概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章多維隨機(jī)變量

優(yōu)選概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三章多維隨機(jī)變量目前一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

第3章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1

二維隨機(jī)變量及其分布§3.2邊緣分布§3.4二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布（不講）§3.3隨機(jī)變量的獨(dú)立性第3章多維隨機(jī)變量及其分布目前二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布.但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述.

在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)r.v(兩個(gè)坐標(biāo))來確定的.

飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r.v(三個(gè)坐標(biāo))來確定的等等.目前三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)由它們構(gòu)成的一個(gè)n維向

以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照.是定義在

上的隨機(jī)變量，一般地，設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是是

={ω},設(shè)量叫做n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量.目前四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)一、二維隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E

的樣本空間為為定義在同一樣本空間

上的兩個(gè)隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一個(gè)向量稱為二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量§3.1二維隨機(jī)變量及其分布定義3.1§3.1二維隨機(jī)變量及其分布一、二維隨機(jī)變量目前五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)x、y，二元函數(shù)1.聯(lián)合分布函數(shù)定義3.2設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)稱為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱(X,Y)的分布函數(shù).（3.1）二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)目前六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋：將二維隨機(jī)變量(X,Y)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么，分布函數(shù)F(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在下面左圖所示的，以點(diǎn)(x,y)為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮巨型域內(nèi)的概率.目前七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

隨機(jī)點(diǎn)(X,Y)落在矩形域內(nèi)的概率為目前八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)(1)對(duì)任意x

及y

有0≤F(x,y)≤1，且對(duì)任意固定的y，對(duì)任意固定的x，分布函數(shù)F(X,Y)有下面性質(zhì)：目前九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)(2)F(x,y)是關(guān)于變量x

和y

的不減函數(shù)；對(duì)任意固定的y，當(dāng)對(duì)任意固定的x，時(shí)，當(dāng)時(shí)，目前十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)(3)關(guān)于x

或y

都是右連續(xù)的，即(4)對(duì)任意的有目前十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例1

試問二元函數(shù)能否成為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)？此二元函數(shù)F(x,y)具有二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(1)、(2)和(3)，但因故F(x,y)不滿足聯(lián)合分布函數(shù)的基本性質(zhì)(4).解目前十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)所以，F(xiàn)(x,y)不能作為某二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù).目前十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)為(X,Y)的聯(lián)合概率分布，簡(jiǎn)稱聯(lián)合分布，也稱設(shè)(X,Y)的一切可能值為稱若(X,Y)只取有限對(duì)或可數(shù)對(duì)實(shí)數(shù)三、二維離散型隨機(jī)變量定義3.3則稱(X,Y)為離散型隨機(jī)變量.聯(lián)合分布律.（3.2）1.聯(lián)合概率分布三、二維離散型隨機(jī)變量目前十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)二維離散型隨機(jī)變量(X,

Y)的分布律具有性質(zhì)：一維離散型隨機(jī)變量X的分布律k=1,2,…目前十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)也可用表格來表示隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布.

目前十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例1.

設(shè)(X,Y)的分布律如下表，求（1）（2）ＹX

0100.10.210.40.220.10解（1）目前十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)X所有可能的取值為1,2；Y所有可能的取值也是1,2.用{X=1,Y=1}表示第一次取到號(hào)碼為1的球，不再放回，第二次又取到號(hào)碼為1的球，由于1號(hào)球只有一個(gè)，這是不可能的，所以解例2

袋中裝有標(biāo)上號(hào)碼1，2，2的3個(gè)球，從中任取一個(gè)且不再放回，然后再從袋中任取一球，以X、Y分別記為第一、二取到球上的號(hào)碼數(shù)，求(X,Y)的分布律(袋中各球被取到機(jī)會(huì)相同).目前十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)令{X=1,Y=2}表示第一次取到1號(hào)球，第二次取到2號(hào)球，有同理可得分布律為：目前十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例3

把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)，而Y為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值,求(X,Y)的分布律.(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P{X=0,Y=3}P{X=1,Y=1}

P{X=2,Y=1}P{X=3,Y=3}=3/8=3/8解目前二十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例4.

設(shè)隨機(jī)變量在1,2,3,4這4個(gè)整數(shù)中等可能地取一個(gè)值，若Ｘ的值取定時(shí)，另一個(gè)隨機(jī)變量Ｙ在1~Ｘ等可能地取一個(gè)整數(shù)值。求（Ｘ,Ｙ）的分布律.解由于{X=i,Y=j}的取值情況是i=1,2,3,4,j取不大于i的正整數(shù)，根據(jù)概率乘法公式得：P{X=i，Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i}=于是，得（Ｘ,Ｙ）的分布律如下表YX123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16目前二十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)與一維隨機(jī)變量的情形類似，有式中的和式是對(duì)一切滿足：具體做起來比較麻煩，所以不作要求！目前二十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)四、二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義3.4對(duì)于二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)F(x,y)，如果存在非負(fù)的函數(shù)f(x,y)，使對(duì)于任意的x,y有則稱(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中f(x,y)稱為(X,Y)

的聯(lián)合概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱聯(lián)合概率密度或聯(lián)合概率密度函數(shù).（3.3）1.聯(lián)合概率密度目前二十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)X的概率密度函數(shù)f(x)x∈R一維連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)性質(zhì)：目前二十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)2.

(X,Y)的概率密度的性質(zhì):

（3）設(shè)D是xoy平面上的區(qū)域，點(diǎn)(X,Y)落入D內(nèi)的概率為（4）在f(x,y)的連續(xù)點(diǎn),目前二十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例5

設(shè)(X,Y)的概率密度是求：（1）系數(shù)A

；（3）目前二十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)（1）如圖—1所示，f(x,y)在陰影部分不為0，其余均為0，由概率密度的性質(zhì)（2），有

圖—1解由此得A=6（2）根據(jù)聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)（3）目前二十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)當(dāng)x≤0或y≤0時(shí),故當(dāng)x>0,y>0時(shí),（3）求聯(lián)合分布函數(shù)目前二十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)課外作業(yè)：習(xí)題3-11,2,4,5目前二十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)§3.2邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義3.5邊緣分布函數(shù)可以由聯(lián)合分布函數(shù)來確定。函數(shù)F(x,y),

而X和Y作為一維隨機(jī)變量也有分布函數(shù)，將它們分別記為作稱和分別為二維隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體，具有分布事實(shí)上，同樣，目前三十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)一.

二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律

對(duì)于二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)，X和Y的聯(lián)合分布律為：且有,與一維離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)比較，得Ｘ的分布律為：同樣Ｙ的分布律為：1.邊緣分布律目前三十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)定義3.6

分別稱和記為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)關(guān)于Ｘ和關(guān)于Ｙ的邊緣分布律.目前三十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)也可用表格來表示隨機(jī)變量X

和Y

的邊緣分布.

注意：由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布；但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.請(qǐng)看下例。目前三十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例１

設(shè)袋中有2只白球，3只紅球，現(xiàn)做無放回摸球，每次一球，連模兩次，令第二次摸到白球，第二次摸到紅球，試求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布.第一次摸到白球，第一次摸到紅球，目前三十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)解：顯然（Ｘ,Ｙ）的可能取值為數(shù)組：根據(jù)乘法公式得：目前三十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)不放回摸球目前三十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)（1）放回摸球解例2.若將例1改做放回摸球情況又如何？目前三十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例1與例2的結(jié)果表明，兩種摸球方式下，(X,Y)具有不同的聯(lián)合分布，但它們相應(yīng)的邊緣分布卻一樣.這一事實(shí)說明，雖然二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布完全確定了它的兩個(gè)邊緣分布，但反過來，(X,Y)的兩個(gè)邊緣分布卻不能完全確定出(X,Y)的聯(lián)合分布，這正是必須將二維隨機(jī)變量(X,Y)作為整體來研究的理由.目前三十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)當(dāng)(X,Y)是離散型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)其所有可能值為則X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件為

容易證明，上例的放回摸球試驗(yàn)中的隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，而不放回摸球試驗(yàn)中的隨機(jī)變量X與Y則不相互獨(dú)立。2.離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性目前三十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例3.

從三張分別標(biāo)有1，2，3號(hào)的卡片中任取碼大于X的卡片，從剩下的卡片中再任取一張，以Y一張，以X記其號(hào)碼，放回之后，拿掉三張卡片中號(hào)記其號(hào)碼，求隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布和邊緣分布.利用乘法公式，有解目前四十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)目前四十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)將計(jì)算結(jié)果列成表格，求得邊緣分布.目前四十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)因?yàn)樗訶與Y不獨(dú)立例4.已知隨機(jī)變量目前四十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)函數(shù)為f(x,y),二.二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)與變量的獨(dú)立性設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合概率密度X的邊緣分布函數(shù)可表示為：由分布函數(shù)和概率密度函數(shù)之間的關(guān)系可得，稱為(X,Y)關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱X的邊緣概率密度.1.邊緣密度函數(shù)目前四十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)類似地，Y的邊緣分布函數(shù)可表示為：則有稱為(X,Y)關(guān)于Y的邊緣概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱Y的邊緣概率密度函數(shù).目前四十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例4設(shè)(X,Y)的概率密度是求：(1)c的值；（2）兩個(gè)邊緣密度.=5c/24,故

c=24/5.(1)解目前四十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)(2)當(dāng)時(shí),暫時(shí)固定當(dāng)x>1或x<0時(shí),都有f(x,y)=0，故目前四十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)暫時(shí)固定目前四十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)注意取值范圍綜上,目前四十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例5.

設(shè)(X,Y)的概率密度是求(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣概率密度.目前五十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故暫時(shí)固定解目前五十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)暫時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故目前五十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)定義3.7若二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布密度為二維隨機(jī)變量的正態(tài)分布目前五十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)其中均為常數(shù)，且的二維正態(tài)分布，記作則稱(X,Y)服從參數(shù)為例6.求二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣密度函數(shù)解：根據(jù)定義有目前五十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)由于于是令目前五十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)則有由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)概率密度函數(shù)性質(zhì)所以同理目前五十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)上例說明了二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于參數(shù)，即對(duì)于給定的，不同的對(duì)應(yīng)不同的二維正態(tài)分布，但它們的邊緣分布卻是一樣的。這一事實(shí)說明，只有關(guān)于邊緣分布，一般不能確定聯(lián)合分布。目前五十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)定義3.7設(shè)F(x,y)及分別是隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)和兩個(gè)邊緣分布函數(shù)，若對(duì)于一切x,y

有則稱隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立.或2.連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性目前五十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)當(dāng)(X,Y)是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，設(shè)聯(lián)合密度、邊緣密度分別為則X和Y相互獨(dú)立的充分必要條件是：若f(x,y)在點(diǎn)(x,y)連續(xù)，則

一般地，邊緣分布不能確定二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布，但當(dāng)X與Y相互獨(dú)立時(shí)，二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布被它的兩個(gè)邊緣分布完全確定.二、連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性目前五十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例7設(shè)(X,Y)的概率密度為問X和Y是否獨(dú)立？x>0解目前六十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)y>0目前六十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)即可見對(duì)一切x,y,均有：故X,Y獨(dú)立.目前六十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)例8已知求目前六十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例8.若(X,Y)的概率密度為情況又怎樣？由于存在面積不為0的區(qū)域，故X和Y不獨(dú)立.解目前六十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)求:(1)X,Y的邊緣分布密度；(2)X,Y是否獨(dú)立；當(dāng)0≤x≤

2時(shí)，例9.設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為(1)當(dāng)x<0或x>2時(shí)，(3)P(Y≤X).解目前六十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)同理(2)當(dāng)0≤x≤2，0≤y≤2時(shí)，所以X與Y不獨(dú)立.目前六十六頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)目前六十七頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)若隨機(jī)變量且X

和Y

相互獨(dú)立，則也就是說，服從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布.注意：（二維正態(tài)分布）目前六十八頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)課外作業(yè)：習(xí)題3-21,3,習(xí)題3-31,2,目前六十九頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)§3.4二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布

當(dāng)隨機(jī)變量X,Y的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)Z=g(X,Y)

的分布?一、二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布為則Z=g(X,Y)也是二維離散型隨機(jī)變量.目前七十頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)若對(duì)于不同的函數(shù)g(x,y)有相同的取值，應(yīng)以(X,Y)在有相同函數(shù)值的點(diǎn)概率之和作為Z=g(X,Y)取相應(yīng)函數(shù)值的概率.若對(duì)于不同的函數(shù)值互不相同，則Z=g(X,Y)的分布律為的目前七十一頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例1

設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X與Y的分布律為求隨機(jī)變量Z=X+Y

的分布律.由于X與Y相互獨(dú)立，因此有得二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布：解目前七十二頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)因?yàn)閆=X+Y，易知Z的分布為則Z的分布律為：目前七十三頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)k=0,1,2,…泊松分布.例2若X和Y相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為的泊松分布,證明Z=X+Y服從參數(shù)為的依題意，X、Y的概率分布分別為解目前七十四頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)k=0,1,…即Z服從參數(shù)為的泊松分布.于是目前七十五頁\總數(shù)八十三頁\編于十五點(diǎn)

例3

設(shè)X和Y的聯(lián)合密