統(tǒng)計學數(shù)據(jù)的描述性分析

（優(yōu)選）統(tǒng)計學數(shù)據(jù)的描述性分析目前一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點集中趨勢集中趨勢反映的是一組數(shù)據(jù)向某一中心值靠攏的傾向，在中心附近的數(shù)據(jù)數(shù)目較多，而遠離中心的較少。對集中趨勢進行描述就是尋找數(shù)據(jù)一般水平的中心值或代表值。目前二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點目前三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點1.數(shù)值平均數(shù):是以統(tǒng)計數(shù)列的所有數(shù)據(jù)來計算的平均數(shù).其特點是統(tǒng)計數(shù)列中任何一項數(shù)據(jù)的變動,都會在一定程度上影響數(shù)值平均數(shù)的計算結(jié)果.2.位置平均數(shù):它不是對統(tǒng)計數(shù)列中所有數(shù)據(jù)進行計算所得的結(jié)果,而是根據(jù)數(shù)列中處于特殊位置上的個別單位或部分單位的標志值來確定的.目前四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點數(shù)值平均數(shù)包括算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù).1.算術(shù)平均數(shù)(均值,ArithmeticMean)

總體均值常用或表示,樣本均值常用表示,樣本均值的計算公式:簡單算術(shù)平均數(shù):加權(quán)算術(shù)平均數(shù):

一、

數(shù)值平均數(shù)目前五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點權(quán)數(shù)的意義和作用權(quán)數(shù):各組次數(shù)(頻數(shù))的大小所對應(yīng)的標志值對平均數(shù)的影響具有權(quán)衡輕重的作用.當各組的次數(shù)都相同時,即當時:

加權(quán)算術(shù)平均數(shù)就等于簡單算術(shù)平均數(shù). 目前六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例:計算某車間工人加工零件平均數(shù)(組距式數(shù)列)解:目前七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點

關(guān)于計算結(jié)果的說明●根據(jù)原始數(shù)據(jù)和分組資料計算的結(jié)果一般不會完全相等,

根據(jù)分組數(shù)據(jù)只能得到近似結(jié)果.●只有各組數(shù)據(jù)在組內(nèi)呈對稱或均勻分布時,根據(jù)分組資料的計算結(jié)果才會與原始數(shù)據(jù)的計算結(jié)果一致.(1).各變量值與均值的離差之和等于零.(2).各變量值與均值的離差平方和最小.目前八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點△算術(shù)平均數(shù)的特點算術(shù)平均數(shù)適合用代數(shù)方法運算，因此運用比較廣泛；易受極端變量值的影響，使的代表性變小；受極大值的影響大于受極小值的影響；當組距數(shù)列為開口組時，由于組中值不易確定，使的代表性也不很可靠;同時要求各單位標志值在組內(nèi)是均勻分布的，此時各組的平均數(shù)正好等于它的組中值。故用組中值計算得出來的平均數(shù)只能是一個近似值。目前九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點

調(diào)和平均數(shù)是各個變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)。2、調(diào)和平均數(shù)(又稱“倒數(shù)平均數(shù)”)

目前十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點其計算方法如下：在加權(quán)的情況下：＝目前十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點在社會經(jīng)濟統(tǒng)計學中經(jīng)常用到的僅是一種特定權(quán)數(shù)的加權(quán)調(diào)和平均數(shù)。即有以下數(shù)學關(guān)系式成立：m是一種特定權(quán)數(shù)，它不是各組變量值出現(xiàn)的次數(shù)，而是各組標志值總量。目前十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點△調(diào)和平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一標志值等于零，則無法計算；較之算術(shù)平均數(shù)，受極端值的影響要小。目前十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例.某蔬菜批發(fā)市場三種蔬菜日成交數(shù)據(jù)如下表,計算三種蔬菜該日的平均批發(fā)價格.目前十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點3.幾何平均數(shù)(GeometricMean)，又稱“對數(shù)平均數(shù)”是另一種形式的平均數(shù),是n個標志值乘積的n次方根.主要用于計算平均比率和平均速度.(1)簡單幾何平均數(shù)式中G表示幾何平均數(shù),表示各項標志值.目前十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點(2)加權(quán)幾何平均數(shù)目前十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例

某企業(yè)四個車間流水作業(yè)生產(chǎn)某產(chǎn)品,一車間產(chǎn)品合格率99%,二車間為95%,三車間為92%,四車間為90%,計算該企業(yè)的平均產(chǎn)品合格率.目前十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點△幾何平均數(shù)的特點如果數(shù)列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；受極端值的影響較和小；它適用于反映特定現(xiàn)象的平均水平，即現(xiàn)象的總標志值是各單位標志值的連乘積。目前十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點注:(1)(2)數(shù)值平均數(shù)主要適用于定量數(shù)據(jù),而不適用于定性數(shù)據(jù).(3)簡單數(shù)值平均數(shù)適用于未分組的資料,加權(quán)數(shù)值平均數(shù)適用于分組的資料.目前十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點1.眾數(shù)(Mode)

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值.

主要特點:

●不受極端值的影響.

●有的數(shù)據(jù)無眾數(shù)或有多個眾數(shù).

位置平均數(shù)目前二十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點目前二十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點M0M0M0M0M0若有兩個次數(shù)相等的眾數(shù)，則稱復(fù)眾數(shù)。①只有總體單位數(shù)比較多，而且又有明顯的集中趨勢時才存在眾數(shù)。目前二十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點下三圖無眾數(shù)：②在單位數(shù)很少，或單位數(shù)雖多但無明顯集中趨勢時，計算眾數(shù)是沒有意義的。說明:如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣,那么這組數(shù)據(jù)沒有眾數(shù).目前二十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點眾數(shù)主要用于分類數(shù)據(jù),也可用于順序數(shù)據(jù)和數(shù)值型數(shù)據(jù),對于未分組數(shù)據(jù)和單項式分組數(shù)據(jù),眾數(shù)位置確定之后便找到了眾數(shù).適用范圍目前二十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例:分類數(shù)據(jù)的眾數(shù)目前二十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例:順序數(shù)據(jù)的眾數(shù)目前二十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點①根據(jù)單項數(shù)列確定眾數(shù)；價格(元)銷售數(shù)量(千克)2.00202.40603.001404.0080合計300某種商品的價格情況眾數(shù)M0=3.00(元)數(shù)值型數(shù)據(jù)眾數(shù)的計算方法例目前二十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點②根據(jù)組距數(shù)列確定眾數(shù)（ⅱ）利用比例插值法推算眾數(shù)的近似值。（?。?/p>

由最多次數(shù)來確定眾數(shù)所在組；目前二十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點按日產(chǎn)量分組(千克)工人人數(shù)(人)60以下1060-701970-805080-903690-10027100-11014110以上8表中70-80，即眾數(shù)所在組。例目前二十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點計算眾數(shù)的近似值：下限公式：上限公式：由下限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)由上限公式，日產(chǎn)量眾數(shù)目前三十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點△眾數(shù)的特點

眾數(shù)是一個位置平均數(shù)，它只考慮總體分布中最頻繁出現(xiàn)的變量值，而不受各單位標志值的影響，從而增強了對變量數(shù)列一般水平的代表性。不受極端值和開口組數(shù)列的影響。

眾數(shù)是一個不容易確定的平均指標，當分布數(shù)列沒有明顯的集中趨勢而趨均勻分布時，則無眾數(shù)可言；當變量數(shù)列是不等距分組時，眾數(shù)的位置也不好確定。目前三十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點2.中位數(shù)(Median)中位數(shù)是一組數(shù)據(jù)按一定順序排列后,處于中間位置上的變量目前三十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點目前三十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點①由未分組資料確定中位數(shù)數(shù)值型數(shù)據(jù)中位數(shù)的計算方法目前三十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點⑴n為奇數(shù)時，則居于中間位置的那個標志值

就是中位數(shù)。例目前三十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點⑵n為偶數(shù)時，則中間位置的兩個標志值的算術(shù)

平均數(shù)為中位數(shù)。目前三十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點②由單項數(shù)列確定中位數(shù)某企業(yè)按日產(chǎn)零件分組如下：按日產(chǎn)零件分組（件）工人數(shù)（人）較小制累計較大制累計26338031101377321427673427545336187226418808合計80--例目前三十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點③由組距數(shù)列確定中位數(shù)

按日產(chǎn)量分組(千克)工人數(shù)(人)較小制累計較大制累計50–60101016460–70192915470–80507913580–90361158590–1002714249100-1101415622110以上81648合計164--目前三十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點下限公式（較小制累計時用）：目前三十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點上限公式（較大制累計時用）：目前四十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點①中位數(shù)不受極端值及開口組的影響，具有穩(wěn)健性。②各單位標志值與中位數(shù)離差的絕對值之和是個最小值。③對某些不具有數(shù)學特點或不能用數(shù)字測定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。中位數(shù)的特點目前四十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點負偏正偏注:(1)中位數(shù)總是介于眾數(shù)和平均數(shù)之間.目前四十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點(2)皮爾遜經(jīng)驗法則分布在輕微偏斜的情況下,眾數(shù)、中位數(shù)和算術(shù)平均數(shù)數(shù)量關(guān)系的經(jīng)驗公式為:目前四十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點一組工人的月收入眾數(shù)為700元，月收入的算術(shù)平均數(shù)為1000元，則月收入的中位數(shù)近似值是：例根據(jù)卡爾·皮爾遜經(jīng)驗公式，還可以推算出：目前四十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點和應(yīng)用眾數(shù)不受極端值影響具有不惟一性數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大且有明顯峰值時應(yīng)用中位數(shù)不受極端值影響數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時應(yīng)用平均數(shù)易受極端值影響數(shù)學性質(zhì)優(yōu)良數(shù)據(jù)對稱分布或接近對稱分布時應(yīng)用目前四十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點數(shù)值平均數(shù)與位置平均數(shù)的適用場合？目前四十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點60分以下260-70870-802280-901090分以上4案例1：甲班《統(tǒng)計學》考試情況如下表：目前四十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點案例2：乙班《統(tǒng)計學》考試情況如下表：60分以下260-703070-80880-90490分以上1目前四十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點案例3：丙班《統(tǒng)計學》考試情況如下表：60分以下260-70570-801280-902590分以上7目前四十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點問題1、計算甲、乙、丙三個班的平均成績；該平均值是真實值還是近似值？如是近似值，什么情況下會是真實值？2、計算甲、乙、丙三個班的中位數(shù)、眾數(shù)；3、如要選擇從算術(shù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)三個平均數(shù)中選擇一個數(shù)來分別代表甲、乙、丙三個班的整體水平，請問你會選擇哪個平均數(shù)？為什么？4、如要分別反映甲、乙、丙三個班的考試情況，你會選擇用哪些指標來衡量？5、如要比較甲、乙、丙三個班的考試情況的優(yōu)劣，你又會選擇什么樣的指標來衡量？6、甲乙丙三個班的考試成績分別服從對稱分布、左偏分布、右偏分布中的哪種分布？為什么？目前五十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點離散程度的描述●反映各變量值遠離其中心值的程度(離散程度),從另一個側(cè)面說明了集中趨勢測度值的代表程度.目前五十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點目前五十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點3.2.1離散程度的常用指標①異眾比率式中,為變量值的總頻數(shù);為眾數(shù)組的頻數(shù).異眾比率越大,說明非眾數(shù)組的頻數(shù)占總頻數(shù)的比重越大,眾數(shù)的代表性越差.目前五十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點②全距(極差)

極差(Range)也叫全距,是一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值之差,即:

組距分組數(shù)據(jù)可用最高組上限－最低組下限計算.目前五十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點③四分位差四分位差(quartiledeviation)也稱內(nèi)距或四分間距(inter-quartilerange),是指第三四分位數(shù)和第一四分位數(shù)之差.四分位差的計算公式為:把所有數(shù)據(jù)由小到大排列并分成若干等份,處于分割點位置的數(shù)值就是分位數(shù).目前五十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點把所有數(shù)據(jù)由小到大排列并分成四等份,處于三個分割點位置的數(shù)值就是四分位數(shù).分位數(shù)可以反映數(shù)據(jù)分布的相對位置(而不單單是中心位置).常用的有四分位數(shù)、十分位數(shù)、百分位數(shù).四分位數(shù)(Quartile):Q1,Q2,Q3;十分位數(shù)(Decile):D1,D2,...,D9;百分位數(shù)(Percentile):P1,P2,...,P99;目前五十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點四分位數(shù)的計算首先確定四分位數(shù)的位置,再找出對應(yīng)位置的標志值即為四分位數(shù).設(shè)樣本容量為n,則如果各位置計算出來的結(jié)果恰好是整數(shù),這時各位置上的標志值即為相應(yīng)的四分位數(shù);如果四分位數(shù)的位置不是整數(shù),則四分位數(shù)為前后兩個數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均數(shù).權(quán)數(shù)的大小取決于兩個整數(shù)位置與四分位數(shù)位置距離的遠近,距離越近,權(quán)數(shù)越大.在實際應(yīng)用中,計算四分位數(shù)的方法并不統(tǒng)一(數(shù)據(jù)量大時這些方法差別不大),對于一組排序后的數(shù)據(jù)：目前五十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點

●

SPSS中四分位數(shù)的位置分別為

●

Excel中四分位數(shù)的位置分別為目前五十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點練習:已知9個家庭的人均月收入數(shù)據(jù)試求這組數(shù)據(jù)的第一和第三四分位數(shù).四分位差反映了中間50%數(shù)據(jù)的離散程度,數(shù)值越小說明中間數(shù)據(jù)越集中.目前五十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點④平均差(Meandeviation)平均差也稱平均絕對偏差,總體所有單位的標志值與其平均數(shù)的離差絕對值的算術(shù)平均數(shù).通常用表示.未分組數(shù)據(jù)計算平均差的公式為:加權(quán)式(分組數(shù)據(jù)):平均差雖然能較好地區(qū)別出不同組數(shù)據(jù)的分散情況或程度,但它的缺點是絕對值不適合作進一步的數(shù)學分析.目前六十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點⑤標準差和方差(StandarddeviationandVariance)方差是一組數(shù)據(jù)中各數(shù)值與其算術(shù)平均數(shù)離差平方的平均數(shù).標準差是方差中的平方根.目前六十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點

注：總體方差和樣本方差的符號不同,計算公式也不一樣.是反映定量數(shù)據(jù)離散程度的最常用的指標.目前六十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例.在某地區(qū)抽取的120家企業(yè)按利潤額進行分組,結(jié)果如表3.1所示.

表3.1某地區(qū)120家企業(yè)的利潤額分組計算120家企業(yè)利潤額的均值和標準差.目前六十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點目前六十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點⑥離散系數(shù)(Coefficientofvariation)離散系數(shù)也稱變異系數(shù),是各變異指標與其算術(shù)平均數(shù)的比值.例如,將極差與其平均數(shù)對比,得到極差系數(shù);將標準差與其平均數(shù)對比,得到標準差系數(shù).最常用的變異系數(shù)是標準差系數(shù):標準差系數(shù):標準差與其相應(yīng)的均值之比,表示為百分數(shù).目前六十五頁\總數(shù)八十頁\編于十八點特點:1、反映了相對于均值的相對離散程度;2、可用于比較計量單位不同的數(shù)據(jù)的離散程度;3、計量單位相同時,如果兩組數(shù)據(jù)的均值相差懸殊,離散系數(shù)比標準差更有意義.目前六十六頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例子.某管理局抽查了所屬的8家企業(yè),其產(chǎn)品銷售數(shù)據(jù)如表3.2所示,試比較產(chǎn)品銷售額和銷售利潤的離散程度.目前六十七頁\總數(shù)八十頁\編于十八點銷售額銷售利潤結(jié)論:計算結(jié)果表明,說明產(chǎn)品銷售額的離散程度小于銷售利潤的離散程度.目前六十八頁\總數(shù)八十頁\編于十八點3.2.2數(shù)據(jù)的標準化①定義標準化數(shù)值是變量值與其平均數(shù)的離差除以標準差后的值,也稱為z分數(shù)或標準分數(shù).設(shè)標準化數(shù)值為z,則有:

●對于來自不同均值和標準差的個體的數(shù)據(jù),往往不能直接對比.這就需要將它們轉(zhuǎn)化為同一規(guī)格、尺度的數(shù)據(jù)后再比較.

●標準分數(shù)是對某一個值在一組數(shù)據(jù)中相對位置的度量.目前六十九頁\總數(shù)八十頁\編于十八點例

假定某班學生先后兩次進行了難度不同的大學英語綜合考試,第一次考試成績的均值和標準差分別為80分和10分,而第二次考試成績的均值和標準差分別為70分和7分.張三第一、二次考試的成績分別為92分和80分,那么全班相比較而言,他哪一次考試的成績更好呢?解:由于兩次考試成績的均值和標準差不同,每個學生兩次考試的成績不宜直接比較.利用標準分數(shù)進行對比,計算結(jié)果表明,第二次考試成績更好些.目前七十頁\總數(shù)八十頁\編于十八點②對稱分布中的法則變量值落在范圍以外的情況極為少見.因此通常將落在區(qū)間之外的數(shù)據(jù)稱為離群點(或異常數(shù)據(jù)).目前七十一頁\總數(shù)八十頁\編于十八點分布形狀的描述集中趨勢和離散程度是數(shù)據(jù)分布的兩個重要特征,但要全面了解數(shù)據(jù)分布的特點,還需要知道數(shù)據(jù)分布的形狀是否對稱、偏斜程度以及分布的扁平程度等.偏態(tài)和峰度就是對這些分布特征的進一步描述.偏態(tài)和峰度是英國統(tǒng)計學家卡爾?皮爾遜首先提出的.目前七十二頁\總數(shù)八十頁\編于十八點3.3.1偏態(tài)(Skewness)及其測定如果次數(shù)分布是完全對稱的,叫對稱分布;如果次數(shù)分布不是完全對稱的,就稱為偏態(tài)分布.目前七十三頁\總數(shù)八十頁\編于十八點①所謂偏度,就是指次數(shù)分布的非對稱程度,用偏態(tài)系數(shù)來表示.②計算公式式子中稱為偏態(tài)系數(shù).

偏態(tài)系數(shù)有多種計算方法,在Excel軟件中通常采用以下公式:目前七十四頁\總數(shù)八十頁\編于十八點當時,左右完全對稱,為正態(tài)分布;當時為正偏(或右偏);當時為負偏(或左偏).偏態(tài)系數(shù)的數(shù)值一般在0與±3之間,偏態(tài)系數(shù)越接近于0,分布的偏斜程度越小;偏態(tài)系數(shù)越接