導(dǎo)數(shù)壓軸選擇題

------------------------------------------------------------------------ ?2010-2014菁優(yōu)網(wǎng) ......導(dǎo)數(shù)壓軸選擇題一．選擇題（共12小題）1．（2014??？诙＃┰O(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有恒成立，則不等式x2f（x）＞0的解集是（）A．（﹣2，0）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（0，2）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）2．（2013?安徽）若函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有極值點(diǎn)x1，x2，且f（x1）=x1，則關(guān)于x的方程3（f（x））2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）A．3B．4C．5D．63．（2013?文昌模擬）設(shè)動(dòng)直線x=m與函數(shù)f（x）=x3，g（x）=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M、N，則|MN|的最小值為（）A．B．C．D．ln3﹣14．（2012?遼寧）已知P，Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，﹣2，過P，Q分別作拋物線的切線，兩切線交于點(diǎn)A，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為（）A．1B．3C．﹣4D．﹣85．（2012?無為縣模擬）已知定義在R上的函數(shù)f（x）、g（x）滿足，且f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），，若有窮數(shù)列（n∈N*）的前n項(xiàng)和等于，則n等于（）A．4B．5C．6D．76．（2012?桂林模擬）已知在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣1，4]C．[﹣1，1]D．（﹣∞，1）7．（2011?武昌區(qū)模擬）已知f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，f（﹣4）=﹣1，f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象如圖所示．若兩正數(shù)a，b滿足f（a+2b）＜1，則的取值范圍是（）A．B．C．（﹣1，10）D．（﹣∞，﹣1）8．（2010?遼寧）已知點(diǎn)P在曲線y=上，α為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則α的取值范圍是（）A．[0，）B．C．D．9．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，2），導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=x2+2cosx且f（0）=0，則滿足f（1+x）+f（x2﹣x）＞0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A．（﹣1，1）B．）C．D．）10．若函數(shù)，且0＜x1＜x2＜1，設(shè)，則a，b的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)＞bB．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)=bD．b的大小關(guān)系不能確定11．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+2bx+c（a，b，c∈R），且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值，則z=（a+3）2+b2的取值范圍（）A．（，2）B．（，4）C．（1，2）D．（1，4）12．若函數(shù)f（x）=（a﹣3）x﹣ax3在區(qū)間[﹣1，1]上的最小值等于﹣3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（﹣2，+∞）B．C．D．（﹣2，12]二．填空題（共7小題）13．（2014?江蘇模擬）已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（），當(dāng)x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在區(qū)間[，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax有三個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．14．（2010?鹽城三模）設(shè)a＞0，函數(shù)，若對(duì)任意的x1，x2∈[1，e]，都有f（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．15．設(shè)函數(shù)f（x）=﹣x3+bx（b為常數(shù)），若方程f（x）=0的根都在區(qū)間[﹣2，2]內(nèi)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，則b的取值范圍是_________．16．已知函數(shù)f（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]和函數(shù)g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，若對(duì)于?x1∈[﹣2，2]，總?x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍_________．17．某學(xué)生對(duì)函數(shù)f（x）=2xcosx進(jìn)行研究后，得出如下四個(gè)結(jié)論：（1）函數(shù)f（x）在[﹣π，0]上單調(diào)遞增，在[0，π]上單調(diào)遞減；（2）存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立；（3）點(diǎn)是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心；（4）函數(shù)y=f（x）圖象關(guān)于直線x=π對(duì)稱．其中正確的_________．（把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上）18．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，有以下4個(gè)命題①對(duì)任意的x1、x2∈（0，+∞），有f（）≤；②對(duì)任意的x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，有f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1；③對(duì)任意的x1、x2∈（e，+∞），且x1＜x2有x1f（x2）＜x2f（x1）；④對(duì)任意的0＜x1＜x2，總有x0∈（x1，x2），使得f（x0）≤．其中正確的是_________（填寫序號(hào)）．19．（2014?四川二模）函數(shù)f（x）=ex﹣e﹣x，當(dāng)θ∈[0，]變化時(shí)，f（msinθ）+f（1﹣m）≥0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________．三．解答題（共4小題）20．（2014?涼州區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)P=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）證明：1n（n+1）＜1+…+（n∈N+）．21．（2014?佛山模擬）設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx﹣ax．（1）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程；（2）若a＜，試判斷函數(shù)f（x）在x∈（1，e2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明你的理由；（3）若f（x）有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1，x2，求證：x1?x2＞e2．22．（2012?武漢模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣處的切線的斜率為1．（Ⅰ）求a的值及f（x）的最大值；（Ⅱ）證明：1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）；（Ⅲ）設(shè)g（x）=b（ex﹣x），若f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．23．（2009?聊城二模）已知函數(shù)為大于零的常數(shù)．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；（3）求證：對(duì)于任意的成立．

1．解答：解：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，有恒成立，即[]′＜0恒成立，所以在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)閒（2）=0，所以在（0，2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（2，+∞）內(nèi)恒有f（x）＜0．又因?yàn)閒（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以在（﹣∞，﹣2）內(nèi)恒有f（x）＞0；在（﹣2，0）內(nèi)恒有f（x）＜0．又不等式x2f（x）＞0的解集，即不等式f（x）＞0的解集．所以答案為（﹣∞，﹣2）∪（0，2）．故選D．2．解：f′（x）=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的兩根，不妨設(shè)x2＞x1，由3（f（x））2+2af（x）+b=0，則有兩個(gè)f（x）使等式成立，x1=f（x1），x2＞x1=f（x1），如下示意圖象：如圖有三個(gè)交點(diǎn)，故選A．3．解：畫圖可以看到|MN|就是兩條曲線間的垂直距離．設(shè)F（x）=f（x）﹣g（x）=x3﹣lnx，求導(dǎo)得：F'（x）=．令F′（x）＞0得x＞；令F′（x）＜0得0＜x＜，所以當(dāng)x=時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值為F（）=+ln3=（1+ln3），故選A4．解：∵P，Q為拋物線x2=2y上兩點(diǎn)，點(diǎn)P，Q的橫坐標(biāo)分別為4，﹣2∴P（4，8），Q（﹣2，2）∵x2=2y∴y=∴y′=x∴切線方程AP，AQ的斜率KAP=4，KAQ=﹣2∴切線方程AP為y﹣8=4（x﹣4）即y=4x﹣8切線方程AQ的為y﹣2=﹣2（x+2）即y=﹣2x﹣2令∴∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為﹣4故選C5．解：∵=，f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），∴=＜0，即函數(shù)單調(diào)遞減，∴0＜a＜1．又，即，即，解得a=2（舍去）或．∴，即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比的等比數(shù)列，∴==，由解得n=5，故選B．6．解：∵要是一個(gè)分段函數(shù)在實(shí)數(shù)上是一個(gè)增函數(shù)．需要兩段都是增函數(shù)且兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)處要滿足遞增，當(dāng)x＜0時(shí)，y′=3x2﹣（a﹣1）＞0恒成立，∴a﹣1＜3x2∴a﹣1≤0∴a≤1，當(dāng)x=0時(shí)，a2﹣3a﹣4≤0∴﹣1≤a≤4，綜上可知﹣1≤a≤1故選C．7．解：由f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象，設(shè)f′（x）=mx2，則f（x）=+n．∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即n=0．又f（﹣4）=m×（﹣64）=﹣1，∴f（x）=x3=．且f（a+2b）=＜1，∴＜1，即a+2b＜4．又a＞0，b＞0，則畫出點(diǎn)（b，a）的可行域如下圖所示．而可視為可行域內(nèi)的點(diǎn)（b，a）與點(diǎn)M（﹣2，﹣2）連線的斜率．又因?yàn)閗AM=3，kBM=，所以＜＜3．故選B．8．解：因?yàn)閥′===，∵，∴ex+e﹣x+2≥4，∴y′∈[﹣1，0）即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故選D．9．解：f'（x）=x^2+2cosx知f（x）=（1/3）x^3+2sinx+cf（0）=0，知，c=0即：f（x）=（1/3）x^3+2sinx易知，此函數(shù)是奇函數(shù)，且在整個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增，因?yàn)閒'（x）=x^2+2cosx在x∈（0，2】＞0恒成立根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，在其對(duì)應(yīng)區(qū)間上亦是單調(diào)遞增的f（1+x）+f（x^2﹣x）＞0f（1+x）＞﹣f（x^2﹣x）即：f（1+x）＞f（x﹣x^2）﹣2＜x+1＜2（保證有意義）﹣2＜x^2﹣x＜2（保證有意義）x+1＞x﹣x^2（單調(diào)性得到的）解得即可故答案為A10．解：f′（x）==∵0＜x≤1＜時(shí)，x＜tanx∴f′（x）＜0，故函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)0＜x1＜x2＜1時(shí)，f（x1）＞f（x2）即a＞b故選A11．解：∵f（x）=∴f′（x）=x2+ax+2b∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個(gè)根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即（a+3）2+b2表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（﹣3，0）的距離的平方，由圖知（﹣3，0）到直線a+b+2=0的距離，平方為為最小值，由得（﹣3，1）（﹣3，0）與（﹣3，1）的距離為1，（﹣3，0）與（﹣1，0）的距離2，所以z=（a+3）2+b2的取值范圍為（）故選項(xiàng)為B12．解：由函數(shù)f（x）=（a﹣3）x﹣ax3求導(dǎo)函數(shù)為：f′（x）=﹣3ax2+（a﹣3），①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=﹣3x，此時(shí)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為：f（1）=﹣3，符合題意，所以a=0符合題意；②當(dāng)a≠0時(shí)，f‘（x）=0，即3ax2=a﹣3（I）當(dāng)0＜a≤3時(shí)，f′（x）=﹣3ax2+（a﹣3）為開口向下的二次函數(shù)，且△=12a（a﹣3）≤0，f‘（x）≤0恒成立所以函數(shù)f（x）在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，函數(shù)的最小值為f（1）=﹣3，此時(shí)符合題意；（II）當(dāng)a＜0或a＞3時(shí)，f′（x）=0，即3ax2=a﹣3解得：，①當(dāng)，即a，函數(shù)f（x）在[﹣1，﹣]上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以此時(shí)函數(shù)在定義域的最小值為f（﹣1）=﹣3或f（﹣）=令解得：a∈φ，即時(shí)，函數(shù)在定義域上始終單調(diào)遞減，則函數(shù)在定義域上的最小值為f（1）=﹣3，符合題意．綜上所述：當(dāng)即時(shí)符合題意．故選B13．解：在區(qū)間[，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，①a＞0若x∈[1，3]時(shí)，f（x）=lnx，可得g（x）=lnx﹣ax，（x＞0）g′（x）=﹣a=，若g′（x）＜0，可得x＞，g（x）為減函數(shù)，若g′（x）＞0，可得x＜，g（x）為增函數(shù)，此時(shí)g（x）必須在[1，3]上有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，解得，≤a＜①設(shè)＜x＜1，可得1＜＜3，∴f（x）=2f（）=2ln，此時(shí)g（x）=﹣2lnx﹣ax，g′（x）=﹣，若g′（x）＞0，可得x＜﹣＜0，g（x）為增函數(shù)若g′（x）＜0，可得x＞﹣，g（x）為減函數(shù)，在[，1]上有一個(gè)交點(diǎn)，則，解得0＜a≤6ln3②綜上①②可得≤a＜；②若a＜0，對(duì)于x∈[1，3]時(shí)，g（x）=lnx﹣ax＞0，沒有零點(diǎn)，不滿足在區(qū)間[，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）﹣ax，有三個(gè)不同的零點(diǎn)，③a=0，顯然只有一解，舍去綜上：≤a＜．故答案為：≤a＜．14．解：∵g（x）=x﹣lnx∴g'（x）=1﹣，x∈[1，e]，g'（x）≥0函數(shù)g（x）單調(diào)遞增g（x）的最大值為g（e）=e﹣1∵f（x）=x+∴f'（x）=，令f'（x）=0∵a＞0∴x=a當(dāng)0＜a＜1f（x）在[1，e]上單調(diào)增f（1）最小=1+a2≥e﹣1∴1＞a≥當(dāng)1≤a≤e列表可知f（a）最小=2a≥e﹣1恒成立當(dāng)a＞e時(shí)f（x）在[1，e]上單調(diào)減f（e）最小=≥e﹣1恒成立綜上a≥故答案為：a≥15．解：∵函數(shù)f（x）=﹣x3+bx（b為常數(shù)），∴f（x）=x（﹣x2+b）=0的三個(gè)根都在區(qū)間[﹣2，2]內(nèi)，∴，b≤4函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增，∴f′（x）=﹣3x2+b＞0在區(qū)間（0，1）上恒成立，∴b≥3綜上可知3≤b≤4，故答案為：[3，4]16．解：∵f（x）=x3﹣3x，∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），當(dāng)x∈[﹣2，﹣1]，f′（x）≥0，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．∴f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函數(shù)，（﹣1，1）上遞減，（1，2）遞增；且f（﹣2）=﹣2，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2．∴f（x）的值域A=[﹣2，2]；又∵g（x）=ax+1（a＞0）在[﹣2，2]上是增函數(shù)，∴g（x）的值域B=[﹣2a﹣1，2a﹣1]；根據(jù)題意，有A?B∴?a≥．同理g（x）=ax+1（a＜0）在[﹣2，2]上是減函數(shù)，可以求出a≤﹣．故實(shí)數(shù)a的取值范圍是：（﹣∞，﹣]∪[﹣，+∞）．17．解：∵f（x）=2xcosx是一個(gè)奇函數(shù)，在對(duì)稱的區(qū)間上單調(diào)性相同，故不對(duì)，排除（1）因?yàn)閨cosx|≤1，令M=2即得|f（x）|≤M|x|成立，故（2）對(duì)，因?yàn)閒（）+f（﹣x）=﹣（π+2x）sinx+（π﹣2x）sinx=﹣4xsinx≠0，所以點(diǎn)不是函數(shù)y=f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，故（3）不對(duì)．因?yàn)閒（π+x）=2（π+x）cosx，f（π﹣x）=2（π﹣x）cosx，∴f（π+x）≠f（π﹣x），∴函數(shù)y=f（x）圖象不關(guān)于直線x=π對(duì)稱故（4）不對(duì)故答案為：（2）18．解：∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數(shù)，∴對(duì)于①由f（）=ln，=ln，∵＞，故f（）＞；故①錯(cuò)誤．對(duì)于②，∵x1＜x2則有f（x1）＜f（x2），故由增函數(shù)的定義得f（x1）﹣f（x2）＜x2﹣x1故②正確，對(duì)于③由不等式的性質(zhì)得x1f（x1）＜x2f（x2），故③錯(cuò)誤；對(duì)于④令1=x1＜x2=e2，x0=e得，f（x0）＞．故④錯(cuò)誤．故答案為②．19．解：由f（x）=ex﹣e﹣x，∴f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，∴f（msinθ）+f（1﹣m）≥0恒成立，即f（msinθ）≥f（m﹣1），∴msinθ≥m﹣1，當(dāng)0≤θ≤時(shí)，sinθ∈[0，1]，∴，解得m≤1，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，1]，故答案為：（﹣∞，1]．20．解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=，當(dāng)p≥1時(shí)，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)p≤0時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜p＜1時(shí)，令f′（x）=0，解得x=．則當(dāng)x時(shí)，f′（x）＞0；x時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）∵x＞0，∴當(dāng)p=1時(shí)，f（x）≤kx恒成立?1+lnx≤kx?k≥，令h（x）=，則k≥h（x）max，∵h(yuǎn)′（x）==0，得x=1，且當(dāng)x∈（0，1），h′（x）＞0；當(dāng)x∈（1，+∞），h′（x）＜0；所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，所以h（x）max=h（1）=1，故k≥1．（3）由（2）知，當(dāng)k=1時(shí)，有f（x）≤x，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜x，即lnx＜x﹣1，∴令x=，則，即，∴l(xiāng)n2﹣ln1＜1，，相加得1n（n+1）＜1+…+．21．解：在區(qū)間（0，+∞）上，．（1）當(dāng)a=2時(shí)，切線的斜率k=，又f（1）=ln1﹣2×1=﹣2，由點(diǎn)斜式得切線方程為y﹣（﹣2）=﹣（x﹣1），即x+y+1=0．（2）方法一：（i）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0，則f（x）在（1，e2）上單調(diào)遞增，此時(shí)f（1）=﹣a≥0，∴f（x）在x∈（1，e2）沒有零點(diǎn)；（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得．①時(shí)，則當(dāng)x∈（1，e2），有f′（x）≥0，從而f（x）在（1，e2）單調(diào)遞增，此時(shí)f（1）=﹣a＜0，f（e2）=lne2﹣ae2=2﹣ae2＞0，∴f（x）在x∈（1，e2）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)即時(shí)，則當(dāng)，f（x）在單調(diào)遞增；當(dāng)，f（x）在單調(diào)遞減．而，f（1）=﹣a＜0，f（e2）=2﹣ae2＞0，∴f（x）在x∈（1，e2）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在x∈（1，e2）沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．方法二：由f（x）=0，得，函數(shù)f（x）在x∈（1，e2）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)y=a的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，令g（x）=，則，由g'（x）=0，得x=e，在區(qū)間（1，e）上，g'（x）＞0，則函數(shù)g（x）是增函數(shù)，∴g（1）＜g（x）＜g（e），即；在區(qū)間（e，e2）上，g'（x）＜0，則函數(shù)g（x）是減函數(shù)，∴g（e2）＜g（x）＜g（e），即．∵，∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在x∈（1，e2）沒有零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)f（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)．（3）原不等式?lnx1+lnx2＞2．不妨設(shè)x1＞x2＞0，∵f（x1）=0，f（x2）=0，∴l(xiāng)nx1﹣ax1=0，lnx2﹣ax2=0，∴l(xiāng)nx1+lnx2=a（x1+x2），lnx1﹣lnx2=a（x1﹣x2），∴a（x1+x2）＞2??．令，則t＞1，于是?．設(shè)函數(shù)，則＞0，故函數(shù)h（t）在（1，+∞）上為增函數(shù)，∴h（t）＞h（1）=0，即不等式lnt成立，故所證不等式成立．22．：（Ⅰ）解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞）．求導(dǎo)數(shù)，得f′（x）=﹣a．由已知，∵函數(shù)f（x）=ln（1+x）﹣ax在x=﹣處的切線的斜率為1∴f′（﹣）=1，即﹣a=1，∴a=1．此時(shí)f（x）=ln（1+x）﹣x，f′（x）=﹣1=，當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0．∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得極大值，該極大值即為最大值，∴f（x）max=f（0）=0．…（4分）（Ⅱ）證明：法（一）：由（Ⅰ），得ln（1+x）﹣x≤0，即ln（1+x）≤x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立．令x=（k∈N*），則＞ln（1+），即＞ln，∴＞ln（k+1）﹣lnk（k=1，2，…，n）．將上述n個(gè)不等式依次相加，得1+++…+＞（ln2﹣ln1）+（ln3﹣ln2）+…+[ln（n+1）﹣lnn]，∴1+++…+＞ln（n+1）（n∈N*）．…（10分）法（二）：用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n=1時(shí)，左