23屆老高考數(shù)學備用題：第七單元 平面向量與復數(shù)

第七單元平面向量與復數(shù)7.1平面向量的概念及線性運算1.在平行四邊形ABCD中，點E為CD的中點，BE與AC的交點為F，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，則向量eq\o(BF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b B．－eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bC．－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b D.eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b答案C解析eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b，故選C.2.已知△ABC的重心為O，則向量（）A．B．C．D．答案C解析設分別是的中點，由于是三角形的重心，所以.故選C.3.在△ABC中，點G滿足eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0.若存在點O，使得eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝meq\o(OB,\s\up6(→))＋neq\o(OC,\s\up6(→))，則m－n等于()A．2B．－2C．1D．－1答案D解析∵eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OG,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,6)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))，可得eq\o(OA,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\f(3,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，∴m＝－eq\f(3,2)，n＝－eq\f(1,2)，m－n＝－1，故選D.4.在△ABC中，D在邊BC上，延長AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長度是________．答案：解析：∵三點共線，∴可設，∵，∴，即，若且，則三點共線，∴，即，∵，∴，∵,,，∴，設，，則，.∴根據(jù)余弦定理可得，，∵，，解得，∴的長度為.當時，，重合，此時的長度為，當時，，重合，此時，不合題意，舍去.故答案為：0或.5.題設a，b是非零向量，則a＝2b是eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件答案B解析由a＝2b可知，a，b方向相同，eq\f(a,|a|)，eq\f(b,|b|)表示a，b方向上的單位向量，所以eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立；反之不成立.故選B.6.已知eq\o(MP,\s\up6(→))＝4e1＋2e2，eq\o(PQ,\s\up6(→))＝2e1＋te2，若M、P、Q三點共線，則t＝()A.1B.2C.4D.－1答案A解析∵M、P、Q三點共線，則eq\o(MP,\s\up6(→))與eq\o(PQ,\s\up6(→))共線，∴eq\o(MP,\s\up6(→))＝λeq\o(PQ,\s\up6(→))，即4e1＋2e2＝λ(2e1＋te2)，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝2λ，,2＝λt，))解得t＝1.故選A.7．已知平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則B．若，則C．若，，則D．若，則答案D解析A：若為非零向量，為零向量時，有但不成立，錯誤；B：時，，不一定相等，錯誤；C：若為零向量時，，不一定有，錯誤；D：說明，同向，即，正確.故選D.8．在△中，為邊上一點，且滿足，設，則（）A．2B．－2C．1D．－1答案C解析依題意可得，所以，因此，所以.故選C.9．已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．答案：C解析：，①，②①②，可得，解得，所以.故選C.10．如圖，在等腰梯形ABCD中，DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于點E，則eq\o(DE,\s\up6(→))等于()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))答案：A解析：因為DC＝eq\f(1,2)AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC，所以E是AC的中點，可得eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，故選A.11．在平行四邊形中，，設，，則向量DE=（）A． B． C． D．答案：A解析：.故選A12.A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)答案B解析設eq\o(OC,\s\up6(→))＝meq\o(OD,\s\up6(→))，則m>1，因為eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，所以meq\o(OD,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))，即eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(λ,m)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(μ,m)eq\o(OB,\s\up6(→))，又知A，B，D三點共線，所以eq\f(λ,m)＋eq\f(μ,m)＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1，故選B.13．（多選題）設點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法正確的是()A．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M是邊BC的中點B．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M在邊BC的延長線上C．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，則點M是△ABC的重心D．若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)答案ACD解析若eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))，則點M是邊BC的中點，故A正確；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即有eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，即eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))，則點M在邊CB的延長線上，故B錯誤；若eq\o(AM,\s\up6(→))＝－eq\o(BM,\s\up6(→))－eq\o(CM,\s\up6(→))，即eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→))＝0，則點M是△ABC的重心，故C正確；如圖，eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，且x＋y＝eq\f(1,2)，可得2eq\o(AM,\s\up6(→))＝2xeq\o(AB,\s\up6(→))＋2yeq\o(AC,\s\up6(→))，設eq\o(AN,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))，則M為AN的中點，則△MBC的面積是△ABC面積的eq\f(1,2)，故D正確．故選ACD.7.2平面向量基本定理及坐標表示1.已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－1)，C(0,1)，若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，則點D的坐標為()A．(－2,3) B．(2，－3)C．(－2,1) D．(2，－1)答案:D解析設D(x，y)，則eq\o(CD,\s\up6(→))＝(x，y－1)，2eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，－2)，根據(jù)eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，得(x，y－1)＝(2，－2)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y－1＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1，))故選D.2．己知向量，則向量在向量方向上的投影是________．答案：解析:向量在向量上的投影是.3．直線l與平行四邊形ABCD中的兩邊AB，AD分別交于點E，F(xiàn)，且交其對角線AC于點M，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3eq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則eq\f(5,2)μ－λ＝()A.－eq\f(1,2)B.1C．eq\f(3,2)D．－3答案：A解析：eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))－μ(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))＝(λ－μ)eq\o(AB,\s\up6(→))－μeq\o(AD,\s\up6(→))＝2(λ－μ)eq\o(AE,\s\up6(→))－3μeq\o(AF,\s\up6(→)).因為E，M，F(xiàn)三點共線，所以2(λ－μ)＋(－3μ)＝1，即2λ－5μ＝1，∴eq\f(5,2)μ－λ＝－eq\f(1,2).故選A.4.已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)且eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))，求點M，N及eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標．解析：∵A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4，∴eq\o(CA,\s\up6(→))＝(1，8)，eq\o(CB,\s\up6(→))＝(6，3)，∴eq\o(CM,\s\up6(→))＝3eq\o(CA,\s\up6(→))＝(3，24)，eq\o(CN,\s\up6(→))＝2eq\o(CB,\s\up6(→))＝(12，6)．設M(x，y)，則有eq\o(CM,\s\up6(→))＝(x＋3，y＋4)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3＝3，,y＋4＝24，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝20，))∴M點的坐標為(0，20)．同理可求得N點的坐標為(9，2)，因此eq\o(MN,\s\up6(→))＝(9，－18)．故所求點M，N的坐標分別為(0，20)，(9，2)，eq\o(MN,\s\up6(→))的坐標為(9，－18)．5.線段AB的端點為A(x,5)，B(－2，y)，直線AB上的點C(1,1)，使|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，則x＋y＝________.答案－2或6解析由已知得eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－x，－4)，2eq\o(BC,\s\up6(→))＝2(3,1－y)．由|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(BC,\s\up6(→))|，可得eq\o(AC,\s\up6(→))＝±2eq\o(BC,\s\up6(→))，則當eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(BC,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝6，,－4＝2－2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5，,y＝3，))此時x＋y＝－2；當eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2eq\o(BC,\s\up6(→))時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x＝－6，,－4＝－2＋2y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,y＝－1，))此時x＋y＝6.綜上可知，x＋y＝－2或6.6.已知向量a＝(1，1)，點A(3，0)，點B為直線y＝2x上的一個動點，若eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，則點B的坐標為________.答案：(－3，－6)解析：由題意設B(x，2x)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x－3，2x)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))∥a，∴x－3－2x＝0，解得x＝－3，∴B(－3，－6).7.設向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1，－2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(2m，－1)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝(－2n，0)，m，n∈R，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則m＋n的最大值為()A.－3 B.－2 C.2 D.3答案：A解析由題意易知，eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，其中eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2m－1，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2n－1，2)，所以(2m－1)×2＝1×(－2n－1)，得：2m＋1＋2n＝1.2m＋1＋2n≥2eq\r(2m＋n＋1)，所以2m＋n＋1≤2－2，即m＋n≤－3.故選A.8.如圖，以邊長為2的正方形的邊為直徑作半圓，P為半圓上的動點，滿足．（1）設，用分別表示和；（2）求的取值范圍．解析：（1）如下圖，因為，所以，，所以，所以解得；（2）以中點為坐標原點，的方向為軸正向建立平面直角坐標系如下圖所示，因為正方形邊長為，所以半圓是單位圓位于軸上方的部分，設，，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，，所以.9．如圖所示，平行四邊形中，，點F為線段AE的中點，則（）A． B．C． D．答案C解析.故選C.10．在平行四邊形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－3)，則點D的坐標為()A．(6,1) B．(－6，－1)C．(0，－3) D．(0,3)答案A解析eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－3，－2)，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(5，－1)，則D(6,1)，故選A.11．已知點，，，，則（）A． B． C． D．答案：A解析：依題意得，，所以.故選A.12．已知向量，，，，滿足，則的最小值為（）A．9 B．4 C．3 D．5答案：A解析：由知，，，又，，于是有，當且僅當時取“=”，所以的最小值為為3．故選C.13．已知向量，若，則（）A．－10 B．10C．11 D．－11答案：B解析：：因為，所以，因為，所以，解得.故選B.14．已知兩點，則與向量同向的單位向量是（）A． B．C． D．答案：A解析：因為兩點,所以，所以＝＝，所以與向量同向的單位向量為，故選A.15．設向量，，且向量與共線，則（）A． B． C． D．答案：C解析：因為，，所以，又因為與共線，所以，解得，故選C.16.（2021·全國高三模擬）已知中，，，，與的平分線交于點，則（）A． B．C． D．答案：B解析：由已知得，則．以為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，則?ABC內(nèi)切圓半徑，所以，，．設，則，解得，，故，故選B．17.（2021·江蘇宿遷高三三模）已知點，，將向量繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則點的坐標為（）A． B． C． D．答案：D解析：，,設與軸的正方向的夾角為，則，將向量繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，則，所以C點坐標為,故選D.18.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且eq\o(MP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))，則P點的坐標為()A．(－8,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))) D．(8，－1)答案B解析設P(x，y)，則eq\o(MP,\s\up6(→))＝(x－3，y＋2)．而eq\f(1,2)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－8,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，\f(1,2)))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－4，,y＋2＝\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－\f(3,2)，))∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))．故選B.18.設x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，則|+|＝（）A． B． C． D．5答案：A解析：根據(jù)題意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，則﹣2x＝1，解可得x＝﹣，則＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），則|+|＝＝，故選A.7.3平面向量的數(shù)量積1．設a，b，c是任意的非零平面向量，且相互不共線，則下列命題中的真命題的個數(shù)是()①(a·b)c－(c·a)b＝0②|a|－|b|＜|a－b|③(b·c)a－(a·c)b不與c垂直④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2A．1B．2C．3D．4答案B解析由于b，c是不共線的向量，因此(a·b)c與(c·a)b相減的結(jié)果應為向量，故①錯誤；由于a，b不共線，故a，b，a－b構(gòu)成三角形，因此②正確；由于[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，故C中兩向量垂直，故C③錯誤；根據(jù)向量數(shù)量積的運算可以得出D④是正確的．故選B.2.在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，點E和F分別在線段BC和DC上，且eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DC,\s\up6(→))，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為________．解析取eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))為一組基底，則eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(5,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＝－eq\f(7,12)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝＝eq\f(7,12)||－eq\f(25,18)eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)|eq\o(BC,\s\up6(→))|2＝eq\f(7,12)×4－eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(29,18)．3.已知單位向量，滿足，則與的夾角為（）A． B． C． D．答案：C解析：由，得，所以，即，所以，由，得，故選C.4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosB，2cos2\f(C,2)－1))，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.(1)求∠C的大??；(2)若點D為邊AB上一點，且滿足eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(7)，c＝2eq\r(3)，求△ABC的面積．解析：(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，∴ccosB＋(b－2a)cosC＝0，在△ABC中，由正弦定理得，sinCcosB＋(sinB－2sinA)cosC＝0，sinA＝2sinAcosC，又sinA≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，而C∈(0，π)，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)由eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))知，eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))，∴2eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))，兩邊平方得4|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，∴a2＋b2－ab＝12②，由①②得ab＝8，∴S△ABC＝eq\f(1,2)absin∠ACB＝2eq\r(3).5.如圖，已知，為的中點，分別以為直徑在的同側(cè)作半圓，分別為兩半圓上的動點（不含端點），且，則的最大值為．答案解析以點為坐標原點，線段所在的直線為軸，建立平面坐標系。設，，則,，，=，當時，AM.CN的最大值為.6.已知正三角形的邊長為2，點滿足，則的值為（）A． B． C． D．答案：C．解析：∵，，∴.故選C.7．已知，，與的夾角為，則（）A． B． C． D．答案C解析.故選C.8．在中，若，，，則的模等于（）A． B． C． D．答案：D.解析：因為，所以.又，把，，代入得，.故選D.9.（2021·四川瀘州高三二模）在?ABC中，，，點是邊的中點，則的值為（）A． B．6 C． D．8答案：A解析：因為在?ABC中，點是邊的中點，所以，因為，，，所以故選A.10.若兩個非零向量滿足，則向量與的夾角是（）A． B． C． D．答案：D解析：，，，，，設與的夾角為，．，，．故選D.11．在平行四邊形中，，，，為的中點，則（）A．9 B．12 C．18 D．22答案：B解析：因為，所以．故選B．12.已知非零向量，滿足且，則與的夾角為（）A． B． C． D．答案：D.解析：設＝1，因為，所以，，所以，，又，所以．故選D．13.在△ABC中，(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|2，則△ABC的形狀一定是________三角形．()A.等邊B.等腰C.直角D.等腰直角答案C解析由(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AC|2，得eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，即eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0，2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))⊥eq\o(BA,\s\up6(→))，∴A＝90°.又根據(jù)已知條件不能得到|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC一定是直角三角形．故選C.14.（2021·山東日照高三二模）已知，當時，向量與的夾角為（）A． B． C． D．答案：B解析：，，，即，，，故選B.15．（2021·遼寧沈陽高三模擬）已知點的坐標為，將向量繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，則點坐標為（）A． B． C． D．答案：A解析：設，則，所以，又，由上面關系求得或，而向量由繞原點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到，且在第一象限，所以的縱坐標為正數(shù)，故.故選A.16.已知、、、、為半徑為的圓上相異的點（沒有任何兩點重合），這個點兩兩相連可得到條線段，則這條線段長度平方和的最大值為_________.解析：不妨設圓心為，則、、，所以，.當且僅當時，等號成立，因此，這條線段長度平方和的最大值為.故答案為：.單元檢測七1.已知，，則（）A． B． C． D．答案：A解析：由已知條件可得，，因此，.故選A.2．已知向量，，若與反向，則（）A．-30 B．30 C．-100 D．100答案：D解析：由已知得與共線，則，解得，所以，所以，因此．故選D.3．在矩形ABCD中，其中，，AB上的點E滿足，F(xiàn)為AD上任意一點，則（）A． B． C． D．答案：D解析：如圖，因為，所以,設,則，所以，故選D.4．已知在△ABC中，AB＝1，BC＝eq\r(6)，AC＝2，點O為△ABC的外心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→))，則有序?qū)崝?shù)對(x，y)為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))答案：A解析：取AB的中點M和AC的中點N，連接OM，ON，則eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))－yeq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(AN,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))－(xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))－xeq\o(AB,\s\up6(→)).由eq\o(OM,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－x))eq\o(AB,\s\up6(→))2－yeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0①，由eq\o(ON,\s\up6(→))⊥eq\o(AC,\s\up6(→))，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－y))eq\o(AC,\s\up6(→))2－xeq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0②，又因為eq\o(BC,\s\up6(→))2＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC,\s\up6(→))2－2eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→))2＋\o(AB,\s\up6(→))2－\o(BC,\s\up6(→))2,2)＝－eq\f(1,2)③，把③代入①、②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－2x＋y＝0，,4＋x－8y＝0，))解得x＝eq\f(4,5)，y＝eq\f(3,5).故實數(shù)對(x，y)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))).5.已知向量，，，則的最小值為（）A．B．C．D．答案：D解析：因為向量，，所以，因此，當且僅當時，取得最小值.故選D.6．已知?ABC是腰長為的等腰直角三角形，其中，點是所在平面上的任意一點，則向量的模為________答案：解析：由已知可得，，，且，因為，因此，的模為.故答案為：.7．在如圖所示的平面直角坐標系中，已知點A(1,0)和點B(－1,0)，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，且∠AOC＝θ，其中O為坐標原點．(1)若θ＝eq\f(3π,4)，設點D為線段OA上的動點，求|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最小值；(2)若θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，向量m＝eq\o(BC,\s\up6(→))，n＝(1－cosθ，sinθ－2cosθ)，求m·n的最小值及對應的θ值．解析：(1)設D(t,0)(0≤t≤1)，由題意知Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，所以eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)＋t，\f(\r(2),2)))，所以|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(\r(2),2)))2＋eq\f(1,2)，所以當t＝eq\f(\r(2),2)時，|eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|最小，最小值為eq\f(\r(2),2).由題意得C(cosθ，sinθ)，m＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(cosθ＋1，sinθ)，則m·n＝1－cos2θ＋sin2θ－2sinθcosθ＝1－cos2θ－sin2θ＝1－eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))，因為θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以eq\f(π,4)≤2θ＋eq\f(π,4)≤eq\f(5π,4)，所以當2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(π,8)時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))取得最大值1，即m·n取得最小值1－eq\r(2).所以m·n的最小值為1－eq\r(2)，此時θ＝eq\f(π,8).8.平面四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，則四邊形ABCD的形狀是()A．矩形B．菱形C．正方形D．梯形答案:B解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝0?eq\o(