)最大或風(fēng)險(xiǎn)最小。因此，其決策變量是對(duì)各種可能的投資對(duì)象的投資組合，其目標(biāo)函數(shù)通常是期望回報(bào)最大化或風(fēng)險(xiǎn)最小化，而約束條件則可包括總投資額、公司政策、法律法規(guī)等。例3.8是期望回報(bào)額最大化，采用線性規(guī)劃模型。當(dāng)考慮投資風(fēng)險(xiǎn)（成本）與收益之間的平衡時(shí)，更多的是采用非線性規(guī)劃模型，具體見(jiàn)第7章。目前九十二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.8

投資組合優(yōu)化問(wèn)題。某公司董事會(huì)決定將20萬(wàn)現(xiàn)金進(jìn)行債券投資。經(jīng)咨詢，現(xiàn)有五種債券是較好的投資對(duì)象，它們是：黃河汽車，長(zhǎng)江汽車，華南電器，西南電器，縝山紙業(yè)。它們的投資回報(bào)率如表3-12所示。為減少風(fēng)險(xiǎn)，董事會(huì)要求，對(duì)汽車業(yè)的投資不得超過(guò)12萬(wàn)，對(duì)電器業(yè)的投資不得超過(guò)8萬(wàn)，其中對(duì)長(zhǎng)江汽車的投資不得超過(guò)對(duì)汽車業(yè)投資的65%，對(duì)紙業(yè)的投資不得低于對(duì)汽車業(yè)投資的20%。該公司應(yīng)如何投資，才能在滿足董事會(huì)要求的前提下使得總回報(bào)額最大？債券名稱黃河汽車長(zhǎng)江汽車華南電器西南電器縝山紙業(yè)回報(bào)率6.5%9.2%4.5%5.5%4.2%目前九十三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量本問(wèn)題的決策變量是對(duì)五種投資對(duì)象的投資額。設(shè)：該公司對(duì)五種債券的投資額分別為x1，x2，x3，x4，x5（萬(wàn)元）。（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使得公司總回報(bào)額最大目前九十四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（3）約束條件總投資額為20萬(wàn)現(xiàn)金汽車業(yè)的投資不得超過(guò)12萬(wàn)電器業(yè)的投資不得超過(guò)8萬(wàn)對(duì)長(zhǎng)江汽車的投資不得超過(guò)對(duì)汽車業(yè)投資的65%對(duì)紙業(yè)的投資不得低于對(duì)汽車業(yè)投資的20%非負(fù)目前九十五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前九十六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.8的電子表格模型目前九十七頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.9

連續(xù)投資問(wèn)題。某部門在今后五年內(nèi)考慮給下列項(xiàng)目投資，已知：項(xiàng)目A：從第一年到第四年每年年初都可以投資，并于次年年末收回本利115%；項(xiàng)目B：第三年年初可以投資，到第五年年末能收回本利125%，但規(guī)定最大投資額不超過(guò)4萬(wàn)元；項(xiàng)目C：第二年初可以投資，到第五年末能收回本利140%，但規(guī)定最大投資額不超過(guò)3萬(wàn)元；項(xiàng)目D：五年內(nèi)每年初都可以購(gòu)買公債，于當(dāng)年末歸還，并加利息6%。該部門現(xiàn)有資金10萬(wàn)元，問(wèn)應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目的每年投資額，使得第五年年末擁有的資金的本利總額最大？目前九十八頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量本題是一個(gè)連續(xù)投資問(wèn)題，由于需要考慮每年年初對(duì)不同項(xiàng)目的投資額，為了便于理解，建立雙下標(biāo)決策變量。設(shè)xij為第i年初給項(xiàng)目j的投資額（萬(wàn)元）根據(jù)給定條件，將決策變量列于表3-13中（P82）（2）約束條件

每年投資額＝可投資額（P82－83）最大投資額、非負(fù)目前九十九頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（3）目標(biāo)函數(shù)該問(wèn)題要求在第五年末擁有的資金的本利總額最大目標(biāo)也可以是投資的總回報(bào)額最大但不是用Excel求解即可明白目前一百頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用數(shù)學(xué)模型（線性規(guī)劃模型）目前一百零一頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.9的電子表格模型目前一百零二頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.9的靈敏度分析

從影子價(jià)格（“陰影價(jià)格”列）可知：第一年初增加或減少投資1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.40萬(wàn)元，目前第一年投資額為10萬(wàn)元；第二年初增加或減少投資1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有資金的本利增加或減少1.32萬(wàn)元，目前第二年的投資金額來(lái)自第一年投資于項(xiàng)目D而收回的106％的本利3萬(wàn)元（從“終值”列得知）；同樣可知第三年初、第四年初、第五年初增加或減少投資1萬(wàn)元，將導(dǎo)致第五年末擁有資金的本利分別增加或減少1.22萬(wàn)元、1.15萬(wàn)元、1.06萬(wàn)元。目前一百零三頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用例3.10

某市場(chǎng)調(diào)查公司受某廠的委托，調(diào)查消費(fèi)者對(duì)某種新產(chǎn)品的了解和反應(yīng)情況。該廠對(duì)市場(chǎng)調(diào)查公司提出了以下要求：（1）共對(duì)500個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查；（2）在被調(diào)查家庭中，至少有200個(gè)是沒(méi)有孩子的家庭，同時(shí)至少有200個(gè)是有孩子的家庭；（3）至少對(duì)300個(gè)被調(diào)查家庭采用問(wèn)卷式書面調(diào)查，其余家庭可采用口頭調(diào)查；（4）在有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有50％的家庭采用問(wèn)卷式書面調(diào)查；（5）在沒(méi)有孩子的被調(diào)查家庭中，至少有60％的家庭采用問(wèn)卷式書面調(diào)查。

目前一百零四頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用對(duì)不同家庭采用不同調(diào)查方式的費(fèi)用如表3-16所示。問(wèn)：市場(chǎng)調(diào)查公司應(yīng)如何進(jìn)行調(diào)查，使得在滿足廠方要求的條件下，使得總調(diào)查費(fèi)用最少？表3-16市場(chǎng)調(diào)查費(fèi)用表家庭類型調(diào)查費(fèi)用（元）問(wèn)卷式書面調(diào)查口頭調(diào)查有孩子的家庭5030沒(méi)有孩子的家庭4025目前一百零五頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用解：（1）決策變量根據(jù)題意，本問(wèn)題的決策變量如下：

x1：對(duì)有孩子的家庭采用問(wèn)卷式書面調(diào)查的數(shù)目，

x2：對(duì)有孩子的家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目，

x3：對(duì)沒(méi)有孩子的家庭采用問(wèn)卷式書面調(diào)查的數(shù)目，

x4：對(duì)沒(méi)有孩子的家庭采用口頭調(diào)查的數(shù)目。（2）目標(biāo)函數(shù)本問(wèn)題的目標(biāo)是使得總調(diào)查費(fèi)用最小目前一百零六頁(yè)\總數(shù)一百一十五頁(yè)\編于十七點(diǎn)3.5線性規(guī)劃模型的應(yīng)用（3）約束條件共對(duì)500個(gè)家庭進(jìn)行調(diào)查； 至少有200個(gè)是沒(méi)有孩子的家庭； 至少有200個(gè)是有孩子的家庭； 至少有300個(gè)采用問(wèn)卷式書面調(diào)查