第三講-2.3直線的交點坐標與距離公式（解析版）

目錄第三講直線的交點坐標與距離公式 2入門測 2題型一：兩條直線的交點坐標 3知識清單 3典型例題 4方法總結(jié)： 6題型二：兩點間的距離 7知識清單 7典型例題 8方法總結(jié)： 9題型三：點到直線的距離 10知識清單 10典型例題 11題型四：兩條平行直線間的距離 13知識清單 13典型例題 14方法總結(jié)： 16出門測 17課后練習 18第三講直線的交點坐標與距離公式入門測12．直線3x－2y＝4的截距式方程是()A.eq\f(3x,4)－eq\f(y,2)＝1 B.eq\f(x,\f(1,3))－eq\f(y,\f(1,2))＝4C.eq\f(3x,4)－eq\f(y,－2)＝1 D.eq\f(x,\f(4,3))＋eq\f(y,－2)＝1解析：選D求直線方程的截距式，必須把方程化為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的形式，即右邊為1，左邊是和的形式．2．過點(－2，－4)，傾斜角為60°的直線的點斜式方程是________．解析：α＝60°，k＝tan60°＝eq\r(3)，由點斜式方程，得y＋4＝eq\r(3)(x＋2)．3．在y軸上的截距為2，且與直線y＝－3x－4平行的直線的斜截式方程為________．解析：∵直線y＝－3x－4的斜率為－3，所求直線與此直線平行，∴斜率為－3，又截距為2，∴由斜截式方程可得y＝－3x＋2.答案：y＝－3x＋24當a為何值時，直線l1：y＝－2ax＋2a與直線l2：y＝(a2－3)x＋2平行？解：∵l1∥l2，∴a2－3＝－2a且2a≠2，解得a＝－3.5.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：(1)頂點的坐標；(2)直線的方程.答案：(1);(2)

題型一：兩條直線的交點坐標知識清單知識1：兩直線的交點坐標幾何元素及關系代數(shù)表示點直線點在直線上直線與的交點是方程組的解是知識2：兩直線的位置關系方程組的解一組無數(shù)組無解直線與的公共點個數(shù)一個無數(shù)個零個直線與的位置關系相交重合平行【理解】兩直線相交的條件(1)將兩直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個數(shù)判斷兩直線是否相交．當方程組只有一解時，兩直線相交．(2)設，，則與相交的條件是或．(3)設兩條直線1，，則與相交?k1≠k2.

典型例題1.判斷下列各組直線的位置關系．如果相交，求出交點的坐標：(1)l1：5x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0；(2)l1：2x－6y＋3＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2)；(3)l1：2x－6y＝0，l2：y＝eq\f(1,3)x＋eq\f(1,2).解析：(1)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,3)，,y＝\f(14,3).))所以l1與l2相交，且交點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)，\f(14,3))).(2)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＋3＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))②×6整理得2x－6y＋3＝0.因此，①和②可以化成同一個方程，即①和②表示同一條直線，l1與l2重合．(3)解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－6y＝0，①,y＝\f(1,3)x＋\f(1,2)，②))②×6－①得3＝0，矛盾．方程組無解，所以兩直線無公共點，l1∥l2.2.求證：不論m為何實數(shù)，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都過某一定點．[證明]法一：取m＝1時，直線方程為y＝－4；取m＝eq\f(1,2)時，直線方程為x＝9.兩直線的交點為P(9，－4)，將點P的坐標代入原方程左邊＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5.故不論m取何實數(shù)，點P(9，－4)總在直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直線恒過點P(9，－4)．法二：原方程化為(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0.若對任意m都成立，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－1＝0，,x＋y－5＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝9，,y＝－4.))所以不論m為何實數(shù)，所給直線都過定點P(9，－4)．3．求經(jīng)過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點且過坐標原點的直線l的方程．解：法一：由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1與l2的交點坐標為(－2,2)．∵直線過坐標原點，所以其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1，直線方程為y＝－x，一般式為x＋y＝0.法二：∵l2不過原點，∴可設l的方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.將原點坐標(0,0)代入上式，解得λ＝1，∴l(xiāng)的方程為5x＋5y＝0，即x＋y＝0.4.若三條直線l1：ax＋y＋1＝0，l2：x＋ay＋1＝0，l3：x＋y＋a＝0能構(gòu)成三角形，則a應滿足的條件是()A．a(chǎn)＝1或a＝－2 B．a(chǎn)≠±1C．a(chǎn)≠1且a≠－2 D．a(chǎn)≠±1且a≠－2解析：為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．(1)若三條直線交于一點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ay＋1＝0，,x＋y＋a＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－a－1，,y＝1，))將l2，l3的交點(－a－1,1)代入l1的方程解得a＝1或a＝－2①；(2)若l1∥l2，則由a×a－1×1＝0，得a＝±1②，當a＝1時，l1與l2重合；(3)若l2∥l3，則由1×1－a×1＝0，得a＝1，當a＝1時，l2與l3重合；(4)若l1∥l3，則由a×1－1×1＝0，得a＝1，當a＝1時，l1與l3重合．綜上，當a＝1時，三條直線重合；當a＝－1時，l1∥l2；當a＝－2時，三條直線交于一點，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a≠±1且a≠－2.[答案]D5.直線y＝2x＋10，y＝x＋1，y＝ax－2交于一點，則a的值為()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)解析：選C由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋10，,y＝x＋1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－9，,y＝－8，))即直線y＝2x＋10與y＝x＋1相交于點(－9，－8)，代入y＝ax－2，解得a＝eq\f(2,3).方法總結(jié)：1.判斷兩直線的位置關系，關鍵是看兩直線的方程組成的方程組的解的情況．(1)解方程組的重要思想就是消元，先消去一個變量，代入另外一個方程能解出另一個變量的值．(2)解題過程中注意對其中參數(shù)進行分類討論．(3)最后把方程組解的情況還原為直線的位置關系．2．解含有參數(shù)的直線恒過定點的問題(1)方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗證這兩條直線的交點就是題目中含參數(shù)直線所過的定點，從而問題得解．(2)方法二：含有一個參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點，其定點可由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，則表示的所有直線必過定點(x0，y0)．

題型二：兩點間的距離知識清單知識1：兩點間的距離公式(1)公式：點，間的距離公式.(2)文字敘述：平面內(nèi)兩點的距離等于這兩點的橫坐標之差與縱坐標之差的平方和的算術平方根．【理解】(1)此公式與兩點的先后順序無關，也就是說公式也可寫成.(2)當直線平行于軸時，.當直線平行于軸時，.當點,中有一個是原點時，.

典型例題1.已知三頂點坐標，試判斷的形狀．解析：法一∵|AB|＝eq\r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r((1－3)2＋(7＋3)2)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－(－3))＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－(－3))＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r((1＋3)2＋(7－1)2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r((3＋3)2＋(－3－1)2)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形．2．已知點A(－1,2)，B(2，eq\r(7))，在x軸上求一點P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值．解：設所求點P(x,0)，于是由|PA|＝|PB|得eq\r(x＋12＋0－22)＝eq\r(x－22＋0－\r(7)2)，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P點坐標為(1,0)，|PA|＝eq\r(1＋12＋0－22)＝2eq\r(2).3.證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．證明：如圖所示，以頂點A為坐標原點，AB邊所在的直線為x軸，建立直角坐標系，有A(0,0)．設B(a,0)，D(b，c)，由平行四邊形的性質(zhì)得點C的坐標為(a＋b，c)，因為|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝(b－a)2＋c2.所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.

方法總結(jié)：計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標或縱坐標相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．

題型三：點到直線的距離知識清單知識1：點到直線的距離(1)概念：過一點向直線作垂線，則該點與垂足之間的距離，就是該點到直線的距離．(2)公式：點到直線的距離.【理解】1．點到直線的距離公式需注意的問題(1)直線方程應為一般式，若給出其他形式，應先化成一般式再用公式．例如，求到直線的距離，應先把直線方程化為，得.2．點到幾種特殊直線的距離(1)點到軸的距離；(2)點到軸的距離；(3)點到與軸平行的直線的距離；(4)點到與軸平行的直線的距離.

典型例題1.求點P(3，－2)到下列直線的距離：(1)y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)；(2)y＝6；(3)x＝4.解析：(1)直線y＝eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)化為一般式為3x－4y＋1＝0，由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3×3－4×－2＋1|,\r(32＋－42))＝eq\f(18,5).(2)因為直線y＝6與y軸垂直，所以點P到它的距離d＝|－2－6|＝8.(3)因為直線x＝4與x軸垂直，所以點P到它的距離d＝|3－4|＝1.2.已知點A(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a＝()A.eq\r(2) B．2－eq\r(2)C.eq\r(2)－1 D.eq\r(2)＋1解析：選C由點到直線的距離公式知d＝eq\f(|a－2＋3|,\r(2))＝eq\f(|a＋1|,\r(2))＝1，得a＝－1±eq\r(2).又∵a＞0，∴a＝eq\r(2)－1.3.已知直線經(jīng)過直線與的交點．(Ⅰ)若點到的距離為3，求的方程；(Ⅱ)求點到的距離的最大值．解法一聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,x－2y＝0))?交點P(2,1)，當直線斜率存在時，設l的方程為y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，∴eq\f(|5k＋1－2k|,\r(k2＋1))＝3，解得k＝eq\f(4,3)，∴l(xiāng)的方程為y－1＝eq\f(4,3)(x－2)，即4x－3y－5＝0.而直線斜率不存在時直線x＝2也符合題意，故所求l的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.法二經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴eq\f(|5(2＋λ)－5|,\r((2＋λ)2＋(1－2λ)2))＝3，即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或eq\f(1,2)，∴l(xiāng)的方程為4x－3y－5＝0或x＝2.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0,x－2y＝0))，解得交點P(2,1)，過P任意作直線l，設d為A到l的距離，則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立)，∴dmax＝|PA|＝eq\r(10).

題型四：兩條平行直線間的距離知識清單知識1：兩條平行直線間的距離(1)概念：夾在兩條平行直線間的公垂線段的長度就是兩條平行直線間的距離．(2)公式：兩條平行直線與之間的距離.【理解】(1)利用公式求平行線間的距離時，兩直線方程必須是一般式，且，的系數(shù)對應相等．(2)當兩直線都與軸(或軸)垂直時，可利用數(shù)形結(jié)合來解決①兩直線都與軸垂直時，，，則；②兩直線都與軸垂直時，，，則.

典型例題1.求兩平行線與之間的距離．解析：法一在直線l1：2x－y－1＝0上任取一點，不妨取點P(0，－1)則點P到直線l2：4x－2y＋3＝0的距離為d＝eq\f(|4×0＋－2×－1＋3|,\r(42＋－22))＝eq\f(\r(5),2)∴l(xiāng)1與l2間的距離為eq\f(\r(5),2).法二將直線l2的方程化為：2x－y＋eq\f(3,2)＝0.又l1的方程為：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝eq\f(3,2)又A＝2，B＝－1由兩平行直線間的距離公式得：d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,2))),\r(22＋－12))＝eq\f(\r(5),2).2.求與直線l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距離為2的直線方程．解析：法一：設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0.在直線5x－12y＋6＝0上取一點P0(0，eq\f(1,2))，則點P0到直線5x－12y＋C＝0的距離為eq\f(|－12×\f(1,2)＋C|,\r(52＋－122))＝eq\f(|C－6|,13)，由題意，得eq\f(|C－6|,13)＝2，所以C＝32，或C＝－20.故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.法二：設所求直線的方程為5x－12y＋C＝0，由兩平行直線間的距離公式得2＝eq\f(|C－6|,\r(52＋－122))，解得C＝32，或C＝－20.故所求直線的方程為5x－12y＋32＝0，或5x－12y－20＝0.3．兩直線3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，則它們之間的距離為________．解析：因為兩直線平行，所以m＝2.法一：在直線3x＋y－3＝0上取點(0,3)，代入點到直線的距離公式，得d＝eq\f(|6×0＋2×3－1|,\r(62＋22))＝eq\f(\r(10),4).法二：將6x＋2y－1＝0化為3x＋y－eq\f(1,2)＝0，由兩條平行線間的距離公式得d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3＋\f(1,2))),\r(32＋12))＝eq\f(\r(10),4).

方法總結(jié)：求兩平行線間的距離，一般是直接利用兩平行線間的距離公式，當直線l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2時，d＝eq\f(|b1－b2|,\r(k2＋1))；當直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2時，d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).但必須注意兩直線方程中x，y的系數(shù)對應相等．

出門測1．原點到直線x＋2y－5＝0的距離為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D.eq\r(5)解析：選Dd＝eq\f(|－5|,\r(5))＝eq\r(5).4．若點(2，k)到直線5x－12y＋6＝0的距離是4，則k的值是________．解析：∵eq\f(|5×2－12k＋6|,\r(52＋122))＝4，∴|16－12k|＝52，∴k＝－3，或k＝eq\f(17,3).3．直線4x－3y＋5＝0與直線8x－6y＋5＝0的距離為________．解析：直線8x－6y＋5＝0化簡為4x－3y＋eq\f(5,2)＝0，則由兩平行線間的距離公式得eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5－\f(5,2))),\r(42＋32))＝eq\f(1,2).4.已知點A(1,1)，B(5,3)，C(0,3)，求證：△ABC為直角三角形．證明：法一：∵|AB|＝eq\r(5－12＋3－12)＝2eq\r(5)，|AC|＝eq\r(0－12＋3－12)＝eq\r(5)，又|BC|＝eq\r(5－02＋3－32)＝5，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC為直角三角形．法二：∵kAB＝eq\f(3－1,5－1)＝eq\f(1,2)，kAC＝eq\f(3－1,0－1)＝－2，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∴△ABC是以A為直角頂點的直角三角形．5．已知△ABC三個頂點坐標A(－1,3)，B(－3,0)，C(1,2)，求△ABC的面積S.解：由直線方程的兩點式得直線BC的方程為eq\f(y,2－0)＝eq\f(x＋3,1＋3)，即x－2y＋3＝0.由兩點間距離公式得|BC|＝eq\r(－3－12＋0－22)＝2eq\r(5)，點A到BC的距離為d，即為BC邊上的高，d＝eq\f(|－1－2×3＋3|,\r(12＋－22))＝eq\f(4\r(5),5)，所以S＝eq\f(1,2)|BC|·d＝eq\f(1,2)×2eq\r(5)×eq\f(4\r(5),5)＝4，即△ABC的面積為4.

課后練習1.已知直線l：,則直線在軸上的截距是（A）1 （B）－1 （C） （D）－2【答案】D2.直線的傾斜角及在軸上的截距分別為（A），2 （B），（C）， （D）【答案】B3.已知直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，且過定點，則直線的方程為________．【答案】x＝34.若兩點的坐標分別滿足，，則經(jīng)過、兩點的直線方程是______________。【答案】5.已知直線與直線互相垂直，則（（A）－1 （B） （C）1 （D）4【答案】C6.經(jīng)過點的直線在兩坐標軸上的截距都是正數(shù)，且截距之和最小，則直線的方程為（A） （B）（C） （D）【答案】B7.已知、、，則直線必不經(jīng)過（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【答案】D8.若動點A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點距離的最小值是()A．3eq\r(2) B．2eq\r(3)C．3eq\r(3) D．4eq\r(2)解析：選A由題意，結(jié)合圖形可知點M必然在直線x＋y－6＝0上，故M到原點的最小距離為eq\f(|－6|,\r(2))＝3eq\r(2).9.直線l過點A(3,4)且與點B(－3,2)的距離最遠，那么l的方程為()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0解析：選C由已知可知，l是過A且與AB垂直的直線，∵kAB＝eq\f(2－4,－3－3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3，由點斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.10．設Q(1,3)，在x軸上有一點P，且|PQ|＝5，則點P的坐標是________．解析：由題意設P(a,0)，則|PQ|＝eq\r(a－12＋0－32)＝5，解得a－1＝±4，即a＝5或－3.故點P的坐標是(5,0)或(－3,0)．11．若p，q滿足p－2q＝1，直線px＋3y＋q＝0必過一個定點，該定點坐標為________．解析：因為p＝2q＋1代入整理：(2x＋1)q＋3y＋x＝0對q為一切實數(shù)恒成立，即2x＋1＝0，且3y＋x＝0，所以x＝－eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,6).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,6)))12.分別求經(jīng)過兩條直線2x＋y－3＝0和x－y＝0的交點，且符合下列條件的直線方程．(1)平行于直線l1：4x－2y－7＝0；(2)垂直于直線l2：3x－2y＋4＝0.解：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－3＝0，,x－y＝0，))得交點P(1,1)．(1)若直線與l1平行，∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直線方程為y－1＝2(x－1)即：2x－y－1＝0.(2)若直線與l2垂直，∵k2＝eq\f(3,2)，∴斜率k＝－eq\f(1,k2)＝－eq\f(2,3)，∴y－1＝－eq\f(2,3)(x－1)即：2x＋3y－5＝0.13.已知兩直線，求分別滿足下列條件的的值。（Ⅰ）直線過點，并且直線與垂直；（Ⅱ）直線與直線平行，并且坐標原點到的距離相等?！敬鸢浮?4．求經(jīng)過兩直線l1：x－3y－4＝0與l2：4x＋3y－6＝0的交點，且和點A(－3,1)的距離為5的直線l的方程．解：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－4＝0，,4x＋3y－6＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－\f(2,3)))，即直線l過點Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(2,3))).①當l與x軸垂直時，方程為x＝2，點A(－3,1)到l的距離d＝|－3－2|＝5，滿足題意．②當l與x軸不垂直時，設斜率為k，則l的方