有理數(shù)的加減法知識講解

有理數(shù)的加減法(提高)撰稿：吳婷婷審稿：常春芳【學習目標】掌握有理數(shù)加法的意義，法則及運算律，并會使用運算律簡算；掌握有理數(shù)減法的法則和運算技巧，認識減法與加法的內(nèi)在聯(lián)系；熟練將加減混合運算統(tǒng)一成加法運算，理解運算符號和性質(zhì)符號的意義，運用加法運算律合理簡算，并會解決簡單的實際問題；掌握去括號和添括號法則，并能夠在計算中熟練應用.【要點梳理】要點一、有理數(shù)的加法定義：把兩個有理數(shù)合成一個有理數(shù)的運算叫作有理數(shù)的加法.法則：(1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加.絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.0和任何一個有理數(shù)相加，仍得這個有理數(shù).要點詮釋：利用法則進行加法運算的步驟：判斷兩個加數(shù)的符號是同號、異號，還是有一個加數(shù)為零，以此來選擇用哪條法則.⑵確定和的符號(是“+”還是“一”).(3)求各加數(shù)的絕對值，并確定和的絕對值(加數(shù)的絕對值是相加還是相減).運算律：有理數(shù)加法運算律加法交換律文字語言兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變符號語言a+b=b+a加法結(jié)合律文字語言三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變符號語言(a+b)+c=a+(b+c)要點詮釋：交換加數(shù)的位置時，不要忘記符號【高清課堂：有理數(shù)的加減382681有理數(shù)的減法】要點二、有理數(shù)的減法定義：已知兩個數(shù)的和與其中一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算，叫做減法，例如：(-5)+?=7,求？，減法是加法的逆運算.要點詮釋：(1)任意兩個數(shù)都可以進行減法運算.幾個有理數(shù)相減，差仍為有理數(shù)，差由兩部分組成：①性質(zhì)符號；②數(shù)字即數(shù)的絕對值.法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)，即有：.要點詮釋：將減法轉(zhuǎn)化為加法時，注意同時進行的兩變，一變是減法變加法；二變是把減數(shù)變?yōu)樗南喾磾?shù).如：要點三、有理數(shù)加減混合運算代數(shù)和我們把省略了加號的幾個有理數(shù)的和的式子叫做這幾個數(shù)的代數(shù)和.如(-20)+(+5)+(-3)+(+7)=-20+5-3+7去括號法則當括號前是“+”號時，去掉括號和它前面的“+”號，括號內(nèi)各數(shù)的符號都不改變.當括號前是“-”號時，去掉括號和它前面的“-”號，括號內(nèi)各數(shù)的符號都要改變.要點詮釋：(1)去括號法則，實質(zhì)要連同括號前的“+”或“-”同時去掉.(2)法則可簡記為去正不變，去負全變.添括號法則添上前面帶有“+”號的括號時，括號內(nèi)各數(shù)的符號都不改變.添上前面帶有“-”號的括號時，括號內(nèi)各數(shù)的符號都要改變.要點詮釋：(1)添括號時，括號前是“+”還是“-”是根據(jù)需要自己添上的.運用時要弄清括什么、括號前放“+”還是“-”、變號或不變號.無論是去括號還是添括號都是恒等變形不改變原式的值.【典型例題】類型一、有理數(shù)的加法運算計算：(1) (2)(4) (5)【思路點撥】(1)(2)屬于同一類型，用的是加法法則的第一條:；(3)(5)屬于同一類，用的是加法法則的第二條；(4)用的是法則的第三條.【答案與解析】解：(1)；(2)(3)(4)(5)【總結(jié)升華】絕對值不等的異號兩數(shù)相加，是有理數(shù)加法的難點，在應用法則時，一定要先確定符號，再計算絕對值.舉一反三：【高清課堂：有理數(shù)的加減法382681有理數(shù)的加法例2】【變式】計算：(1)-7+10； (2)(-)+(-7.3)；⑶1+(-2)； (4)7+(-3.8)+(-7.2)【答案】解：(1)原式=;(2)原式=；(3)原式=；原式=類型二、有理數(shù)的減法運算(1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3).【思路點撥】此題是有理數(shù)的減法運算，先按照減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，再按照有理數(shù)的加法進行計算.【答案與解析】本題可直接利用有理數(shù)的減法法則進行計算.解：(1)2-(-3)=2+3=5原式=0+3.72+(-2.72)+4=(0+4)+(3.72-2.72)=4+1=5原式=【總結(jié)升華】算式中的"+”或“-”既可以看作運算符號按法則進行計算，也可以看作是性質(zhì)符號按多重符號化簡進行計算.類型三、有理數(shù)的加減混合運算計算：(1)-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72；11-12+13-15+16-18+17；(3)；【答案與解析】解：(1)觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)-3.72與3.72互為相反數(shù)，把它們分為一組；4.18、-2.93與-1.25的和為0，把它們分為一組可使計算簡便.解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72=(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23=0+0-1.23=-1.23(2)把正數(shù)和負數(shù)分別分為一組.解：11-12+13-15+16-18+17=(11+13+16+17)+(-12-15-18)=57+(-45)=12仔細觀察各個加數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)兩個小數(shù)的和是-1，兩個整數(shù)的和是29,三個分數(shù)通分后也不難算.故把整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)分別分為一組.解：先把整數(shù)分離后再分組.解：注：帶分數(shù)中的整數(shù)與分數(shù)分離時，如果這個數(shù)是負數(shù)，那么分離得到的整數(shù)與分數(shù)都是負數(shù)，例如.【總結(jié)升華】計算多個有理數(shù)相加時，必須先審題，分析特點，尋找規(guī)律，然后再去計算.注意在交換加數(shù)的位置時，要連同符號一起交換.舉一反三：【變式】(1) (2)【答案】解：(1)(2)類型四、去括號和添括號下列各式中，去括號或添括號正確的是( )8-(10-21+5)=8-10-21+5-[5-(-1)]=-5-+1-2-7-+1=-(2-7)+(-1)15-3.25+20-1=15+(-3.25+20-1)【答案】D【解析】A、B兩項是去括號，而且括號前面是“-”，去掉括號，括號內(nèi)各數(shù)的符號都要改變，正確的是A.8-(10-21+5)=8-10+21-5；B.-[5-(-1)]=-5+-1；C、D為添括號，C項正確應為-2-7-+1=-(2+7)+(-+1)【總結(jié)升華】掌握去括號與添括號的原則，添括號時，括號前是'?！边€是“-”是根據(jù)需要自己添上的，括號內(nèi)括什么也是可以決定的.類型五、有理數(shù)的加減混合運算在實際中的應用出租車司機小李某天上午營運都是在東西走向的大街上進行的，如果規(guī)定向東為正，向西為負，他這天上午彳丁車里程(單位：千米)如下：-2，+5，-1，+10，-15，-3.將最后一位乘客送到目的地時，小李距出發(fā)地多遠？此時在出發(fā)東邊還是西邊？若汽車耗油量為m升/千米，這天上午小李共耗油多少升？若出租車起步價為8元，起步里程為3千米(包括3千米)，超過部分每千米1.2元.問小李今天上午共得出租款多少元？【思路點撥】第(3)小問行程+5,計算得8+(5-2)X1.2=10.4；同理行程+10計算得8+(10-3)X1.2=16.4；行程-15計算得8+(|-15|-3)X1.2=22.4【答案與解析】解：(1)-2+5-1+10-15-3=-6；小李距出發(fā)地6米，此時在出發(fā)西邊；(|-2|+|+5|+|-1|+|+10|+|-15|+|-3|=36(升)，則這天上午小李共耗油36升；由題意得，每次行車里程的出租款分別為8，10.4，8，16.4，22.4，8，則小李今天上午共得出租款為8+10.4+8+16.4+22.4+8=73.2(元).【總結(jié)升華】利用有理數(shù)的加減混合運算可以解決很多現(xiàn)實生活中的實際問題，這就需要我們認真觀察、大膽分析和設(shè)想.舉一反三：【變式】從王剛周日賣進某公司股票1000股，每股27元，下表為本周內(nèi)每日該股票的漲跌情況：星期四五六每股漲跌（與前一天比較）+4+4.5-1-2.5-6+2（1） 星期三收盤時每股是多少元？（2） 本周內(nèi)最高價每股是多少元？最低價是每股多少元？【答案】解：最初的股票每股為27元，貝上星期