數(shù)學(xué)專接本(高數(shù))

一元函數(shù)微積分

一、求定義域、反函數(shù)、函數(shù)表達(dá)式、函數(shù)值

基本初等函數(shù)的定義域

事函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

對(duì)數(shù)函數(shù)

三角函數(shù)

反三角函數(shù)

初等函數(shù)本身的定義域

實(shí)際定義域

抽象函數(shù)定義域

復(fù)合函數(shù)定義域

反函數(shù)

一、求定義域、反函數(shù)、函數(shù)表達(dá)式

真題

1、(01-3)/(x)的定義域是[0,1],e(x)=/(x—；)+/(*+：)的

定義域是O

B.圖C圖.D即

2、(02-3)的定義域?yàn)?)

X

A.[-l,l]B.[1,0)u(0,1]C.[-l,+oo)D.[0,+oo)

3、(03-3)函數(shù)。。)=而7+J16-x2的定義域?yàn)?)

A[0,7i]B[-4,-4]U[0,?]C[-4,4]D[-鞏乃]

4、(04-2)函數(shù)/。)=土口的定義域?yàn)開(kāi)_____________

Inx

5、(04-2)函數(shù)y=但的反函數(shù)為

X-1

6、(05-2)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)，與函數(shù)/(x)=71匹相等的函數(shù)()

AlnxB^Inx2Cln|x|D|lnx|

7、(06-2)函數(shù)y=arcsin(2x—1)+」一的定義域是()

Inx

A.(0,1)B.(0,l]C.(O,2)D.(0,2]

8、(06-2)函數(shù))，=」-+華二2的定義域是()

x-377+1

A.(-l,+oo)B.(l,+oo)C.(-l,3)U(3,+oo)D.(1,3)U(3,+oo)

9、(06-2)函數(shù)y==T+sin4的定義域是。

A.[0,l]B.[0,l)U(l,3]C.[0,+oo)D.[0,3]

10、(07-3)已知函數(shù)/(x)的定義域是[0,2],則/(Inx)的定義域

為()

A、[l,e2]B、[l,e]C、(0,e]D、(0,+oo]

11、(07-3)函數(shù)/(x)=丁1一+ln(x-1)的定義域是()

V4-x2

A、(1,2)B、(1,2]C、[-2,2]D、(l,+oo)

12、(07-3)函數(shù)/(x)=-J一+ln(x-l)的定義域是()

V4-x2

A、(1,2)B、(-2,2)C、(l,+8)D、(2,+oo)

||

13、(08-2)設(shè)/(x)=Ux,g(x)=/，則/(g(x))=

14、（08-2）函數(shù)/（x）的定義域是[0,1],則”x+l）的定義域是（）

A[-2,-1]B[-l,0]C[0,1]Dfl,2]

15、(08-2)函數(shù)y=arccosx+21nx的定義域是

16、(09-2)函數(shù)/(x)=如二占的定義域是()

x+4

A[-4,4]B[-4,4)C(-4,4)D(-4,4]

17、(09-2)已知/(x)=L,則/"(2)]的值為()

\-x

18、(10-3)若函數(shù)/(關(guān))的定義域[1,3],則函數(shù)/(1+右2)的定義域

為()

A[1,3]B[0,2]C[-V2,V2]D[-V2,0]

19、(10-3)函數(shù)y=Ji匚匚+arccosw-的定義域?yàn)?)

A(-3,2]B[-3,l]C(-a),l]D[-l,3]

20、(10-3)函數(shù)—21的定義域?yàn)?)

V9-x2

A(2,3)B(2,3]C[-3,2)D(-3,2)

強(qiáng)化訓(xùn)練：

1、設(shè)/(x)的定義域[0,1],求下列函數(shù)的定義域

f(ex)/dnx)

f(arctanx)f(cosx)

2*_1

2、函數(shù)的反函數(shù)為,反函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2+1

3、設(shè)/'(sin?x)=cos?x,則/(x)=

二、函數(shù)的奇偶性

定義法

奇偶函數(shù)的性質(zhì)

利用導(dǎo)數(shù)及積分的性質(zhì)

二、函數(shù)的奇偶性

真題

1、(04-2)下列函數(shù)中，奇函數(shù)是。

X.-X

Af(x)=-------Bf(x)=x3+l

C.f(x)=--—Df(x)=cosx+1

2、(05-2)在區(qū)間［-1,1］上，設(shè)函數(shù)/(x)是偶函數(shù)，那么-/(x)()

A是奇函數(shù)B、是偶函數(shù)

C、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D、不能被判定奇偶性

3、(05-3)如果函數(shù)°(x)=,那么函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，

ln(x+71+x2)x〉0

這里/(x)=?0x=0

°(x)=x<0

4、(07-2)設(shè)/(x)=x(2x+l)(2x—l),x￡(—oo,+8),則以下命題正

確的是()

A、/(x)為奇函數(shù)B、/(x)為偶函數(shù)

C、“X)為有界函數(shù)D、“X)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)

5、(09-2)設(shè)函數(shù)/(x,y)在(-co,+oo)上有定義，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的

是()

A/(Ixl)Bl/(x)lCf(x)+f(-x)D/(x)-/(-x)

強(qiáng)化訓(xùn)練

1、設(shè)/(x)為R上的可導(dǎo)函數(shù)，則

A若/(X)為偶函數(shù)，則/'(X)也為偶函數(shù)

B若/(*)為奇函數(shù)，則尸(x)也為奇函數(shù)

C若/(X)為周期函數(shù)，則/'(x)也為周期函數(shù)

D若/(x)為單調(diào)函數(shù),則/'(x)也為單調(diào)函數(shù)

三、極限

極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則

兩個(gè)重要極限

極限四則運(yùn)算法則

利用復(fù)合函數(shù)求極限

等價(jià)無(wú)窮小因子替換定理

羅比達(dá)法則

函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

變限積分的導(dǎo)數(shù)極限

基指函數(shù)求極限

分別求左右極限求極限(極限存在的充要條件)

三、極限

真題

1、(01-3)lim2;=()

xfO

A.OB,+ooC.ooD.不存在

sinx21

2、(01-3)lim(~)=()

—X-l

A.-B.lC.2D.O

2

3、(02-3)若limf(x)=8,limg(x)=8,則必有()

A.lim(/(x)+g(x))=ooBlim(/(x)-g(x))=0

X—??x—>a

C.lim-----i-----=0

Dlim4f(x)=oo,(kw0)

』/(x)+g(x)x—>?

4、(02-3)設(shè)lim)+'”=3,則a,b分別為()

XfIX-l

A.1,1B,-l,2C.-2,lD.1,-2

]e-'2dt

5、(02-10)求極限lim%H—

6、(03-3)lim(三匚)_2，=()

XTXX+1

AlBooC1De3

7、(04-2)]jm(/+//)=.

11111

"TOO7771AA7T2777^

8、(04-3)下列結(jié)論不正確的是()

A單調(diào)有界數(shù)列必有極限

B極限存在的數(shù)列必為有界數(shù)列

Clim/(x)存在的充分必要條件是左右極限都存在

DO是無(wú)窮小量

9、(04-3)下列結(jié)論正確的是()

AJifQXsin—=1BJjj^xsin—=1

ciimd+：)=iDlimxsin—=0

"Too"

10、(04-10)]im(

Jl+2x—y/l—x

11、(04-2)lim

?90

c「sin5x

12、(04-2)hm-----

x->0-sin2x

13、(04-2)lim(l+-)"=______________

〃一＞8〃

14、(04-2)下列結(jié)論正確的是()

Alimxsin—=1B.hmxsin—=1

X—＞8XX

C.limxsin—=0Dlim(l+-)w=1

x*X

15、(04-2)設(shè)f(x)=巴，則lim/(x)=()

x1。

A.lB.-lC.OD.不存在

16、(04-10)lim(—+—+—)

”一＞81-22-33-4〃("+1)

8

17、(05-2)設(shè)4+Za1，那么極限lim%=

n-xc

n=l

A、可能存在，也可能不存在B、不存在

C、存在，但極限無(wú)法確定D、存在，并且極限值為1

「J)coszsinrJr

1(

18、(05-3)皿0

丫2I1

19、(O5-io)設(shè)lim(1r,—ax一切=0，求。力的值

X->00X

20、(05-2)在下列各式中，正確的是()

sinx.sinx

Alim------=1Blim----=1

x->0xx-*

sinx.sinx{

Clim------=1Dlim----=1

XT-00x18X

[(arctanf尸力

21、(05-3)lim

7x2+1

22、(05-10)求極限lim⑶11smx

KfOx

23、(05-10)設(shè)lim(02葉1_如_加=0,求。力值

I，X

24、(06-2)1加("」產(chǎn)=()

is3冗一2

52-3

A.03B.0c.eD.e

f(ev+siny-l)dy

25、(06-8)求--------------

x\n(l+x)

2

26、(06-3))r=____________

18%+J

27、(06-8)求lim-八一》…

2x(1-cosx)

28、(06-2)下列極限正確的是()

1

A.lime”=ooB.limex=+oo

X->8x->04

sin(x2-1)

C.lim吧=1D.lim----------=1

XTl

XXTlX-\

29、(06-8)求極限lim'smx

iox-sinx

tanx-x

30、(07-7)

求極限]im2

x->0xsinx

31、(07-7)求極限limtanxr

x-sinx

|sin"力

32、(07-7)求極限lim

x->0x-sinx

33、(07-2)下列等式不正確的是()

「sinx[sinx

A、lim——=1B、lim=0

XTOXx

C、JjjYlxsin—=0D、JjjYjxsin—=0

A-?0%.V->00X

34.(08-2)下列正確的是()

Asinx1八.I

A、lim-------1B、limxsin—=I

XT8XX->00X

C、lim(l—)'=eD、Iim(l+—)'=c

x—>ooXx—>ooX

35、(08-2)極限lim/(x)存在的充分必要條件是/(x)在x0處

A連續(xù)B左右極限至少一個(gè)存在

C左右極限都存在D左右極限存在且相等

36、(08-7)求極限lim史曳匕也

20x-sinx

37、(08-2)函數(shù)在處左右極限存在是極限存在的()

A充分非必要條件B必要非充分條件

C充要條件D既非充分又非必要條件

sn(v2)

38、(08-4)lim；-

12X-5X+6

7r_a

40、(08-7)

e2x—5

[(1-cosf)df

41、(09-7)求極限lim

x->0x3

42、(09-2)極限lim(l+x)；=()

XTO

AIBeCe<De2

43、(09-2)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(x2+i),則lim回上他=()

￡->oAx

A0B1C-1D2

Y'

44、(09-4)極限lim—=_____________

v-—X

[t2tantdt

45、(09-7)求極限lim?~-——

r2+x—2

46、㈣2)極限噌*7r(

A-3B-2C1D2

/、二1、

47、(10-3)lim(l+x)r+limxsin—=()

x->0x-+oo%

AeBe_1Ce+1D/+1

48、(10-3)lim(xsin---sinx)=()

xx

A-3B-2C1D-1

49、(10-3)lim2sm履=3,則k=()

3x2

49

A-B-C1D13

94

50、(10-10)求極限lim2xTi：(2x)

xsinx

51、(10-10)求極限lim.—

I。+力

強(qiáng)化訓(xùn)練

i..sincox

1lim-------

x->0x

ctanx

2Iim----

.SOx

cvsin2x

3lim-----

9。sin5x

4limxcotx

A->0

「「1-cos2x

5lim--------

xsinx

Y

n

6lim2sin一

io2"

-tan3x

7lim------

?2。2x

8limSm(X，)

1。(sinx)n

八..tanx-sinx

9lim----------

iosin'x

sinx-tanx

10lim

XTO(#1+r—1)(Jl+sinx-1)

11lim(l-x)r

12lim(l+2x)7

lim(—)2x

X

14lim(l--)fa

XfooX

ln(l+x)

lim

XTO

161in/I

osinx

sin%-sin。

171im--------------

x-a

c..sin3元

18lim-------

XT萬(wàn)tan5x

Insinx

19lim

n(萬(wàn)一2x)2

rw-am

20lim--「(awO)

?fxn-an

「Intan7x

21lim-----------

zo'Intan2x

tanx

22lim

XT三tan3x

2

ln(l+-)

23lim--------匚

xfyarccosx

24limInQ+x?)

secx-cosx

25limxcot2x

x->0

26limx2e'2

x->0

21

27lim(-F-------—)

…x2-lx-l

281加(1+與，

ISX

29limxsinA

XTO+

16lim(-),anA

x->0+X

xcosx-sinx

30lim-----------------

iox3

31

iox(ex-I)

l+cos^x

32lim-----------

—x-2x+l

x-arctanx

33lim

x->0ex'-1

^axbx

e—e

34lim

x—>0X

35lirnC--------)

-Inxx-\

(2x~-x+1

36hm(---------)x

—2x+x-l

4arctanX-TC

37lim----------------

21X-1

38若/⑴=0,尸⑴=2,則1而42=

xfX-1

X+1—

391im(q~)2=_________

18X-1

A1B/C0De-1

->3

rt^dt

40lim—----------

*,Q_sinM

41若崛笠署=2,則一

Aa=2,b=4Ba=4,Z?=-5

Ca=\,b=—2Da=—4,Z?=5

42lim/.=——.

2。Jl+xsin九一Jcosx

￡(tanVr-

43lim±-------------------

—°f'(tanj-sint)dt

x

ln(l+-)

44設(shè)/(x)=(一—,X<°,求lim/(x)

sin產(chǎn)力,xNO

四、連續(xù)與間斷點(diǎn)

連續(xù)的定義

連續(xù)的充要條件

分段函數(shù)的連續(xù)性

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

間斷點(diǎn)的定義及類型

四、連續(xù)與間斷點(diǎn)

真題：

1、(01-3)/(x)在(—1,1)內(nèi)有定義域，且1而42=2,/(0)=0,則

X

()

A.lim/(x)不存在Blim/(x)存在，且不等于零

C/(x)在x=0不連續(xù)D/(x)在x=0連續(xù)

2、(02-3)函數(shù)y=|x-l|在x=l處()

A.連續(xù)、可導(dǎo)B.不連續(xù)、不可導(dǎo)

C連續(xù)、不可導(dǎo)D不連續(xù)、可導(dǎo)

3、(03-3)設(shè)/*)在/點(diǎn)處不連續(xù)，則()

A/'。。)必存在Blim/(x)必存在

C/'(x0)必不存在Dlim/(x)必不存在

4、(04-2)設(shè)f(x)=上］叵二，試定義f(x)在x=0處的值，使f(x)

x

在x=0處連續(xù)，則f(0)=

2+i(x<0)

5、(04-10)設(shè)f(x)=《sinbx,小確定b的值，使f(x)在x=0處

-------(x>0)

.x

連續(xù)

6、(05-2)如果函數(shù)/(x)在點(diǎn)/處連續(xù)，并且在點(diǎn)質(zhì)的某個(gè)去心

鄰域內(nèi)/(x)>0,那么()

A、/(拓)2。B、/(x0)>0

C、4))=0D、/(x0)<0

7、(05-2)設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x°可導(dǎo)，那么/(x)

A、在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)B、在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù)

C、在點(diǎn)％處連續(xù)D、不能判定在點(diǎn)無(wú)。處是否連續(xù)

8、(05-3)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(-co,+oo)內(nèi)連續(xù)，且

3"-Y

fW=--------(x>0),那么/(0)=

x

9、(05-2)設(shè)函數(shù)”X)在區(qū)間(-應(yīng)+8)內(nèi)有定義，并且lim/(x)=。

令g(x)/心那么()

Qx=0

A點(diǎn)x=0是g(x)的左連續(xù)點(diǎn)；B點(diǎn)x=0是g(x)的右連續(xù)點(diǎn)

C點(diǎn)x=0是g(x)的連續(xù)點(diǎn)Dg(x)在點(diǎn)x=0是否連續(xù)，與

a值有關(guān)

10、(05-2)設(shè)函數(shù)/(%)=卜一1|,那么在點(diǎn)x=l處，函數(shù)/(x)()

A連續(xù)，可導(dǎo)；B不連續(xù)，但可導(dǎo)

C不連續(xù)，也不可導(dǎo)D連續(xù)，但不可導(dǎo)

11、(05-3)設(shè)函數(shù)=*"I如果a=,那么函

axx>1

數(shù)/(X)在點(diǎn)X=1處連續(xù)

12、(05-2)設(shè)函數(shù)在區(qū)間(fo,+oo)上有定義，并且lim/(x)=。。

xf8

令g(x)=［心…

bx=Q

在下列論斷中，正確的是()

A當(dāng)a<b時(shí)，點(diǎn)x=0是函數(shù)g(x)的連續(xù)點(diǎn)

B當(dāng)a>6時(shí)，點(diǎn)x=0是函數(shù)g(x)的連續(xù)點(diǎn)

C當(dāng)a=b時(shí)，點(diǎn)x=0是函數(shù)g(x)的連續(xù)點(diǎn)

D在任何情況下，點(diǎn)x=0都不了能是函數(shù)g(x)的連續(xù)點(diǎn)

sin2x+e2ax-1

13、(05-3)設(shè)函數(shù)/(x)=「在區(qū)間上

ax=0

(-oo,-i-oo)連續(xù),那么a=

sin2x

x>0

14、(06-3)設(shè)函數(shù)/(x)=(x在x=0點(diǎn)處連續(xù)，則

x2I4-ax<0

a=

Jl+x—V1—x

XG[T，°)U(°，H在點(diǎn)

15、(06-3)函數(shù)/(x)h

Xx=0

a

x=0處連續(xù)，則”―

2

(]+X)i

16、(07-4)函數(shù)在點(diǎn)x=0處連續(xù)，則常數(shù)

X+Qx<0

a=_____

I

17、(07-3)若函數(shù)/(外=((1一”)、”"°在點(diǎn)x=0點(diǎn)連續(xù)，則

kx=0

k)

A、0B、eC、eD、任意實(shí)數(shù)

18、(07-3)設(shè)函數(shù)/(x=(1一2幻，)x’°在(一叫+8)上連續(xù)，則

[ax=。

a=()

A、e2B、/c、eD、-2

x2x<0

19、(08-7)設(shè)函數(shù)=|1一/_]在連續(xù)，求。的值。

—~~；-----,%>0

a,x=0

20、(08-4)設(shè)f(x)={1在x=0處連續(xù)，則。的值

(1+3天尸，工。0

x+a.x>0

21、(09-2)設(shè)/(x)=i在1=0處連續(xù)，則a的值

(l-2x)x,x<0

為()

Ae2B/C"2D1

—sinx+a,x<0

22、(09-2)若函數(shù)/(%)=<x=0在x=0連續(xù)，則a

xsin—,x>0

x

()

A2B0C1D-1

x

I-n--c-o--s---xw0

23、(10-3)已知/(x)=4%2在x=0點(diǎn)連續(xù)，則。=()

x=0

24、(10-3)若函數(shù)〃x)=N+x產(chǎn)在x=0連續(xù)，則a=()

a+%2%"。

A2BeC-Dy/e

2

25、(10-3)設(shè)函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且/'(%)=g,則

所"/+3池―/(*。)二()

h

B

A|-C1D--

33

26、(10-3)設(shè)函數(shù)/(x)=sin|x|,則下列結(jié)論正確的是()

A在x=0處，/(x)不連續(xù)B/(x)是奇函數(shù)

C在x=0處，/a)連續(xù)且可導(dǎo)D在x=0處，/(x)連續(xù)但不

可導(dǎo)

27、(10-4)若>=，產(chǎn)sin(2『Wf,則dy-

強(qiáng)化訓(xùn)練

是函數(shù)了=早的第

1、x=類間斷點(diǎn),

|尤一1|

且為間斷點(diǎn)。

<2

2、設(shè)/(%)=<k,x=2,(1)。為何值時(shí)，/(%)在冗=2出的

ax+4,x>2

極限存在？(2)k為何值時(shí)，/(x)在尤=2處連續(xù)?

3、設(shè)/(》)=『叫,》>0,討論〃x)在x=0處的連續(xù)性

e'+/3,x<0

4、若lim/(x)=a，則必有

A/(x)在/點(diǎn)連續(xù)B/(x)在/點(diǎn)有意義

C/(x)在/的某去心鄰域內(nèi)有定義Da=/(x0)

.1八

、xsin—，XHO

5、/(x)=Jx在x=O處

0,x=0

A不連續(xù)B連續(xù)但不可導(dǎo)

C可導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不連續(xù)D導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)

X

6、設(shè)/(x)=10,x=0,則x=0是/(x)的

xcos—,x>0

X

A連續(xù)點(diǎn)B可去間斷點(diǎn)C跳躍間斷點(diǎn)D震蕩間斷點(diǎn)

7、設(shè)/(x)=上；/4,貝鼠=1處函數(shù)/(x)

2,x=1

A不連續(xù)B連續(xù)但不可導(dǎo)

C可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)連續(xù)D燈導(dǎo)但導(dǎo)數(shù)不連續(xù)

8、討論函數(shù)y=—，的間斷點(diǎn)的類型

五、無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的階的比較

無(wú)窮小的定義

無(wú)窮小的階的定義及k階無(wú)窮小的定義

常用的等價(jià)無(wú)窮小

無(wú)窮小階的運(yùn)算

等階無(wú)窮小的因子替換定理

無(wú)窮小于無(wú)窮大的關(guān)系

五、無(wú)窮小、無(wú)窮大及無(wú)窮小的階

真題

1、(04-3)當(dāng)x->0使，與e2，-l等價(jià)的無(wú)窮小量()

A.xB.2xC.3xD.x2

2、(04-3)下列結(jié)論正確的是()

A.無(wú)窮小量是很小的正數(shù)B.無(wú)窮大量是很大的數(shù)

C.無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量D.一個(gè)很小的正數(shù)的倒數(shù)是無(wú)

窮大量

3、(05-2)設(shè)a(x)=ln(l+X?),￡(x)=2xsinx,當(dāng)xf0時(shí)，()

A、史且沒(méi)有極限B、d(x)與伙x)時(shí)等價(jià)無(wú)窮小

隊(duì)x)

C、0(x)與尸(x)是同階無(wú)窮小D、d(x)是比夕(x)高階的無(wú)窮小

4、(05-2)當(dāng)x>0時(shí)，如果x"與xsin。是等價(jià)無(wú)窮小，那么”=

()

A3B4C5D6

5、(06-2)當(dāng)x->0時(shí)，下列無(wú)窮小量中比x高階的無(wú)窮小量是

()

A.sinxB.x+x2C.VxD.1-cosx

6、(07-2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的導(dǎo)數(shù)/'(%)*0,dy的該函

數(shù)在點(diǎn)x=x()的微分，Ay=/(x0+Av)-/(x0),則以下說(shuō)法正確的

是()

A、當(dāng)Ax->0時(shí),dy是比Ay高階的無(wú)窮小

B、當(dāng)心―0時(shí),dy是比Ay低階的無(wú)窮小

C、當(dāng)心—0時(shí),dy與Ay是等價(jià)無(wú)窮小

D、以上說(shuō)法均不對(duì)

7、(08-2)當(dāng)x-?0時(shí)，下列變量中，哪個(gè)是無(wú)窮小()

11,

Axsin-B—sinxCInx~De'

xx

7、(09-2)下列函數(shù)中，當(dāng)0時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是

()

?-2

Ax2sinxB3x2Csinx2D——

3

8,(09-2)當(dāng)xfO時(shí),下列函數(shù)中與sin(/)為等價(jià)無(wú)窮小的是

()

AxBx2CsinxD1-cosx

強(qiáng)化訓(xùn)練

1、下列命題不正確的是

A非零常數(shù)與無(wú)窮大之積是無(wú)窮大

B零與無(wú)窮大之積是無(wú)窮小

C無(wú)界函數(shù)是無(wú)窮大

D無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小

、設(shè)

2a=^~—>p=1-Vx,當(dāng)xf1時(shí),

1+x

Aa與一是等價(jià)無(wú)窮小Ba是比夕高階無(wú)窮小

Ca是比4低階無(wú)窮小Da與夕是同階無(wú)窮小

3、設(shè)/(%)=6、+3*-2,當(dāng)xf0/(x)與x是無(wú)窮小

六、導(dǎo)數(shù)與微分

定義法

具體函數(shù)求導(dǎo)

抽象函數(shù)求導(dǎo)

隱函數(shù)求導(dǎo)

參數(shù)求導(dǎo)

對(duì)數(shù)求導(dǎo)

指數(shù)求導(dǎo)

分段函數(shù)求導(dǎo)

四則求導(dǎo)法則

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)

反函數(shù)求導(dǎo)

高階求導(dǎo)

變限積分求導(dǎo)

六、導(dǎo)數(shù)與微分

真題

1、(01-3)/(x)在x=x0可導(dǎo)，且")=3則

”->0h

/,(x0)=()

A.3B.2C.lD.O

x2

2、(01-3)°(x)=「inx2dx，則°(x)=()

o

A.sinx4B.2sinx4C.cosx4D2xcosx4

3、(02-10)設(shè)y=l+—求y”

4、(02-10)設(shè)〃^———,而y=Qsinx,z=cosx,求也.

。?+1dx

5、(04-2)設(shè)片p(x)=[sin/2力，貝llp'(x)=

6、(04-10).設(shè)y=xJl-x?+arcsinx,求y'

7、(04-2)設(shè)y=arctantx,貝ljdy=

8、(04-3)下列結(jié)論不正確的是O

A.dlnx=—dxB.dcosx=sinxdx

x

132

C.darctanx=------dxD.dx=3xdx

1+x2

9、(04-10)設(shè)y=ln(x+J/+Y)，求y'

10>(04-10)設(shè)方程arctan土=InJ/+弓確定y是x的函數(shù),求

y

f

y

11>(05-3)設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程盯-2，+2,=0確定，那么

/，(0)=

12、(05-2)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，那么

f(x+h)7(x-7h);()

lim

/i->0h

A./(x)B2/'(x)Cf'(x).D8f'(x)

13、(05-2)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間(一8,+oo)上連續(xù)，那么"J7(x)dx

()

A、/(x)B、于(x)dx

C、f(x)+c(c為任意常數(shù))D、f，(x)dx

14、(05-3)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)/可導(dǎo)，那么

垢了十)一八'。)=

XfX0

—te

■f6,確定,那么

y=ledu

尸(0)=________

16、(05-10)設(shè)函數(shù)y=/(x)由方程2"，'=x+y確定，那么

八0)=________

17、(06-2)y=xsinx,貝ljdy=()

A.(1-cosx)dxB.cosxdx

C.(sinx+xcosx)dxD.(sinx+cosx)dx

18、(06-2)已知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-?,則當(dāng)。=30時(shí)

的邊際收益為()

A.-2B.-3C.2D.3

8、(06-8)^y=e~xsinx,求y"

19、（06-2）設(shè)函數(shù)/（x）在點(diǎn)x=l處可導(dǎo)，且

蜘""2?，⑴4則廣⑴二（）

20、(06-2)若如。=Lx>0,則/(x)=()

d(x")x

A.2x+cB.2y[x+cC.ln|x|+cD.21nx+c

x=ln(l+產(chǎn))

21、(06-3)設(shè)|,則空=_________

dx

y=arctanx

22>(06-8)y=71+x2+Incosx+e2，求y'

23、（07-2）某商品的需求量Q（單位：百件）與價(jià)格p（單位:

千元）的關(guān)系為Q（p）=15”pe[0,10],則價(jià)格為9千元時(shí)的需

求彈性是（）

A、3B、-3C、9D、-9

24、(07-3)已知y=e%sin(3+5x),則微分dy=()

A、e-2v[-5cos(3+5x)-2sin(3+5x)}/x

B^-2A[5COS(3+5x)+2sin(3+5x)]t/x

Ce-2x[-5cos(3+5x)+2sin(3+5x)]dx

De-2v[5cos(3+5x)~2sin(3+5x)]dx

25.(07-8)已知曲線的參數(shù)方程卜=%:，證明Ie“生+=0

y-2e2dxdx~

26、(07-4)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程cos(xy)=e-*=lny所確定，則

dy__

dx

27、(07-7)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程/+盯-e2=0所確定，求y'(0)

28、(07-7)設(shè)/(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足(丁“勸=/+/(x),求

/(x)

29、(07-2)設(shè)/'(為)存在,則下列4個(gè)極限中等于/'(/)的是()

/(x-Ar)-/(x)(。)-/(/+人)

A、00B、/X

叨?-----瓦-----limh

C、limV曳D、lim

XfXo冗”(Jh

f(x+2h)-f(x)

30、(08-2)設(shè)函數(shù)/(x)可導(dǎo),則lim

20h

31、(08-7)函數(shù)/(x)在［0,1］可導(dǎo)，/(x)>0,/(0)=l且在［0,1］

滿足等式/(x)―匚「"")小=0,求函數(shù)/(x)

x-1

32、(08-2)y=y(x)是由方程盯+lny=0確定的函數(shù)，求

dy__

dx

33、(08-2)已知某商品的收入函數(shù)=當(dāng)邊際收入為

零時(shí)2=________

34、(08-2)函數(shù)/(x)=xcosx,則/弓)=

V=“Tr

35、(09-4)參數(shù)方程上里一所確定的函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)

y=arctant

dy__

dx

36、（09-2）已知某產(chǎn)品的總成本函數(shù)C與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系為

C（x）=0.2x2+l0^+2000,則當(dāng)產(chǎn)量x=ion寸，其邊際成本是（）

A-14B14C-20D20

37、（09-4）設(shè)參數(shù)方程（,則蟲(chóng)=_______________

y-tcostdx

38、（09-7）試確定曲線/（x）=g?+芯+cx+16中的a,Z?,c,使得

曲線在x=-2及x=4處有水平切線，且點(diǎn)（1,-10）在曲線上。

39、（09-7）求方程xy-In（x+y）=0所確定的函數(shù)y=/（x）的微分

dy

40、（10-3）已知參數(shù)方程卜=31+廣），則由=（）

y=arctantdx

AfB2rC-D

強(qiáng)化訓(xùn)練

1、下列各題中均假定/'(%)存在，按照導(dǎo)數(shù)定義觀察下列極限,

指出A表示什么；

⑴lim/(x0-Ax)-/(x0)^A

以TOAx

(2)1加幺也=4,其中/(0)=0,且/(0)存在

X

(3)lim〃/―/?)=A

5h

2、討論下列函數(shù)在x=0的連續(xù)性與可導(dǎo)性

(1)y=|sinx|

(2)

[.1八

x2sin—,x#0

(2)y=jx

I0,x=0

3、函數(shù)/(x)=%，X-1函數(shù)/(x)在x=l處連續(xù)可導(dǎo)

[ax+b,x>1

應(yīng)取什么值?

Y>Q

4、已知/“一;二?！罅Β图啊涪褪欠翊嬖?

sinx,x<0

5、已知f(x)=<求/'(x)

x,x>0

6、函數(shù)y=/(x)在x=x0處可導(dǎo)的充分必要條件是

A/(x)在/處連續(xù)B/(x)在/可微

Clim/(x)存在D以上均不對(duì)

7、若函數(shù)y=y(x)由方程e*，+y3-5x=O確定，求生J。

x=ln(l+/2)d2y

8、y=l-arctan/求左

9、設(shè)函數(shù)/*)=＜亍，""I,則〃x)在x=l處的

X2,X＞1

A左右導(dǎo)數(shù)都存在B左導(dǎo)數(shù)存在但右導(dǎo)數(shù)不存在

C左導(dǎo)數(shù)不存在但右導(dǎo)數(shù)存在D左右導(dǎo)數(shù)都不存在

10>設(shè)y(攻=sinx2sin2x，求y'(x),y"(x)

11＞若函數(shù)y=y(x)由方程e，-孫=e確定，求生，

axax

x=f-ln(l+f)d2y

12、432，求一T

y=t+rdx~

13、y=*嚴(yán),求dy

x,x<0

14、設(shè)f(x)=<求廣(0)

ln(l+x),x>0

22

15、求由橢圓方程，+2=1所確定的函數(shù)y的二階導(dǎo)數(shù)

o

x=3/2+2t.X.dyI

16、已知.i八，習(xí)1三U0

e)ysmf-y+l=0ax

17>設(shè)丁=$111%2,求生，

dxdx"

設(shè)仁累小)出片y

18、/"⑷存在且不為0,求亦

19、設(shè)/(x)在/處可導(dǎo)，則1而短■也小二夕=

/?—>0h

20>y=ln（x+A?+1）,求dy

21、設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程f/力+fcos產(chǎn)力=0確定，求牛"

2加設(shè)〃"曾匕，求")

23、設(shè)冗=2/-/，y=3/-/3^<—5-

dx

24>設(shè)y2+21ny=/,求），

x=ln（l+產(chǎn)）

d2y

25、

2

y=---彳dudx

上1+〃2

26、設(shè)y=xtim3求y

xy

27、已知y=1+xe，求y'\x=0

28、設(shè)y=/2(x)+〃x2),/J)具有二階導(dǎo)數(shù)，求y"

29、求由方程cos(xy)=/y2所確定的函數(shù)y的積分

t，an"2x八

30、設(shè)/（X）=求r（x）

0,x=0

x=3產(chǎn)+2t

31、已知V

eysinr-y+1=0

32、設(shè)//力+「cosfdf=0,則了=

七、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（―）極值與最值：

極值的第一第二充分條件、應(yīng)用題

（-）切線方程與法線方程

（三）單調(diào)閉區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)

（四）中值定理

七、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）極值與最值：極值的第一、第二充分條件、應(yīng)用

題

(二)切線方程

(三)單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、極值點(diǎn)、拐點(diǎn)

(四)中值定理

真題

(-)極值與最值：極值的第一、第二充分條件

X

1、(02-3)設(shè)〉=的一1)小，則y有()

0

1-11_1

A.極小值-B.極小值—C極大值-D極大值—

2222

2、(02-3)設(shè)y=/(x).在/處有極大值，貝U()

A/(Xo)=OB,./(Xo)=OJ"(Xo)<O

Cr(x0)=0或/'(%)不存在D./"(/)<0

3、(04-3)設(shè)函數(shù)f(x)在(-co,+oo)上連續(xù)，其導(dǎo)數(shù)r(x)的圖形

如圖所示，則f(x)有()

A.一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)B兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大

值點(diǎn)

C兩個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)D兩個(gè)極小值點(diǎn)和三個(gè)極大

值點(diǎn)

4、(05-2)設(shè)函數(shù)y=/(x)滿足等式y(tǒng)”-y'-5y=0,并且

廣(%)=0,/(與)<0,那么在點(diǎn)而處，函數(shù)/(x)

A、不能被判定是否取得極值；B、一定不取得極值

C、取得極小值D、取得極大值

5、(05-2)設(shè)函數(shù)/(x)在點(diǎn)x0的鄰近有定義，在點(diǎn)與處二階可導(dǎo),

并且/(x0)=0,/"(Xo)H0,那么函數(shù)在X。點(diǎn)處O

A一定取得極值B取得幾小值

C取得極大值D不能判斷是否取得極值

6、(06-3)函數(shù)y=x-e■'的極大值點(diǎn)是極大值是

7、(07-2)以下結(jié)論正確的是()

A、駐點(diǎn)一定是極值點(diǎn)B、極值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)

C、不可導(dǎo)的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)D、駐點(diǎn)與不可導(dǎo)點(diǎn)均可能是極

值點(diǎn)

8、(07-2)下列關(guān)于極值的命題中，正確的是()

A、若廣&)=0,則%一定是/(x)的極值點(diǎn)

B、極大值一定小于極小值

C、若/是/(x)的極值點(diǎn)，則X。一定是/(x)的駐點(diǎn)

D、若/(x)在/處取得極值且((X。)存在，則/'(%)=0

9、(08-2)下列論述正確的是()

A函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)一定是f(x)的極值點(diǎn)

B函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)一定是/(x)駐點(diǎn)

C函數(shù)/(x)在/處可導(dǎo)，則在與處連續(xù)

D函數(shù)/(x