實(shí)變函數(shù)第一章答案

------------------------------------------------------------------------實(shí)變函數(shù)第一章答案習(xí)題1.11．證明下列集合等式．(1)；(2)；(3)．證明(1).(2)=.(3).2．證明下列命題．(1)的充分必要條件是：；(2)的充分必要條件是：?；(3)的充分必要條件是：?．證明(1)的充要條是：(2)必要性.設(shè)成立，則,于是有,可得反之若取,則,那么與矛盾.充分性.假設(shè)成立,則,于是有,即(3)必要性.假設(shè),即若取則于是但與矛盾.充分性.假設(shè)成立,顯然成立,即.3．證明定理1.定理1.1.6(1)如果是漸張集列,即則收斂且(2)如果是漸縮集列,即則收斂且證明(1)設(shè)則對(duì)任意存在使得從而所以則又因?yàn)橛纱丝梢娛諗壳?2)當(dāng)時(shí),對(duì)于存在使得于是對(duì)于任意的存在使得,從而可見又因?yàn)樗钥芍諗壳?．設(shè)是定義于集合上的實(shí)值函數(shù)，為任意實(shí)數(shù)，證明：(1)；(2)；(3)若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)有．證明(1)對(duì)任意的有則存在使得成立.即那么故另一方面,若則存在使得于是,故.則有(2)設(shè),則,從而對(duì)任意的,都有,于是,故有另一方面,設(shè),則對(duì)于任意的,有,由的任意性,可知,即,故.(3)設(shè),則.由可得對(duì)于任意的,存在使得,即,即,故,所以,故；另一方面,設(shè),則對(duì)任意有.由下極限的定義知：存在使得當(dāng)時(shí),有,即對(duì)任意有;又由知即對(duì)任意的,存在使得當(dāng)時(shí),有.取,則有與同時(shí)成立,于是有,從而,由的任意性知：,即,故有;綜上所述：5．證明集列極限的下列性質(zhì)．(1)；(2)；(3)；(4)．證明(1).(2).(3).(4).6．如果都收斂，則都收斂且(1)；(2)；(3)．習(xí)題1.21．建立區(qū)間與之間的一一對(duì)應(yīng)．解令,,,則,.定義為:則為之間的一個(gè)一一對(duì)應(yīng).2．建立區(qū)間與之間的一一對(duì)應(yīng)，其中．解定義:為:可以驗(yàn)證:為一個(gè)一一對(duì)應(yīng).3．建立區(qū)間與之間的一一對(duì)應(yīng)，其中．解令，.定義為:可以驗(yàn)證:為一個(gè)一一對(duì)應(yīng).4．試問：是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為區(qū)間?是否存在連續(xù)函數(shù)，把區(qū)間一一映射為?答不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為;因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間存在最大、最小值.也不存在連續(xù)函數(shù)把區(qū)間一一映射為;因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在介值性定理,而區(qū)間不能保證介值性定理永遠(yuǎn)成立.5．證明：區(qū)間且．證明記,則.任取,設(shè)為實(shí)數(shù)正規(guī)無窮十進(jìn)小數(shù)表示,并令,則得到單射.因此由定理1.2.2知.若令,則.從而由定理1.2.2知:.最后,根據(jù)定理知:.對(duì)于,定義為:,則為的一個(gè)一一對(duì)應(yīng),即.又因?yàn)?,則由對(duì)等的傳遞性知:且.6．證明：與對(duì)等并求它們的基數(shù)．證明令,,.則.定義:為:可以驗(yàn)證:為一一對(duì)應(yīng),即.又因?yàn)?所以.7．證明：直線上任意兩個(gè)區(qū)間都是對(duì)等且具有基數(shù)．證明對(duì)任意的取有限區(qū)間則,則由定理知,同理.故.習(xí)題1.31．證明：平面上頂點(diǎn)坐標(biāo)為有理點(diǎn)的一切三角形之集是可數(shù)集．證明因?yàn)橛欣頂?shù)集是可數(shù)集，平面上的三角形由三個(gè)頂點(diǎn)所確定，而每個(gè)頂點(diǎn)由兩個(gè)數(shù)決定，故六個(gè)數(shù)可確定一個(gè)三角形，所以中的每個(gè)元素由中的六個(gè)相互獨(dú)立的數(shù)所確定，即所以為可數(shù)集.2．證明：由平面上某些兩兩不交的閉圓盤之集最多是可數(shù)集．證明對(duì)于任意的,使得.因此可得：.因?yàn)榕c不相交，所以.故為單射，從而.3．證明：（1）任何可數(shù)集都可表示成兩個(gè)不交的可數(shù)集之并；（2）任何無限集都可表成可數(shù)個(gè)兩兩不交的無限集之并．證明(2)當(dāng)可數(shù)時(shí)，存在雙射.因?yàn)樗?其中：.又因?yàn)榍铱蓴?shù)，所以可表示成可數(shù)個(gè)兩兩不交的無限集之并．當(dāng)不可數(shù)時(shí)，由于無限，所以存在可數(shù)集,且不可數(shù)且無限，從而存在可數(shù)集，且無限不可數(shù).如此下去，可得都可數(shù)且不相交，從而.其中無限且不交.4．證明：可數(shù)個(gè)不交的非空有限集之并是可數(shù)集．5．證明：有限或可數(shù)個(gè)互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集．證明有限個(gè)互不相交的有限集之并是有限集；而可數(shù)個(gè)互不相交的有限集之并最多是可數(shù)集.6．證明：?jiǎn)握{(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集．證明不妨設(shè)函數(shù)在單調(diào)遞增，則在間斷當(dāng)且僅當(dāng).于是，每個(gè)間斷點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)開區(qū)間.下面證明：若為的兩個(gè)不連續(xù)點(diǎn)，則有.事實(shí)上，任取一點(diǎn)，使，于是，從而對(duì)應(yīng)的開區(qū)間與對(duì)應(yīng)的開區(qū)間不相交，即不同的不連續(xù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的開區(qū)間互不相交，又因?yàn)橹本€上互不相交的開區(qū)間所構(gòu)成的集合至多是可數(shù)集，所以可知單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)之集至多是可數(shù)集.7．證明：若存在某正數(shù)使得平面點(diǎn)集中任意兩點(diǎn)之間的距離都大于，則至多是可數(shù)集．證明定義映射，即，其中表示以為中心，以為半徑的圓盤.顯然當(dāng)時(shí)，有，即，于是為雙射，由第2題知：，故.習(xí)題1.41．直線上一切閉區(qū)之集具有什么基數(shù)？區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是什么?答直線上一切閉區(qū)間之集的基數(shù)是.這是因?yàn)椋簽閱紊?，而為滿射，所以.區(qū)間中的全體有理數(shù)之集的基數(shù)是，這是因?yàn)椋?2．用表示上的一切連續(xù)實(shí)值函數(shù)之集，證明：(1)設(shè)，，則；(2)公式定義了單射；(3)．證明(1)必要性.顯然.充分性.假設(shè)成立.因?yàn)?，存在有理?shù)列，使得，由，可得及.又因?yàn)闉橛欣睃c(diǎn)列，所以有，故，都有.(2)，設(shè)，即.由(1)知：.故為單射.(3)由(2)知：；又由，可得.故.3．設(shè)為閉區(qū)間上的一切實(shí)值函數(shù)之集，證明：(1)定義了一個(gè)單射；(2)，定義了單射；(3)的基數(shù)是．證明(1)，設(shè)，即.從而，故為單射.(2)，設(shè)，則，故為單射.(3)由(1)知：；又由(2)知：，故.4．證明：．證明因?yàn)?，而，故；又由定?..4.5知：.5．證明：若為任一平面點(diǎn)集且至少有一內(nèi)點(diǎn)，則．證明顯然.設(shè)，則使得，可知，故.第一章總練習(xí)題證明下列集合等式．(1)；(2)．證明(1)因?yàn)?.所以.(2)因?yàn)樗?證明下列集合等式．(1)；(2)．證明(1).(2).3．證明：，其中為定義在的兩個(gè)實(shí)值函數(shù)，為任一常數(shù)．證明若,則有且,于是,故.所以.4．證明：中的一切有理點(diǎn)之集與全體自然數(shù)之集對(duì)等．證明因?yàn)?所以(推論1.3.1).又因?yàn)?所以,故.5．有理數(shù)的一切可能的序列所成之集具有什么基數(shù)？6．證明：一切有理系數(shù)的多項(xiàng)式之集是可數(shù)集．證明設(shè)于是顯然所以因此由定理1.3.5知：7．證明：一切實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式之集的基數(shù)為．證明記于是顯然所以因此由定理1.4.3知：8．證明：全體代數(shù)數(shù)(即可作為有理系數(shù)多項(xiàng)式之根的數(shù))之集是可數(shù)集，并由此說明超越數(shù)(即不是代數(shù)數(shù)的實(shí)數(shù))存在，而且全體超越數(shù)之集的基數(shù)是．證明由于有理系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可數(shù)集，設(shè)其元素為記多項(xiàng)式的全體實(shí)根之集為由于次多項(xiàng)式根的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，故為有限集，從而代數(shù)數(shù)全體為可數(shù)個(gè)有限集的并，故為可數(shù)集，即