學(xué)生版 第七講因數(shù)與倍數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)(二)

學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)/NUM頁學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)學(xué)生版第七講因數(shù)與倍數(shù)(公因數(shù)和公倍數(shù)(二)第七講因數(shù)與倍數(shù)（公因數(shù)和公倍數(shù)（二）【知識概述】這一講我們主要介紹最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)之間的關(guān)系。定理一：兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大公因數(shù)，所得的商互質(zhì)，即：如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d)=1。定理二：兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即[a,b]×（a,b）=a×b。定理三：兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)一定是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的因數(shù)。例題精學(xué)428A7a例1428A7a【思路點(diǎn)撥】設(shè)一個(gè)數(shù)為A，得短除式如下：顯然，7和a互質(zhì)，否則4就不是最大公因數(shù)，那么252=4×7×a，a=9，A=4×9=36。另外，我們可以根據(jù)定理：[a,b]×（a,b)=a×b。求得4×252÷28=36。同步精練某數(shù)與24的最大公因數(shù)是4，最小公倍數(shù)是168，這個(gè)數(shù)是多少？甲數(shù)和乙數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是90，且小數(shù)不能整除大數(shù)，求這兩個(gè)數(shù)。四個(gè)連續(xù)奇數(shù)的最小公倍數(shù)為6435，這四個(gè)奇數(shù)中最大的一個(gè)為多少?例2兩個(gè)自然數(shù)的和是50，它們的最大公因數(shù)是5，求這兩個(gè)數(shù)的差?！舅悸伏c(diǎn)撥】若（A，B）=d，可以假設(shè)A=ad，B=bd,那么a和b互質(zhì)，即（a,b)=1。在本題中，由于已知兩數(shù)的最大公因數(shù)為5，故可設(shè)一個(gè)數(shù)為5a，另一個(gè)數(shù)為5b，(a,b)=1。又因?yàn)檫@兩個(gè)數(shù)的和為50，這樣可以得到5a+5b=50，5（a+b)=50，a+b=10。根據(jù)a與b互質(zhì)，我們不難得到a=1,b=9或a=3，b=7。這樣可以求出這兩個(gè)數(shù)是5×3=15和5×7=35或5×1=5或5×9=45。它們的差也就好求了。同步精練兩個(gè)自然數(shù)的和是56，它們的最大公因數(shù)是7，求這兩個(gè)數(shù)。已知兩個(gè)自然數(shù)的積是5766，它們的最大公因數(shù)是31，求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)數(shù)的和是70，它們的最大公因數(shù)是7，求這兩個(gè)數(shù)的差是多少。例3兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)為21，最小公倍數(shù)為126，求這兩個(gè)數(shù)的和?！舅悸伏c(diǎn)撥】已知兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，要求這兩個(gè)數(shù)，可以根據(jù)“兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積”先求出這兩個(gè)數(shù)的乘積，再把這個(gè)積分解成兩個(gè)數(shù)。再求兩個(gè)數(shù)的和。設(shè)這兩個(gè)數(shù)為A和B，根據(jù)題意：21AB21ABab（a與b互質(zhì)）a×b=126÷21=6=1×6=2×3a=1a=1A=21×1=21b=6B=21×6=126a=2A=21×2=42b=3B=21×3=63A+B=42+63=105A+B=21+126=147同步精練兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是7，最小公倍數(shù)是210，這兩個(gè)數(shù)的和是77。求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是12，最小公倍數(shù)是72，這兩個(gè)數(shù)的和是多少？兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是18，最小公倍數(shù)是180，兩個(gè)數(shù)的差是54，求這兩個(gè)數(shù)的和。例4兩個(gè)自然數(shù)的和是54，它們的最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是114，求這兩個(gè)自然數(shù)。mABabmABabm是兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)，a與b互質(zhì)。根據(jù)條件可得：a×b×m-m=114，a×m+b×m=54。化簡后得（ab-（ab-1)×m=114（a+b）×m=54m是114和54的公因數(shù)。（114,54）=6。因?yàn)?的因數(shù)有1，2，3，6，所以m可能是1，2,3，6。如果m=1，那么a+b=54，a×b=115。115=1×115=5×23，且1+115=11654，5+23=2854，所以m不可能是1。如果m=2，那么a+b=27，a×b=58。58=1×58=2×29，且1+58=59/27,2+29=31/27，所以加不可能是2。如果m=3，那么a+b=18，a×b=39。39=1×39=3×13，且1+39=40/18，3+13=16-18，所以m不可能是3。如果m=6，那么a+b=9，a×b=20。20=4×5，且4+5=9，所以m=6。那么A=6×4=24，B=6×5=30。同步精練兩個(gè)數(shù)的差是4，最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的積是252，求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)數(shù)的差是30，它們最小公倍數(shù)與最大公因數(shù)的差是450，求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)自然數(shù)的差是2，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)之和是86，求這兩個(gè)數(shù)。練習(xí)卷兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是60，最小公倍數(shù)是720，其中一個(gè)數(shù)是180，另一個(gè)數(shù)是多少？兩個(gè)自然數(shù)的最大公因數(shù)是15，最小公倍數(shù)是180，其中一個(gè)數(shù)是45，求這兩個(gè)自然數(shù)的差。已知兩個(gè)自然數(shù)的和為165，它們的最大公因數(shù)是15，求這兩個(gè)數(shù)。已知兩個(gè)自然數(shù)的積為240，最小公倍數(shù)為60，求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)是6，最小公倍數(shù)是144，求這兩個(gè)數(shù)。兩個(gè)不同自然數(shù)的和是60，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和也是60，滿足條件的自然數(shù)共有多少組?兩個(gè)自然數(shù)的和是60，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的和是84，求這兩個(gè)數(shù)。已知a與b，a與c的最大公因數(shù)分別是12和15，a