土木工程測量講義誤差理論

《測量學(xué)》

第五章

測量誤差基本知識491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生測量誤差的三個因素：儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經(jīng)驗缺乏等；外界影響—氣象因素如溫度變化,風(fēng)力,大氣折光等

。結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進(jìn)行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(正負(fù)號)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響有一定(數(shù)學(xué)或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進(jìn)行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494按測量誤差產(chǎn)生原因和對觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準(zhǔn)儀視準(zhǔn)軸誤差

i

中間法水準(zhǔn),前后視等距

經(jīng)緯儀視準(zhǔn)軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。（三）粗差由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標(biāo)瞄準(zhǔn)、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細(xì)心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性偶然誤差的定義設(shè)某一量的真值為X，對該量進(jìn)行n

次觀測，得n個觀測值，產(chǎn)生n個真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據(jù)幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個內(nèi)角之和為180°(真值),而三個內(nèi)角的觀測值之和也可以作為一個獨立的觀測值，據(jù)此求得三內(nèi)角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角,三角形內(nèi)角之和的真值為180°，觀測值為三個內(nèi)角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(

i

+

i+

i)觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果列于表5-1,據(jù)此分析三角形內(nèi)角和的真誤差i

的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計4910誤差區(qū)間

dΔ"負(fù)誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差不超過一定數(shù)值；漸降性：誤差絕對值小的出現(xiàn)的頻率大，誤差絕對值大的出現(xiàn)的頻率??；對稱性：絕對值相等的正負(fù)誤差頻率大致相等；抵償性：當(dāng)觀測次數(shù)無限增大時，由于正負(fù)相消，偶然誤差的平均值趨近于零。用公式表示為：4911三角形閉合差的頻率直方圖正態(tài)分布曲線以及標(biāo)準(zhǔn)差和方差4912在統(tǒng)計理論上如果觀測次數(shù)無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統(tǒng)計學(xué)中稱為偶然誤差的“正態(tài)分布曲線”,其數(shù)學(xué)方程式為：式中參數(shù)σ稱為“標(biāo)準(zhǔn)差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標(biāo)準(zhǔn)差的計算式：§5-2評定測量精度的標(biāo)準(zhǔn)一、中誤差4913用標(biāo)準(zhǔn)差衡量測量觀測成果的精度，在理論上是嚴(yán)格和合理的。但在實際測量工作中，不可能對某一量進(jìn)行無窮多次觀測。因此，定義：根據(jù)有限次觀測的偶然誤差，用標(biāo)準(zhǔn)差計算式求得的稱為“中誤差”，其計算式為：選擇兩組三角形內(nèi)角之和的觀測值，求得三角形角度閉合差，分別按上式在表5-2中計算中誤差，得到：第1組:

m1=

±2.7″

第2組:

m2=

±3.6″可見第1組的觀測精度高于第2組。按觀測值的改正值計算中誤差4914表5-2m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

2.7m2=

3.64915不同中誤差的正態(tài)分布曲線

4916二、相對誤差三、極限誤差（容許誤差）某些觀測值的精度如果僅用誤差衡量，還不能正確反映其質(zhì)量，例如，距離測量誤差應(yīng)與長度成正比。觀測值的中誤差除以觀測量，稱為“相對誤差”。例如200m距離的測距中誤差為2cm,測距的相對誤差為1∶10000;

500m距離測距中誤差也為2cm，則測距相對誤差為1∶25000；后者精度高于前者。根據(jù)正態(tài)分布方程式，可以表示誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ的概率：將上式積分，得到偶然誤差在任意大小區(qū)間中出現(xiàn)的概率。設(shè)以k倍中誤差作為區(qū)間,則在此區(qū)間中誤差出現(xiàn)的概率：4917分別以k=1,k=2,k=3代入上式，可得到偶然誤差的絕對值不大于中誤差、2倍中誤差、3倍中誤差的概率：由此可見，大于2倍中誤差出現(xiàn)的概率小于5％，大于3倍中誤差出現(xiàn)的概率小于0.3％。因此，測量工作中以2倍中誤差作為允許的誤差極限，稱為“允許誤差”或“限差”。4918§5-3觀測值的算術(shù)平均值及改正值一、算術(shù)平均值在相同的觀測條件下，對某一量進(jìn)行n次觀測，觀測值為li

(i=1～n),取其算術(shù)平均值作為該量的最可靠的數(shù)值（故也稱“最或然值”）：算術(shù)平均值為何是該量最可靠的數(shù)值？可以用偶然誤差的特性來證明：證明算術(shù)平均值是最或然值4919按真值計算各個觀測值的真誤差：將上列等式相加，并除以n,得到：故算術(shù)平均值比較接近于真值，而成為最可靠的數(shù)值：二、觀測值的改正值最或然值與觀測值之差稱為“觀測值的改正值”(簡稱改正值)

v

:4920對［vv]求極小值：算術(shù)平均值符合最小二乘法原理取改正值總和：說明：一組觀測值取算術(shù)平均值后，各個觀測值的改正值之和恒等于零，此可以作為計算的檢核。§5祝-4觀測值聲的精度瘡評定在同樣泰觀測條閉件下對搖某一量串進(jìn)行n次觀測早，求得醉算術(shù)平所均值及觀左測值的撈各個改喝正值v，據(jù)此叢計算捧觀測懇值的弄中誤艷差：4921對比按憂真誤差Δ計算中杜誤差的脅公式：豬兩者差幸別僅在華于以（n－1）代替n，以撈代替反真值X：兩式取釀總和并顧太及偶橡然誤現(xiàn)差的濫相消諷性，彼可以攜證明誰：因此可以按觀測桑值的改劈燕正值計果算中誤和差算術(shù)仰平均栽值計罷算的草實用佳公式由于各喊個觀測晃值相差倉很小，會為計算勸方便令吸其數(shù)值襖的相同心部分為l0,差異疼部份撈為Δl，即li=l0+Δli,算術(shù)平份均值的仔實用公柱式：4922按各個銹觀測值四的改正逗值計算卵觀測值穿中誤差誼的公式誕：按觀聲測值眾的改給正值初計算再中誤數(shù)差的慘算例（一段恒水平距垂離的多直次觀測昆）4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術(shù)平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計算槳算術(shù)求平均蓄值及黃其中啞誤差驢的小裁結(jié)：一、酒已知真繳值X,進(jìn)行n次觀搜測，迎則計牽算觀怪測值墊的真緞?wù)`差創(chuàng)與中婆誤差裂。二、陸真值嘴不知,則進(jìn)倡行n次觀愛測，可計算圓算術(shù)運平均棋值、徒改正鐘值及棒其中倚誤差萄。4924中誤杠差：真誤差孤：中誤差泊：改正值劑：算術(shù)平誦均值：§5終-5誤差傳撿播定律4925一、俱觀測偉值的螞函數(shù)測量所隙采集的芹數(shù)據(jù)(量)并非威都是剩直接各觀測黎值，釣而是業(yè)觀測襪值的獵函數(shù)嘆。觀輩測值棵的誤紫差使義其函歐數(shù)也訊具有雁一定告的誤且差?？鹄缑汉筒罘泻瘮?shù)—例如算挖術(shù)平均御值例如隊斜距央改平例如分矛段量距播相加例如圖厚上量長錄度,化為實萬地長度倍函衣數(shù)—線性摩函數(shù)—和差議函數(shù)—二、符一般結(jié)函數(shù)喚的中恢誤差4926舉例說眼明：矩僑形地塊玻，量長械度a、寬度b，求其面級積P。面積是局觀測值牲長度a和寬度b的函略數(shù)，鞭函數(shù)防式為來：對函域數(shù)式樸中的淺自變棗量a、b求偏搭微分:將微分熔元素以裙偶然誤精差Δi代替面積誤烈差(圖中糾陰影悼面積)具有直觀托的幾理何意嬸義4927對于上雕述地塊攏的長度種和寬度暮進(jìn)行n次觀測填：上列n個等棉式平俗方后睜取其與總和乎，并孟除以n,得到蚊：根據(jù)偶杯然誤差醫(yī)的抵償芬性，得涌到：按照中鑼誤差的捏定義，畢上式可剪改寫為求面積躺中誤差公式：對于銳一般貝函數(shù)衛(wèi)（包刮括和瞎差函趨數(shù)、哨倍函悉數(shù)、騙線性上函數(shù)厭）：4928誤差傳稱播定律—一般凍函數(shù)頂?shù)闹星`差直計算式中xi為自矮變量(獨立泉觀測蝕值)，設(shè)mi為觀測關(guān)值的中駁誤差，Z為獨慰立變殺量的藥函數(shù)辜。則Z的中奸誤差懶為：式中辟為屋各個腹變量登的偏導(dǎo)驚數(shù)。4929三、線駛性函數(shù)扯和倍函襖數(shù)的中賢誤差線性函識數(shù)：自變量首的偏導(dǎo)爭數(shù)：按照環(huán)誤差啦傳播斗定律敢，得孔到線鞏性函甲數(shù)的垂中誤劃差：算術(shù)挨平均鍛值賊也屬閣于觀伴測值聰?shù)木€瞧性函呼數(shù)，擠根據(jù)送誤差傳播全定律等：4930由于是鞭等精度扣觀測,因此m1=m2=…=mn=m由此辮可見頭，算冬術(shù)平呼均值據(jù)的中醉誤差背比觀抽測值侍的中缺誤差小激倍。如果線摔性函數(shù)目只有一忌個自變攔量：,則成為倍函數(shù)，其中療誤差為忌：上式蕩中的粗系數(shù)k，即為誤佩差擴大師的倍數(shù)切。4931函數(shù)式鏡為：D=5多00d實地距倚離和量秩距中誤蠅差為：該距離蹲及其中閑誤差可秒以寫成徐：例：量得比植例尺為1∶500的地槐形圖袍上兩擋點間挺長度d=1昆34績.7mm,圖上穴量距鞏中誤疊差為0.恨2mm,換算為斜實地距涌離D和量樓距中息誤差mD。其他渣線性扭函數(shù)送，例尚如和告差函拉數(shù)：4932其中封誤差遼均為迷：和差艱函數(shù)黨的中織誤差三計算懷方式腎也可補用于程多種算獨立漸誤差獸來源的觀凈測值驕中誤隆差的添計算雹。例拖如用題測角花儀器創(chuàng)觀測巴水平航方向時，同霉時受到駱對中、桶瞄準(zhǔn)、膏讀數(shù)、坐儀器誤涼差、大撫氣折光等誤差沿影響，棟觀測水注平方向吳的偶然掙誤差是初這些誤剃差的代嫌數(shù)和：故觀測帆水平方涌向的中氧誤差為錯：誤差券傳播預(yù)定律跡小結(jié)第一步夸：寫出柔包含各洗個自變喚量(獨立觀府測值)的函數(shù)犬式第二的步：矩寫出疲全微漢分式(計算對別各個自察變量的條偏導(dǎo)數(shù))第三腥步：曬按誤中差傳希播定枝律寫拜出中塞誤差趁關(guān)系斯式注意犬：誤差抖傳播歉定律峰只適劣用于草將各詳個獨津立觀妹測值賓作為自變賺量。如腎果觀測狗值之間疏是相關(guān)萌的，則絹得到的結(jié)剪果將游是不槐嚴(yán)格買的。4933函數(shù)辛式：函數(shù)中鉤誤差：§5-行6誤差雀傳播爭定律居的應(yīng)類用4934一、嘆距離詳測量械的精石度光電測繡距的誤肌差來源錄有：儀壩器誤差鬼、氣溫勸氣壓測院定誤差德、儀器區(qū)對中誤廢差、傾拖斜改正命垂直角臉測定誤蒼差等。鋪這里僅杯討論前攝二者，拜即儀器炕頻率調(diào)六制誤差df、測定獄相位的隊誤差dΔφ以及氣丈象測定黨誤差影鵝響折射云率dn。斜距西測定的函數(shù)鑰式對各個趙自變量求偏導(dǎo)厲數(shù)得到真誤能差關(guān)您系式用誤差蹦傳播定近律得到哀光電測三距中誤澤差的估虜算式：4935上式稼根號湖內(nèi)第百一項惱為測哪定相悠位誤廳差的遞影響滅，它翁與距頌離長飲短無鍛關(guān)，揚稱為葬“常誤差a”；第蝴二、雨第三底相為中氣象媽測定助誤差肉與頻記率誤晴差的倉影響存，它種們均抹與距株離長脫度成淋正比淚，稱余為“比例誤至差b”。因昆此,光電測葬距的誤盯差估算誕式：上式常戀作為測參距儀本繁身的精轎度指標(biāo)洽，a的單位稱為mm，b為百六萬分藏率，森即每由公里漲的毫版米數(shù)(mm/km)。二、角恢度測量似的精度DJ6級經(jīng)杏緯儀圾和6秒級全像站儀一豬測回方輩向觀測級值中誤差m=±6抱″，水錯平角兆為兩窩個方獅向觀雅測值關(guān)之差峽，故呼半測回水平看角觀測債的中誤拾差為：4936一測沒回水揮平角逝取盤各左盤攀右角罷度的鄙平均掀值，娘故半欣測回趨水平月角值跨的中拖誤差協(xié)為：盤左拌、盤窗右水齊平角根值之新差的阻中誤涉差為倍：以2倍中洲誤差疏作為崖極限落誤差略為±3疊4″濁(一般規(guī)寧定40涂″)多邊宋形水激平角犯觀測伴角度蜓閉合昌差的陣規(guī)定多邊短形內(nèi)稱角(水平角β)之和丑在理楚論上吧應(yīng)為(n-姿2)1意80°,由于水平角容觀測漸中的音偶然邪誤差拴，產(chǎn)況生角續(xù)度閉寒合差谷：4937每個斷角度月的測柄角中倘誤差仇為mβ,則n個角敏度之丑和的允中誤狡差:以2倍中斥誤差柴作為侄極限饞誤差,則n邊形的俘角度的求允許閉茫合差例：鏟設(shè)水匹平角用觀測職的中堂誤差mβ=±1殘8″,則三角穿形的允許角度朗閉合差園：三、壘水準(zhǔn)醒測量濤的精傭度水準(zhǔn)迎測量歪高差虎測定伐的計秀算式h=a-b,設(shè)用S3水準(zhǔn)儀躺在水準(zhǔn)纏尺讀數(shù)劍的中誤承差m=±1mm，則一次纏測定任高差增的中殖誤差萌：4938兩次測伏定高差莖之差Δh=h1-h2,則高差唯之差的中誤差掩：以2倍中糧誤差吐作為威極限陽誤差,則允廣許的位高差濟之差為±4mm水準(zhǔn)型路線帶高差河測定膜的精亡度4939在一條唱附合水守準(zhǔn)路線襲進(jìn)行水譜準(zhǔn)測量,共設(shè)n個測站,其高昆差的總粗和：設(shè)水棋準(zhǔn)尺毒讀數(shù)區(qū)誤差頂為m,每次高爬差測定懲中誤差傅為mh,則線辰路的渾高差謠總和疾的中殊誤差賺：設(shè)水準(zhǔn)旋線路長歌度為L,各測站鞋前、后椅視平均篇長度為d,單位長度的誼高差測微量中誤鉗差為m0,則：，，L以公炕里為球單位m0為每公暖里高差測量消中誤差4940上式說敏明：水晃準(zhǔn)測量際的精度展與水準(zhǔn)醋路線的踐長度的屋平方根成正躺比。水準(zhǔn)貫測量的的等梁級以軍每公夾里高坑差測琴量的腸中誤屢差mo作為勞精度府指標(biāo)奇：水準(zhǔn)測量等級一等二等三等四等

mo±1

mm±2

mm±6

mm±10

mm據(jù)此,可以央按水妹準(zhǔn)測套量等梨級和視設(shè)計吵水準(zhǔn)雁路線鉤長度,估算水準(zhǔn)屆測量鉤全程垂的高凳差中鐵誤差腿。例緣瑞如,路線售長5km的四酒等水準(zhǔn)測堵量的精轟度：四、喪坐標(biāo)熟計算減的精省度4941兩點之卸間,如果已墻測定其盞水平距硬離D和方赴位角α,則可宰按下米式計戀算其蒼坐標(biāo)志增量夾：對觀鑰測值(自變量)D和α求偏導(dǎo)勒數(shù),得到函幸數(shù)式的窗全微分廟：按誤差準(zhǔn)傳播定珠律,將上式功轉(zhuǎn)換為擱坐標(biāo)增嚷量的中允誤差表敘達(dá)式4942坐標(biāo)增話量的中史誤差:上式浸右邊山根號羨內(nèi)第錯一項鏈為縱所向誤巡壽差,是由銅距離精誤差捧造成,第二項嫩為橫向秘誤差,是由角供度誤差拐造成。畝由縱橫挑坐標(biāo)增量衰誤差陵或縱能橫向勇誤差可，形僚成兩駕點間南的相統(tǒng)對點玻位誤角差：一、鎮(zhèn)不等汁精度鬼觀測飾與觀下測值營的權(quán)4943§5-刷7加權(quán)弓平均五值及婆其中錄誤差同一量擇的一系述列等精冶度觀測醒值可以腥取其算宏術(shù)平均綠值，而同捕一量犁的一貫系列座不等沖精度苗觀測偏值則及應(yīng)取鴿其加權(quán)平樓均值。“權(quán)”(P)意為紫衡量卡輕重,觀測蜘值的筆中誤樓差(m)小,則權(quán)遞大;反之則康權(quán)小。定義頌權(quán)與背中誤侮差的符平方蠟成反遇比：C為任意搬常數(shù)。接等于1的權(quán)稱嗚為“單毀位權(quán)”,權(quán)等韻于1的中誤差鵲稱為“單位違權(quán)中芬誤差”(mo)。因此,權(quán)和中狀誤差的莊另一種泄表達(dá)式俊為：4944為了使霸“權(quán)”缺的概念祥簡單明漂了，取染一次觀猾測、一基個測回糞或單位啞長度（使例如1傷km）等臣的測詢量誤型差作壟為單既位權(quán)求中誤械差。內(nèi)例如憲，以撐一測仇回的沒水平繞角觀澤測中水誤差mβ為測角獸的單位憂權(quán)中誤公差,則n測回劣取其哀算術(shù)脅平均逢值的遵角度蚊中誤雅差及嗓其權(quán)齡為:又例竟如水眠準(zhǔn)測岡量以田一公菜里的