人教A版高中數(shù)學二同步學習講義：第二章 點、直線、平面之間的位置關系2.2.3 含答案

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2.3直線與平面平行的性質(zhì)學習目標1。掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確由線面平行可推出線線平行.2.結合具體問題體會化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想．知識點直線與平面平行的性質(zhì)思考1如圖，直線l∥平面α,直線a?平面α，直線l與直線a一定平行嗎？為什么？答案不一定，因為還可能是異面直線．思考2如圖，直線a∥平面α，直線a?平面β，平面α∩平面β＝直線b，滿足以上條件的平面β有多少個？直線a,b有什么位置關系？答案無數(shù)個．a(chǎn)∥b.梳理線面平行的性質(zhì)文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b圖形語言類型一線面平行的性質(zhì)定理的應用例1如圖，用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體,求證：截面MNPQ是平行四邊形．證明因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ＝MN,且AB?平面ABC，所以由線面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN。同理AB∥PQ,所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形．引申探究1．若本例條件不變，求證：eq\f(BP,PD）＝eq\f（AM，MC）。證明由例1知：PQ∥AB,∴eq\f（BP,PD)＝eq\f（AQ,QD)。又QM∥DC，∴eq\f(AQ,QD）＝eq\f（AM,MC)，∴eq\f（BP，PD)＝eq\f（AM，MC).2．若本例中添加條件：AB⊥CD,AB＝10，CD＝8,且BP∶PD＝1∶1，求四邊形MNPQ的面積．解由例1知，四邊形MNPQ是平行四邊形,∵AB⊥CD，∴PQ⊥QM,∴四邊形MNPQ是矩形．又BP∶PD＝1∶1，∴PQ＝5,QM＝4,∴四邊形MNPQ的面積為5×4＝20。反思與感悟（1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(2）運用線面平行的性質(zhì)定理時，應先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線，然后確定線線平行．跟蹤訓練1如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，點E為AD的中點，點F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段FE的長度等于________．答案eq\r(2）解析∵EF∥平面AB1C，又平面ADC∩平面AB1C＝AC，EF?平面ADC，∴EF∥AC，∵E是AD的中點，∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f（1,2）×2eq\r(2)＝eq\r(2).類型二線面平行性質(zhì)定理與判定定理的綜合應用例2如圖所示，已知P是?ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PBC∩平面PAD＝l。（1）求證:l∥BC;(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結論．證明（1)因為BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD。又因為平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.解(2)平行．證明如下:如圖,取PD的中點E，連接AE，NE，可以證得NE∥AM且NE＝AM,所以四邊形MNEA是平行四邊形，所以MN∥AE.又AE?平面PAD，MN?平面PAD，所以MN∥平面PAD.反思與感悟判定定理與性質(zhì)定理常常交替使用，即先通過線線平行推出線面平行，再通過線面平行推出線線平行,復雜的題目還可以繼續(xù)推下去，我們可稱它為平行鏈,如下：線線平行eq\o（→，\s\up7（在平面內(nèi)作),\s\do5(或找一直線）)線面平行eq\o（→，\s\up7（經(jīng)過直線作或找)，\s\do5(平面與平面的交線))線線平行．跟蹤訓練2如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點,在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：GH∥平面PAD.證明如圖所示，連接AC交BD于點O，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點，又M是PC的中點，∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM,∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.1．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α,CD?平面α,則直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關系只能是()A．平行 B．平行或異面C．平行或相交 D．異面或相交答案B解析∵eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1（AB∥CD，AB?平面α,CD?平面α))?CD∥α，∴直線CD與平面α內(nèi)的直線的位置關系是平行或異面．2．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線有（)A．0條 B．1條C．0條或1條 D．無數(shù)條答案C解析過直線a與交點作平面β，設平面β與α交于直線b，則a∥b，若所給n條直線中有1條是與b重合的,則此直線與直線a平行,若沒有與b重合的，則與直線a平行的直線有0條．3．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中,E,F分別是棱AA1和BB1的中點，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則GH與AB的位置關系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行或異面答案A解析由長方體性質(zhì)知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB。4。如圖所示，直線a∥平面α，A?α，并且a和A位于平面α兩側，點B，C∈a，AB，AC分別交平面α于點E，F(xiàn)，若BC＝4，CF＝5,AF＝3，則EF＝______。答案eq\f(3，2）解析由于點A不在直線a上，則直線a和點A確定一個平面β,所以α∩β＝EF.因為a∥平面α，a?平面β，所以EF∥a.所以eq\f(EF，BC）＝eq\f（AF，AC）。所以EF＝eq\f(AF×BC,AC)＝eq\f(3×4,5＋3)＝eq\f(3，2）.5.如圖,AB是圓O的直徑，點C是圓O上異于A，B的點，P為平面ABC外一點，E，F(xiàn)分別是PA,PC的中點．記平面BEF與平面ABC的交線為l，試判斷直線l與平面PAC的位置關系,并加以證明．解直線l∥平面PAC.證明如下：因為E,F分別是PA,PC的中點，所以EF∥AC。又EF?平面ABC，且AC?平面ABC，所以EF∥平面ABC。而EF?平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l,所以EF∥l。因為l?平面PAC,EF?平面PAC，所以l∥平面PAC。1．在遇到線面平行時，常需作出過已知直線與已知平面相交的輔助平面,以便運用線面平行的性質(zhì)．2．要靈活應用線線平行、線面平行的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化．在解決立體幾何中的平行問題時，一般都要用到平行關系的轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化思想是解決這類問題的最有效的方法．課時作業(yè)一、選擇題1．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點，G，H分別為SB，BD上的點，若GH∥平面SCD，則()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能答案B解析因為GH∥平面SCD，GH?平面SBD,平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B。2．直線a∥平面α，P∈α，過點P平行于a的直線（)A．只有一條,不在平面α內(nèi)B．有無數(shù)條,不一定在α內(nèi)C．只有一條，且在平面α內(nèi)D．有無數(shù)條,一定在α內(nèi)答案C解析由線面平行性質(zhì)定理知過點P平行于a的直線只有一條，且在平面α內(nèi)，故選C.3．過平面α外的直線l作一組平面與α相交，如果所得的交線為a,b，c，…，則這些交線的位置關系為（）A．都平行B．都相交但不一定交于同一點C．都相交且一定交于同一點D．都平行或都交于同一點答案D解析分l∥α和l與α相交兩種情況作答，對應的結果是都平行或都交于同一點．4．如圖,四棱錐P－ABCD中,M，N分別為AC，PC上的點,且MN∥平面PAD,則（）A．MN∥PDB．MN∥PAC．MN∥ADD．以上均有可能答案B5．已知正方體AC1的棱長為1，點P是面AA1D1D的中心，點Q是面A1B1C1D1的對角線B1D1上一點，且PQ∥平面AA1B1B，則線段PQ的長為()A．1B.eq\r（2)C。eq\f(\r(2），2）D.eq\f（\r（3）,2)答案C解析如圖，連接AD1,AB1,∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ?平面AB1D1，∴PQ∥AB1,∴PQ＝eq\f(1,2）AB1＝eq\f（1，2）eq\r（12＋12)＝eq\f(\r（2),2)。6．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB,BC，CD，DA上的點，當BD∥平面EFGH時，下面結論正確的是(）A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點B．G,H一定是CD，DA的中點C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC答案D解析由于BD∥平面EFGH,所以有BD∥EH,BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC。7.如圖,四棱錐S－ABCD的所有的棱長都等于2，E是SA的中點，過C，D，E三點的平面與SB交于點F,則四邊形DEFC的周長為（)A．2＋eq\r（3) B．3＋eq\r(3）C．3＋2eq\r（3) D．2＋2eq\r（3）答案C解析∵CD∥AB,CD?平面SAB，∴CD∥平面SAB。又平面CDEF∩平面SAB＝EF，∴CD∥EF,又CD∥AB，∴AB∥EF?！逽E＝EA，∴EF為△ABS的中位線，∴EF＝eq\f(1，2)AB＝1，又DE＝CF＝eq\r(3），∴四邊形DEFC的周長為3＋2eq\r(3).二、填空題8.如圖所示,ABCD—A1B1C1D1是棱長為a的正方體，M、N分別是下底面的棱A1B1、B1C1的中點，P是上底面的棱AD上的一點，AP＝eq\f（a，3）,過P，M，N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,則PQ＝________。答案eq\f（2\r(2）,3)a解析∵MN∥平面AC,平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝eq\f（2a,3)，故PQ＝eq\r（PD2＋DQ2）＝eq\r(2）DP＝eq\f(2\r（2)a，3)。9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中,E、F、G、H分別是四邊上的點，它們共面，并且AC∥平面EFGH,BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n,當四邊形EFGH是菱形時，AE∶EB＝______。答案m∶n解析∵AC∥平面EFGH,∴EF∥AC，GH∥AC,∴EF＝HG＝m·eq\f（BE，BA)，同理EH＝FG＝n·eq\f（AE,AB)?！咚倪呅蜤FGH是菱形，∴m·eq\f(BE，BA)＝n·eq\f(AE，AB），∴AE∶EB＝m∶n.10。如圖，已知A,B，C，D四點不共面，且AB∥α，CD∥α,AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H,BC∩α＝G，則四邊形EFHG的形狀是______．答案平行四邊形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB。同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF,∴四邊形EFHG是平行四邊形．11．如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為________．答案4eq\r（5)＋6eq\r(2）解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1與平面EFC1的交線為BC1,平面EFC1與平面ABB1A1的交線為BF,所以截面周長為EF＋FB＋BC1＋C1E＝4eq\r(5)＋6eq\r（2）。三、解答題12.如圖，已知E，F(xiàn)分別是菱形ABCD中邊BC，CD的中點，EF與AC交于點O，點P在平面ABCD之外，M是線段PA上一動點，若PC∥平面MEF，試求PM∶MA的值．解如圖，連接BD交AC于點O1,連接OM。因為PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM,所以PC∥OM,所以eq\f(PM,PA)＝eq\f(OC，AC).在菱形ABCD中,因為E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，所以eq\f（OC,O1C）＝eq\f(1，2）。又AO1＝CO1，所以eq\f(PM，PA）＝eq\f(OC，AC）＝eq\f(1,4），故PM∶MA＝1∶3.13．如圖所示,已知正三棱柱ABC－A′B′C′中，D是AA′上的點，E是B′C′的中點，且A′E∥平面DBC′。試判斷D點在AA′上的位置，并給出證明．解點D為AA′的中點．證明如下：取BC的中點F，連接AF，EF，如圖．設EF與BC′交于點O，易證A′E∥AF，A′E＝AF，易知A′,E，F(xiàn)，A共面于平面A′EFA.因為A′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO