反比例函數(shù)題型的綜合提優(yōu)題

PAGE19-反比例函數(shù)題型的綜合提優(yōu)題第三講反比例函數(shù)典型題、?？碱}復(fù)習(xí)2學(xué)習(xí)目標(biāo)：能夠?qū)⒎幢壤瘮?shù)與其它知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系、綜合分析解決相關(guān)問題，能夠用反比例函數(shù)來解決實(shí)際問題重點(diǎn)難點(diǎn)：綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決反比例函數(shù)中的綜合問題，分析此類問題的切入點(diǎn)，積累解題經(jīng)驗(yàn)合作探究：典型例題講解一、反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題例1（2010四川達(dá)州）近年來，我國(guó)煤礦安全事故頻頻發(fā)生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是CO.在一次礦難事件的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)：從零時(shí)起，井內(nèi)空氣中CO的濃度達(dá)到4mg/L，此后濃度呈直線型增加，在第7小時(shí)達(dá)到最高值46mg/L，發(fā)生爆炸；爆炸后，空氣中的CO濃度成反比例下降.如圖11，根據(jù)題中相關(guān)信息回答下列問題：（1）求爆炸前后空氣中CO濃度y與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的自變量取值范圍；（2）當(dāng)空氣中的CO濃度達(dá)到34mg/L時(shí)，井下3km的礦工接到自動(dòng)報(bào)警信號(hào)，這時(shí)他們至少要以多少km/h的速度撤離才能在爆炸前逃生？（3）礦工只有在空氣中的CO濃度降到4mg/L及以下時(shí)，才能回到礦井開展生產(chǎn)自救，求礦工至少在爆炸后多少小時(shí)才能下井?圖11圖11【答案】.解：（1）因?yàn)楸ㄇ皾舛瘸手本€型增加，所以可設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為由圖象知過點(diǎn)（0，4）與（7，46）∴. 解得,∴,此時(shí)自變量的取值范圍是0≤≤7.(不取=0不扣分，=7可放在第二段函數(shù)中)因?yàn)楸ê鬂舛瘸煞幢壤陆担钥稍O(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為.由圖象知過點(diǎn)（7,46），∴.∴,∴，此時(shí)自變量的取值范圍是＞7.（2）當(dāng)=34時(shí)，由得,6+4=34，=5.∴撤離的最長(zhǎng)時(shí)間為7-5=2(小時(shí)).∴撤離的最小速度為3÷2=1.5(km/h).(3)當(dāng)=4時(shí)，由得,=80.5，80.5-7=73.5(小時(shí)).∴礦工至少在爆炸后73.5小時(shí)能才下井.例2、（反比例函數(shù)新穎題）某小學(xué)為每個(gè)班級(jí)配備了一種可以加熱的飲水機(jī)，該飲水機(jī)的工作程序是：放滿水后，接通電源，則自動(dòng)開始加熱，每分鐘水溫上升10oC，待加熱到100oC，飲水機(jī)自動(dòng)停止加熱，水溫開始下降，水溫y(0C)和通電時(shí)間x(min)成反比例關(guān)系，直至水溫降至室溫，飲水機(jī)再次自動(dòng)加熱，重復(fù)上述過程．設(shè)某天水溫和室溫為20oC，接通電源后，水溫和時(shí)間的關(guān)系如下圖所示，回答下列問題：（1）分別求出當(dāng)0≤x≤8和8＜x≤a時(shí)，y和x之間的關(guān)系式；（2）求出圖中a的值；（3）下表是該小學(xué)的作息時(shí)間，若同學(xué)們希望在上午第一節(jié)下課8：20時(shí)能喝到不超過40oC的開水，已知第一節(jié)下課前無人接水，請(qǐng)直接寫出生活委員應(yīng)該在什么時(shí)間或時(shí)間段接通飲水機(jī)電源．（不可以用上課時(shí)間接通飲水機(jī)電源）時(shí)間節(jié)次上午7:20到校7:45~8:20第一節(jié)8:30~9:05第二節(jié)…………反比例函數(shù)與翻折結(jié)合問題例1．如圖，四邊形OABC是面積為4的正方形，函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求k的值；（2）將正方形OABC分別沿直線AB、BC翻折，得到正方形MABC′、NA′BC．設(shè)線段MC′、NA′分別與函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)E、F，求線段EF所在直線的解析式．例2．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AOBC是矩形，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，3），反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象與矩形AOBC的邊AC、BC分別相交于點(diǎn)E、F，將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上．（1）求證：△AOE與△BOF的面積相等；（2）求反比例函數(shù)的解析式；（3）如圖2，P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，－3），在反比例函數(shù)y＝的圖象上是否存在點(diǎn)M、N（M在N的左側(cè)），使得以O(shè)、P、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．三、反比例函數(shù)中的探究性問題例1（2010山東省德州）●探究(1)在圖1中，已知線段AB，CD，其中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．第1題圖1OxyDBA第1題圖1OxyDBAC②若C(-2，2)，D(-2，-1)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為__________；(2)在圖2中，已知線段AB的端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，求出圖中AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示），并給出求解過程．OxyDB第1OxyDB第1題圖2A當(dāng)其端點(diǎn)坐標(biāo)為A(a，b)，B(c，d)，AB中點(diǎn)為D(x，y)時(shí)，x=_________，y=___________．（不必證明）●運(yùn)用在圖2中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)xyy=y=xxyy=y=x-2ABO第1題圖3①求出交點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】解：探究(1)①(1，0)；②(-2，)；(2)過點(diǎn)A，D，B三點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為A′D′B′OxyDBA，A′D′B′OxyDBA∵D為AB中點(diǎn)，由平行線分線段成比例定理得=．∴O=．xyy=yxyy=y=x-2ABOOP同理可得D點(diǎn)的縱坐標(biāo)是．∴AB中點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，)．歸納：，．運(yùn)用①由題意得解得或．∴即交點(diǎn)的坐標(biāo)為A(-1，-3)，B(3，1)．②以AB為對(duì)角線時(shí)，由上面的結(jié)論知AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，-1)．∵平行四邊形對(duì)角線互相平分，∴OM=OP，即M為OP的中點(diǎn)．∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，-2)．同理可得分別以O(shè)A，OB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)分別為(4，4)，(-4，-4)．∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)，坐標(biāo)分別是(2，-2)，(4，4)，(-4，-4)．例2（1）探究新知：如圖1，已知△ABC與△ABD的面積相等，試判斷AB與CD的位置關(guān)系，并說明理由．

（2）結(jié)論應(yīng)用：

①如圖2，點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)y=（k＞0）的圖象上，過點(diǎn)M作ME⊥y軸，過點(diǎn)N作NF⊥x軸，垂足分別為E，F(xiàn)，試證明：MN∥EF；

②若①中的其他條件不變，只改變點(diǎn)M，N的位置如圖3所示，請(qǐng)判斷MN與EF是否平行．

【答案】（1）證明：分別過點(diǎn)C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足為G，H，則∠CGA＝∠DHB＝90°．∴CG∥DH．∵△ABC與△ABD的面積相等，∴CG＝DH．∴四邊形CGHD為平行四邊形．∴AB∥CD．（2）①證明：連結(jié)MF，NE．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（x2，y2）．∵點(diǎn)M，N在反比例函數(shù)（k＞0）的圖象上，∴，．∵M(jìn)E⊥y軸，NF⊥x軸，∴OE＝y(tǒng)1，OF＝x2．∴S△EFM＝，S△EFN＝．∴S△EFM＝S△EFN．由（1）中的結(jié)論可知：MN∥EF．②MN∥EF．課堂練習(xí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、若一次函數(shù)y＝2x－1和反比例函數(shù)y＝的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）已知點(diǎn)A在第三象限，且同時(shí)在兩個(gè)函數(shù)的圖象上，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（3）利用（2）的結(jié)果，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），且以點(diǎn)A、O、B、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)你直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．2、已知：如圖，正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A(3,2)（1）試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）根據(jù)圖象信息回答問題：在第一象限內(nèi)，當(dāng)x取何值時(shí)，反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值？（3）M(m,n)是反比例函數(shù)圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，其中0＜m＜3過點(diǎn)M作直線MN∥x軸，交y軸于點(diǎn)B；過點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C，交直線MB于點(diǎn)D．當(dāng)四邊形OADM的面積為6時(shí)，求過點(diǎn)M、A的一次函數(shù)解析式和求出線段MA的長(zhǎng)．能力提升1、（育才二模）⑴“三等分角”是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名問題，但數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，僅用尺規(guī)不可能“三等分任意角”.但對(duì)于特定度數(shù)的已知角，如90°角、45°角等，是可以用尺規(guī)進(jìn)行三等分的.如圖a，∠AOB＝90°，我們?cè)谶匫B上取一點(diǎn)C，用尺規(guī)以O(shè)C為一邊向∠AOB內(nèi)部作等邊△OCD，作射線OD，再用尺規(guī)作出∠DOB的角平分線OE，則射線OD、OE將∠AOB三等分.仔細(xì)體會(huì)一下其中的道理，然后用尺規(guī)把圖b中的∠MON三等分（已知∠MON＝45°）.（不需寫作法，但需保留作圖痕跡，允許適當(dāng)添加文字的說明）圖b圖b圖a⑵數(shù)學(xué)家帕普斯借助函數(shù)給出了一種“三等分銳角”的方法（如圖c）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標(biāo)系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，以P為圓心、2OP長(zhǎng)為半徑作弧交圖象于點(diǎn)R.分別過點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB＝∠AOB.要明白帕普斯的方法，請(qǐng)研究以下問題：①設(shè)、，求直線OM對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式（用含a、b的代數(shù)式表示）.圖c②分別過點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點(diǎn)Q.請(qǐng)說明Q點(diǎn)在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB＝∠AOB.圖c2.（2011江蘇鎮(zhèn)江常州）在平面直角坐標(biāo)系XOY中，直線l1過點(diǎn)A（1，0）且與y軸平行，直線l2過點(diǎn)B（0，2）且與x軸平行，直線l1與直線l2相交于點(diǎn)P．點(diǎn)E為直線l2上一點(diǎn)，反比例函數(shù)QUOTEy＝（k＞0）的圖象過點(diǎn)E與直線l1相交于點(diǎn)F．（1）若點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，求k的值；（2）連接OE．OF．EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）是否存在點(diǎn)E及y軸上的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M．E．F為頂點(diǎn)的三角形與△PEF全等？若存在，求E點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；反比例函數(shù)綜合題；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．專題：分類討論．分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中k=xy進(jìn)行解答即可；（2）當(dāng)k＞2時(shí)，點(diǎn)E．F分別在P點(diǎn)的右側(cè)和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點(diǎn)G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S△FPE=QUOTEk2﹣k+1，根據(jù)S△OEF=S矩形OCGD﹣S△DOF﹣S△EGD﹣S△OCE即可求出k的值，進(jìn)而求出E點(diǎn)坐標(biāo)；（3）①當(dāng)k＜2時(shí)，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2=EB2+MB2，求出k的值，進(jìn)而可得出E點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)k＞2時(shí)，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定