大學基礎物理學答案(習崗)第章

第二章氣體動理論氣體的微觀圖像與宏觀性質(zhì)·氣體是由大量分子組成的，1mol氣體所包含的分子數(shù)為6.0231023。分子之間存在相互作用力。分子在做永不停息的無規(guī)則的運動，其運動程度與溫度有關。·在分子層次上，理想氣體滿足如下條件：（1）分子本身的大小與分子之間平均距離相比可以忽略不計，分子可看作質(zhì)點。（2）除碰撞的瞬間以外，分子之間的相互作用力可以忽略不計，分子所受的重力也忽略不計。（3）氣體分子間的碰撞以及分子與器壁之間的碰撞為完全彈性碰撞。理想氣體壓強與溫度·理想氣體的壓強公式p1nmv22n33其中， 1mv2，稱分子平均平動動能，它表征了分子運動的劇烈程度。。2·理想氣體的溫度公式3kT2溫度公式表明，溫度是大量分子熱運動劇烈程度的標志。阿伏伽德羅定律在相同的溫度和壓強下，各種氣體在相同體積內(nèi)所包含的分子數(shù)相同。道爾頓分壓定律混合氣體的壓強等于各種氣體的分壓強之和。麥克斯韋速率分布·在平衡態(tài)下，氣體分子服從如下麥克斯韋速率分布規(guī)律32mv2dN4me2kTv2dvN2kT13/11·麥克斯韋速率分布函數(shù)32mv2f(v)dN4me2kTv2Ndv2kT其表征了處于起點速率為 v的單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。分子速率的三種統(tǒng)計值從麥克斯韋速率分布規(guī)律可以導出分子速率的三種統(tǒng)計值·最概然速率2kTvPmvP表明氣體分子速率并非從小到大平均分配，速率太大或太小的分子數(shù)很少，速率在vP附近的分子數(shù)最多?！て骄俾?kTvm平均速率v是描述分子運動狀況的重要參量，為所有分子的速率之和除以總分子數(shù)?！し骄俾?kTvm能量均分定理·描述一個物體空間位置所需的獨立坐標數(shù)稱該物體的自由度。單原子分子的自由度為 3，剛性雙原子分子的自由度為 5，非剛性雙原子分子的自由度為6。·能量均分定理在溫度為 T的氣體中，分子熱運動動能平均分配到分子的每個自由度上，每個自由度的平均動能都是1kT。2理想氣體的內(nèi)能·每個氣體分子的熱運動動能以及分子與分子之間相互作用勢能的和構成了氣體的總能量，這個能量稱為氣體的內(nèi)能?！?mol理想氣體的內(nèi)能為14/11E0NAiikTRT22質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為 的理想氣體的內(nèi)能為MiRT2由此可見，對于一定量的理想氣體，其內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)。氣體分子的輸運規(guī)律·氣體的黏滯現(xiàn)象牛頓黏滯定律對氣體同樣適用fduSdy其中，為氣體黏度，f為作用在相互接觸的兩氣層上的作用力，S為兩氣層的作用面積?！怏w的熱傳導現(xiàn)象氣體的熱傳導遵守如下的傅立葉熱傳導定律QTtSx該定律表明，單位時間內(nèi)沿x方向通過面積S的熱量與該方向上的溫度梯度成正比，與面積S也成正比。負號表示傳熱的方向與溫度梯度的方向相反。其中的比例系數(shù)稱熱導率?！怏w分子的擴散氣體擴散的基本規(guī)律是菲克擴散定律，其表達式為N dnD St dx其中，D為比例系數(shù)，稱擴散系數(shù)，負號表示氣體分子擴散的方向與分子數(shù)密度梯度的方向相反。思考題2-1若給出一個矩形容器，設內(nèi)部充有同一種氣體，每一個分子的質(zhì)量為m，分子數(shù)密度為n，由此可以導出理想氣體的壓強公式。若容器是一個球形的，壓強公式的形式仍然是不變的。請證明之。答：在球形容器內(nèi)，分子運動的軌跡如圖2-1中帶箭頭實線所示。設分子i的速率為vi，分子與器壁的碰撞為完全彈性碰撞，分子碰撞器壁只改變分子運動方向，不改變速度的大小，并且，“入射角”等于“反射角”。對分子i來說，在每次和器壁的碰撞中，分子對器壁作用的法向沖量為15/112mvicos。該分子每秒鐘內(nèi)與器壁的碰撞次數(shù)為vi2Rcos，所以，該分子每秒內(nèi)作用在器壁上的作用力為Rvimvi22Rcos2mvicosR對于總數(shù)為N的全部分子（分子是全同的，每一個分子的質(zhì)量均為m。）來說，球形內(nèi)壁每秒內(nèi)所受到的總作用力等于mNvi2Ri1

Ovi圖2-1由于球形內(nèi)壁的總面積為 4 R2，氣體的體積為 4 R3。所以，按照壓強的3定義得mNNFvi1Nvi1pRi14mi1nmv2S4R233N33R證畢。2-2對汽車輪胎打氣，使之達到所需要的壓強。在冬天與夏天，打入輪胎內(nèi)的空氣質(zhì)量是否相同？為什么？答：不相同，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣質(zhì)量要大一些。因為夏天氣溫高，空氣分子的平均平動能較大；冬天氣溫低，空氣分子的平均平動能較小。根據(jù)理想氣體的壓強公式2n3可知，當壓強相同時，在冬天打入輪胎內(nèi)的空氣密度（即質(zhì)量）要大一些。2-3根據(jù)理想氣體的溫度公式，當 T 0K時， ＝0。由此可推斷，0K(即－273℃)時，分子將停止運動。對此推論，你有何看法？請評判之。答：這種看法是錯誤的。因為理想氣體的溫度公式只適用于理想氣體，而在－273℃時，已經(jīng)不存在理想氣體了，溫度公式也就不成立了，如此的推論自然也就是錯誤的。事實上，即使達到－273℃，分子也還在作微小的振動，運動仍不會停止。2-4范德瓦耳斯方程是從理論上推出的，更精確的昂內(nèi)斯方程則是一個半經(jīng)驗方程。從形式上看，范德瓦耳斯方程可視為昂內(nèi)斯方程的一個特例，請證明之。式（2-31）是由體積V表達的昂內(nèi)斯方程，你能否給出由壓強p表達的昂內(nèi)斯方程？16/11答：（1）由a(p )(V b) RTV2得aabpVpbRTVV2整理得pVaabpbRTV2V令A pb RT則B a，C ab把②、③帶入①BCpVAV2V此式即為昂內(nèi)斯方程。（2）以壓強展開的昂內(nèi)斯方程為pV A Bp Cp2

①②③2-5麥克斯韋速率分布是指氣體在平衡態(tài)下的統(tǒng)計分布。一般而言，速率分布函數(shù)還可以有其他形式。但是，無論何種形式，它們的意義是相同的。設f(v)為速率分布函數(shù)，請思考下列各式所代表的意義：（1）f(v)dv；（2）Nf(v)dv；（3）v2v2。f(v)dv；（4）Nf(v)dvv1v1答：（1）f(v)dv表示速率分布在v~vdv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。（2）Nf(v)dv表示速率分布在v~vdv區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。v2（3）f(v)dv表示速率分布在v1~v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分v1比。v2~v2區(qū)間內(nèi)的氣體分子數(shù)。（4）Nf(v)dv表示速率分布在v1v12-6 若引入無量綱的量u vvp，試證明麥克斯韋速率分布規(guī)律可表達為17/11f(u)du 4eu2u2du并由此說明v<vP的分子數(shù)與總分子數(shù)之比與溫度無關。答：令u vvp，則dv=du?vp帶入麥克斯韋速度分布公式可得32mv2f(v)dv4me2kTv2dv4eu2u2du2kT令f(u)4eu2u2，即有4eu22f(u)duuduv<vP的分子數(shù)與總分子數(shù)之比即為 u從0～1的分子數(shù)與與總分子數(shù)之比。于是，其比率為N1412u2Nf(u)duuedu00用分布積分法可解出NN

0.4276由此可見，v<vP的分子數(shù)與總分子數(shù)之比與溫度無關。2-7氣體分子的平均速率、最概然速率和均方根速率的物理意義有什么區(qū)別？最概然速率是否是速率分布中最大速率的值？在數(shù)值上，這三個速率哪個最大？那個最??？答：由平均速率可以了解氣體分子平均的運動快慢，由方均根速率可知分子平均平動動能的大小，而最概然速率則表明速率在此速率附近的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率最大。顯然，最概然速率不是速率分布中最大速率的值。在數(shù)值上，此三個速率大小關系是vp v v22-81mol的水蒸汽（H2O）分解成同溫度的氧氣和氫氣，內(nèi)能增加了百分之幾？（提示：將水蒸汽視為理想氣體，不計振動自由度，水蒸汽的自由度為6）18/11答：由水分解成同溫度的氧氣和氫氣的化學方程式為H2OH21O22根據(jù)理想氣體的內(nèi)能公式iRT，分別計算2、2、O2的內(nèi)能為O2HHEH2O6RT3RT2EH25RT2EO25RT2根據(jù)化學方程式可知水分解后的內(nèi)能E2為E2EH21EO25RT15RT15RT22224水分解前的內(nèi)能為E1EH2O6RT3RT2分解前后內(nèi)能增量為EE2E115RT3RT3RT44于是，內(nèi)能增加的百分比為3ERT1425%E13RT42-9若盛有某種理想氣體的容器漏氣，使氣體的壓強和分子數(shù)密度各減為原來的一半，氣體的內(nèi)能和分子平均動能是否改變？為什么？答：根據(jù)理想氣體的溫度公式3kT2由于溫度不變，氣體分子平均動能沒有改變。但由于分子數(shù)密度減少了，容器中的氣體質(zhì)量減小，根據(jù)理想氣體的內(nèi)能公式MiRT2可知，氣體的內(nèi)能減少。2-10在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是那些量在遷移？分子熱運動和分子碰撞在遷移現(xiàn)象中起什么作用？答：在氣體的遷移現(xiàn)象中本質(zhì)上是氣體的動量、能量或質(zhì)量從一部分向另一部分的定向遷移。動量、能量或質(zhì)量的定向遷移是通過分子熱運動和分子碰撞實現(xiàn)的。19/11練習題2-1每秒有1023個氧分子以500m·s-1的速度沿與器壁法線成45o角的方向撞在面積為2104m2的器壁上，問這群分子作用在器壁上的壓強為多大?解：每個分子對器壁碰撞時，對器壁的作用沖量為f t 2mvcos450每秒內(nèi)全部N個分子對器壁的作用沖量，即沖力為FN2mvcos450根據(jù)壓強定義式得：0F N2mvcos45S S1023創(chuàng)232創(chuàng)10-3500?cos4506狀021023創(chuàng)210-41狀88104(Pa)102-2 目前，真空設備內(nèi)部的壓強可達 1.0110 Pa，在此壓強下溫度為327℃時1m體積中有多少個氣體分子 ?解：由pnKT得np10110102451010(m3)K3 一個容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強為 1.01105Pa，溫度為 27℃，計算:(1)氣體分子數(shù)密度；（2）氧氣的密度；（3）分子平均平動動能；（4）分子間的平均距離（設分子均勻等距排列）。解：由題意知p1.01105Pa、T273.15K（1）分子數(shù)密度可由下式求出：np1.381.01231052.441025(m1)kT10273.15（2）設氧氣分子的密度為 ，每個分子的質(zhì)量為 m,則nm設分子的摩爾質(zhì)量為 ，1mol氣體所含的分子數(shù)為 NA（阿伏伽德羅常數(shù)），則 NAm，m NA，將其帶入上式得20/11ρnμ2.441025321031.30(kgm3)NA6.0231023（3）分子平均平動動能可由溫度公式求出ε3kT31.3810233006.211021(J)22（4）由分子數(shù)密度可知每一個分子所占據(jù)的空間為V

1n此空間為正方體，相鄰的兩個分子的間距即為d3V31n31/2.4410253.45109(m)2-42.0102kg的氫氣裝在4.0103m3的容器內(nèi)，當容器內(nèi)的壓強為3.9105Pa時，氫氣分子的平均平動動能為多大？解：由理想氣體狀態(tài)方程pVMRT解出pVμTMR將其帶入理想氣體的溫度公式可得ε3kT3kpVμ22MR3.91054103210331.381023221028.313.891022(J)2-5某些恒星的溫度可達到1.0108K，這是發(fā)生聚變反應（也稱熱核反應）所需的溫度。在此溫度下的恒星可視為由質(zhì)子組成。試求（1）質(zhì)子的平均動能；（2）質(zhì)子的方均根速率。（提示：大量質(zhì)子可視為由質(zhì)點組成的理想氣體）解：（1）將質(zhì)子視為理想氣體，由理想氣體的溫度公式得質(zhì)子的平均動能為3kT31.38102311082.071015(J)22（2）質(zhì)子的方均根速率可由下式求出v23RT38.3111081.58106(m/s)110332-6在容積為1m的密閉容器內(nèi)，有 900g水和1.6kg的氧氣。計算溫度為21/11解：在500℃時，水變?yōu)樗羝?，容器?nèi)的壓強為pp1p2n1kTn2kT(n1n2)kT帶入已知條件可得p(0.931.63)6.0210231.3810237731.81032106.42105(Pa)2-7若使氫分子和氧分子的方均根速率等于它們在地球表面上的逃逸速率-111.210m·s），各需要多高的溫度？若等于它們在月球表面上的逃逸速率（2.43-1），各需要多高的溫度？10m·s3kgmol1，氧氣的摩