高數(shù)課件其他向量及其線性運算

一、向量概念二、向量的線性運算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算三、空間直角坐標(biāo)系安徽財經(jīng)大學(xué)AnhuiUniversityofFinance&Economics§8.1向量及其線性運算VectorandOperationsofVectors高等數(shù)學(xué)課件編五、向量的模、方向角、投影高等數(shù)學(xué)§8.1向量及其線性運算一、向量概念1.1、概念1.2、兩非零向量的關(guān)系二、向量的線性運算2.1、向量的加減法2.2、向量與數(shù)的乘法三、空間直角坐標(biāo)系3.1、坐標(biāo)系的構(gòu)成3.2、點、向量與坐標(biāo)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算4.1、向量的加減法與數(shù)乘4.2、平行向量坐標(biāo)表示式五、向量的模,方向角,投影5.1、向量的模與兩點間的距離公式5.3、向量在軸上的投影六、小結(jié)思考題作業(yè)：12頁3;5;13;15;18.在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點在哪個卦限？5.2、方向角與方向余弦⑴向量：既有大小又有方向的量。如位移、速度、加速度、力等。⑵向量表示：模長為1的向量.模長為0

的向量.||⑶向量的模：向量的大小.或或或一、向量的概念1.1、概念⑷單位向量：⑸零向量:⑹自由向量：不考慮起點位置的向量.⑺相等向量：大小相等且方向相同的向量.⑻負(fù)向量：大小相等但方向相反的向量.⑼向徑：空間直角坐標(biāo)系中任一點M與原點構(gòu)成的向量.1.2、兩非零向量的關(guān)系⑴相等：大小相等且方向相同的向量.⑵平行或共線：方向相同或相反的兩個非零向量.⑶垂直：方向成90°夾角的兩個非零向量.注意：由于零向量的方向可以看成任意的，故可以認(rèn)為零向量與任何向量都平行或垂直。⑷共面：

把若干個向量的起點放到一起，若它們的終點和公共起點在同一平面上，則稱這些向量共面.一、向量的概念2.1、向量的加減法二、向量的線性運算⑴加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）⑵向量的加法符合下列運算規(guī)律：①交換律：②結(jié)合律：③加負(fù)律：⑶減法二、向量的線性運算2.2、向量與數(shù)的乘法⑴定義：⑵數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：①結(jié)合律：②分配律：⑶線性運算：向量的加法及數(shù)乘統(tǒng)稱為線性運算。二、向量的線性運算例1化簡解例2

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證與平行且相等,結(jié)論得證.二、向量的線性運算按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，上式表明：一個非零向量除以它的模的結(jié)果是一個與原向量同方向的單位向量.⑷單位向量的表示注意：與三坐標(biāo)軸同向的單位向量記法：二、向量的線性運算⑸兩個向量的平行關(guān)系證充分性顯然；下面證明必要性兩式相減，得二、向量的線性運算橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系Oxyz坐標(biāo)系或[O;i,j,k]坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.3.1、坐標(biāo)系的構(gòu)成⑴

坐標(biāo)軸：橫軸、縱軸、豎軸⑵

坐標(biāo)面：xOy面、yOz面、zOx面⑶

卦限：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ三、空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ無極生太極,太極生四象;四象生八卦,八卦生萬物.乾(天)坤(地)坎(水)離(火)震(雷)艮(山)巽(風(fēng))兌(沼澤)艮gèn巽xùn三、空間直角坐標(biāo)系空間的點M有序數(shù)組3.2、點、向量與坐標(biāo)⑴點與實數(shù)組的關(guān)系:⑵特殊點的表示:①坐標(biāo)軸上的點②坐標(biāo)面上的點xyz),,(zyxM③.坐標(biāo)Ⅰ(+,+,+);Ⅱ(-,+,+);Ⅲ(-,-,+);Ⅳ(+,-,+);Ⅴ(+,+,-);Ⅵ(-,+,-);Ⅶ(-,-,-);Ⅷ(+,-,-)x>0前四個卦限；y>0右四個卦限；z>0上四個卦限。一、空間直角坐標(biāo)系空間的點M有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點3.2、點、向量與坐標(biāo)三、空間直角坐標(biāo)系Ⅰ(+,+,+);Ⅱ(-,+,+);Ⅲ(-,-,+);Ⅳ(+,-,+);Ⅴ(+,+,-);Ⅵ(-,+,-);Ⅶ(-,-,-);Ⅷ(+,-,-)x>0前四個卦限；y>0右四個卦限；z>0上四個卦限。練習(xí)1

已知點M(2,-1,3),則M點⑴關(guān)于原點的對稱點是

；⑵關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點是

Ox軸

,Oy軸

,Oz軸

;⑶關(guān)于坐標(biāo)面的對稱點是

xOy面

,yOz面

,zOx面

;練習(xí)2指出下列各點在空間直角坐標(biāo)系哪個卦限？A:Ⅳ;解:B:Ⅴ;C:Ⅷ;D:Ⅲ.一、空間直角坐標(biāo)系數(shù)學(xué)小故事

從一到二、從二到三、從三到四、……，可見在低維空間實現(xiàn)不了的事，在高維空間很容易實現(xiàn)，由此看來，從理論上說翻皮球可以在四維空間實現(xiàn)。從智慧小蟲翻皮球到四維空間

從愛因斯坦到霍金，從宇宙黑洞到時間簡史，從科幻時光列車到自由穿梭于過去和未來，去改變?nèi)祟惖臍v史。當(dāng)然，從一定意義上說，這會破壞游戲規(guī)則。相關(guān)鏈接三、空間直角坐標(biāo)系4.1、向量的加減法與數(shù)乘⑴加法⑵減法⑶數(shù)乘4.2、平行向量的坐標(biāo)表示式四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算解例3

求解以向量為未知元的線性方程組解二元一次方程組，易得例4

已知兩點A(x1,y1,z1)

和B

(x2,y2,z2)

以及實數(shù)λ≠-1,在直線AB上求點M,使解設(shè)為直線上的點，四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算由題意知：四、利用坐標(biāo)作向量的線性運算⑴向量的模:5.1、向量的模與兩點間距離公式:按勾股定理可得⑵兩點間距離公式:五、向量的模、方向角、投影解原結(jié)論成立.例6

已知A(5,3,1)

和B

(1,0,5),求與解五、向量的模、方向角、投影解設(shè)P點坐標(biāo)為所求點為例7

設(shè)P在x軸上，它到P1(0,√2,3)的距離為到點P2(0,1,-1)的距離的兩倍，求點P的坐標(biāo).因為P在x軸上，五、向量的模、方向角、投影5.2、方向角與方向余弦⑴空間兩向量的夾角的概念:類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.特殊地，當(dāng)兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定它們的夾角可在0與之間任意取值.五、向量的模、方向角、投影非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為方向角.⑵方向角顯然有⑶方向余弦由圖分析可知方向余弦通常用來表示向量的方向.向量的方向余弦方向余弦的特征特殊地：單位向量的方向余弦為五、向量的模、方向角、投影例8

已知A(3,3