必修四第二章平面向量(B)

必修四

第二章

平面向量

(B)一、選擇題1、關于平面向量 a，b，c，有下列四個命題：①若a∥b，a≠0，則存在λ∈R，使得b＝λa；②若a·b＝0，則a＝0或b＝0；③存在不全為零的實數(shù) λ，μ使得c＝λa＋μb；④若a·b＝a·c，則a⊥(b－c)．其中正確的命題是 ( )A．①③ B．①④ C．②③

D．②④2、已知向量A．－6

a＝(4,2)，b＝(x,3)，且B．6 C．9

a∥b，則x的值是D．12

(

)3、下列命題正確的是 ( )A．單位向量都相等B．若a與b共線，b與c共線，則a與c共線C．若|a＋b|＝|a－b|，則a·b＝0D．若a與b都是單位向量，則a·b＝1.4、90°，則實數(shù)m的取值范圍是()設向量a＝(m－2，m＋3)，b＝(2m＋1，m－2)，若a與b的夾角大于版權文檔，請勿用做商業(yè)用途4A．(－3，2)4B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)4C．(－2，3)4D．(－∞，2)∪(，＋∞)5、已知|a|＝1，|b|＝6，a·(b－a)＝2，則向量a與向量b的夾角是( )A.πB.πC.ππ643D.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途26、已知|a|＝5，|b|＝3，且a·b＝－12，則向量a在向量b上的投影等于( )A．－4B．41212版權文檔，請勿用做商業(yè)用途C．－5D.57、設O，A，M，B為平面上四點，＝λ＋(1－λ)·，且λ∈(1,2)，則( )A．點M在線段AB上B．點B在線段AM上C．點A在線段BM上D．O，A，B，M四點共線1/78、P是△ABC內(nèi)的一點，＝1(＋)，則△ABC的面積與△ABP的面積之比為()版權文檔，請勿用做商業(yè)用途33A.2B．2C．3D．69、在△ABC中，＝2，＝2，若＝m＋n，則m＋n等于( )A.2B.7C.8D．1版權文檔，請勿用做商業(yè)用途39910、已知3a＋4b＋5c＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，則a·(b＋c)等于( )433A．－5B．－5C．0D.5版權文檔，請勿用做商業(yè)用途11、定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的 a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np.下面說法錯誤的是 ( )版權文檔，請勿用做商業(yè)用途A．若a與b共線，則a⊙b＝0B．a(chǎn)⊙b＝b⊙aC．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b)D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|212、平行四邊形 ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則·等于( )A．8 B．6 C．－8 D．－6二、填空題13、已知向量＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，設M是直線OP上任意一點(O為坐標原點)，則·的最小值為________．版權文檔，請勿用做商業(yè)用途14、設向量a＝(1,2)，b＝(2,3)，若向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，則λ＝________.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途15、a，b的夾角為120°，|a|＝1，|b|＝3，則|5a－b|＝________.116、已知向量a＝(6,2)，b＝(－4，2)，直線l過點A(3，－1)，且與向量a＋2b垂直，則直線l的方程為________．版權文檔，請勿用做商業(yè)用途三、解答題2/717、如圖所示，以向量＝a，＝b為邊作?AOBD，又＝13，＝13，用a，b表示、、.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途18、已知線段PQ過△OAB的重心G，且P、Q分別在OA、OB上，設＝a，＝b，＝ma，＝nb.1 1求證： ＋＝3.19、設兩個向量 e1、e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1、e2的夾角為 60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍．版權文檔，請勿用做商業(yè)用途20、設＝(2,5)，＝(3,1)，＝(6,3)．在線段OC上是否存在點 M，使MA⊥MB？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 版權文檔，請勿用做商業(yè)用途3/721、已知a＝(3，－1)，b＝12，23，且存在實數(shù)k和t，使得x＝a＋(t2－3)b，y＝－ka＋tb，且x⊥y，2試求k＋t的最小值．版權文檔，請勿用做商業(yè)用途t22、已知a，b的夾角為120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：(1)(a－2b)·(a＋b)；(2)|a＋b|；(3)|3a－4b|.以下是答案一、選擇題1、B [由向量共線定理知①正確；若 a·b＝0，則基底時，對平面上任意向量，存在實數(shù) λ，μ使得所以a⊥(b－c)，所以④正確，即正確命題序號是①④

a＝0或b＝0或a⊥b，所以②錯誤；在 a，b能夠作為c＝λa＋μb，所以③錯誤；若 a·b＝a·c，則a(b－c)＝0，.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途2、B [∵a∥b，∴4×3－2x＝0，∴x＝6.]3、C [∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b |a－b|2＝a2＋b2－2a·b |a＋b|＝|a－b|.∴a·b＝0.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途4/7A[∵a與b的夾角大于90°，∴a·b<0，∴(m－2)(2m＋1)＋(m＋3)(m－2)<0，即3m244、－2m－8<0，∴－3<m<2.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途5、C2a·b31π[∵a(b－a)＝a·b－|a|＝2，∴a·b＝3，∴cos〈a，b〉＝|a|＝＝，∴〈a，b〉＝.]版權文檔，請勿·|b|1×623用做商業(yè)用途6、A[向量a在向量b上的投影為|a|cos〈a，b〉＝a·ba·b12版權文檔，請勿用做商業(yè)用途|a|·3＝－4.]|a||b|＝|b|＝－7、B[∵＝λ＋(1－λ)＝＋λ(－)∴＝λ，λ∈(1,2)，∴點B在線段AM上，故選B.]△△2AD8、CSABC2SABD[設△ABC邊BC的中點為D，則＝＝AP.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途△△SABPSABP1233△S∵＝3(＋)＝3，∴＝2，∴||＝2||.∴＝3.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途△SABP9、B[＝＋＝＋222414173＝＋3(3－)＝9＋3故有m＋n＝9＋3＝9.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途10、B[由已知得4b＝－3a－5c，將等式兩邊平方得(4b)2＝(－3a－5c)2，化簡得a·c＝－3.同理由5c＝－353a－4b兩邊平方得a·b＝0，∴a·(b＋c)＝a·b＋a·c＝－.]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途511、B[若a＝(m，n)與b＝(p，q)共線，則mq－np＝0，依運算“⊙”知a⊙b＝0，故A正確．由于a⊙b＝mq－np，又b⊙a＝np－mq，因此a⊙b＝－b⊙a，故B不正確．對于C，由于λa＝(λm，λn)，因此(λa)⊙b＝λmq－λnp，又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝λmq－λnp，故C正確．對于D，(a⊙b)2＋(a·b)2＝m2q2－2mnpqn2p2＋(mp＋nq)2＝m2(p2＋q2)＋n2(p2＋q2)＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確．]版權文檔，請勿用做商業(yè)用途12、A [∵＝＝－＝(－1，－1)，∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)，∴·＝(－1，－1)(·－3，－5)＝8.]二、填空題13、－8解析 設＝t＝(2t，t)，故有·＝(1－2t,7－t)·(5－2t,1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，故當t＝2時，·取得最小值－8.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途14、2解析 ∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．∵向量λa＋b與向量c＝(－4，－7)共線，∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2.5/715、7解析2222221∵|5a－b|＝(5a－b)＝25a＋b－10a·b＝25×1＋3－10×1×3×(－)＝49.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途2∴|5a－b|＝7.16、2x－3y－9＝0解析設P(x，y)是直線上任意一點，根據(jù)題意，有·(a＋2b)＝(x－3，y＋1)·(－2,3)＝0，整理化簡得2x－3y－9＝0.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途三、解答題17、解＝－＝a－b.∴＝＋＝＋11153＝＋6＝6a＋6b.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途又＝a＋b.＝＋＝11222＋＝＝33版權文檔，請勿用做商業(yè)用途221511∴＝－＝3a＋3b－6a－6b＝2a－6b.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途18、證明如右圖所示，11∵＝2(＋)＝2(a＋b)，21∴＝3＝3(a＋b)．111b.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途∴＝－＝(a＋b)－ma＝(－m)a＋333＝－＝nb－ma.又P、G、Q三點共線，所以存在一個實數(shù) λ，使得＝λ.1 1∴(3－m)a＋3b＝λnb－λma，1 1∴(3－m＋λm)a＋(3－λn)b＝0.∵a與b不共線，13－m＋λm＝0， ①∴ 版權文檔，請勿用做商業(yè)用途13－λn＝0， ②1由①②消去λ得：m＋n＝3.6/719、解 由向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角為鈍角，得2te1＋7e2·e1＋te2<0，版權文檔，請勿用做商業(yè)用途|2te1＋7e2|·|e1＋te2|即(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0.22＋7)e12122版權文檔，請勿用做商業(yè)用途·e<0.(*)|e1|＝2，|e2|＝1，〈e1，e2〉＝60°.∴e1·e2＝2×1×cos60°＝1∴(*)式化簡得：2t21＋15t＋7<0.解得：－7<t<－.2當向量2te1＋7e2與e1＋te2夾角為180°時，設2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ<0)．版權文檔，請勿用做商業(yè)用途2t＝λλ＝－14對比系數(shù)得7＝λt，∴t＝－14版權文檔，請勿用做商業(yè)用途λ<02∴所求實數(shù)t的取值范圍是－7，－14∪141版權文檔，請勿用做商業(yè)用途2－2，－2.20、解設＝t，t∈[0,1]，則＝(6t,3t)，即M(6t,3t).＝－＝(2－6t,5－3t)，版權文檔，請勿用做商業(yè)用途21＝－＝(3－6t,1－3t)．若MA⊥MB，則·＝(2－6t)(3－6t)＋(5－3t)(1－3t)＝0.即45t－48t＋11＝0，t＝3或t112211＝15.∴存在點M，M點的坐標為(2,1)或5，5.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途21、解由題意有|a|＝322，|b|＝12＋32＝1.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途＋－1＝22213∵a·b＝3×2－1×2＝0，∴a⊥b.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途t3－3t∵x·y＝0，∴[a＋(t2－3)b](－ka＋tb)＝0.化簡得k＝.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途42121727k＋t2k＋t∴t＝4(t＋4t－3)＝4(t＋2)－4.即t＝－2時，t有最小值為－4.版權文檔，請勿用做商業(yè)用途22、解a·b＝|a||b|cos1