橋梁設計理論第七講

第七講薄壁桿件的組合扭轉上二講分別討論了薄壁桿件的自由扭轉和約束扭轉，建立了相應的扭轉角微分方程。而實際工程中的桿件受扭時，扭轉角應該是自由扭轉和約束扭轉的綜合變形。即作用在截面上的扭矩（圖7-1）為自由扭轉剪應力（）形成的扭矩及約束扭轉剪應力（）形成的扭矩（或）的組合，亦即（或）以及開口截面（7-1-1）閉口截面（7-1-2）a)自由扭轉a)自由扭轉b)約束扭轉c)組合扭轉圖7-1第一節(jié)開口薄壁桿件組合扭轉的微分方程對于開口薄壁截面桿件自由扭轉和約束扭轉，分別取式（5-19）和式（6-27）代入式（5-1）有（7-2）上式對求導（見圖7-2a）），兩邊同時除以，得：（7-3）此式即為開口薄壁桿件扭轉角微分方程。式中：（7-4）稱為薄壁截面的彎扭特征。即截面自由扭轉剛度和約束扭轉剛度之比。而（7-5）為扭矩沿桿長的分布集度。第二節(jié)閉口薄壁桿件組合扭轉的微分方程對于閉口薄壁桿件，仍從式（7-1）出發(fā)，此時約束扭轉力矩以待定函數表示，即用式（6-44）代入，于是組合扭轉微分方程可表達為：渾貞赤趨寇強紅滅（寫7-配6秒）圓（斯7-哭1命）怠方程中包饑括兩個未黑知函數探及剖。現(xiàn)根據須靜力學條鬼件建立未粒知量擁及耕間的關系班，以便與彩式桂（濁7-擦6墻）聯(lián)立求閘解。間設自由扭諒轉與約束慣扭轉產生步的總剪力竿流為扎，它對扭盛轉中心的徒扭矩應等越于作用于揀截面的荷后載扭矩忠。即氣傲鞋憂恭打變匠蹄算（腿7-煎7襪）那根據虎克混定律并引刻用式朋（面6-只2臂），剪力概流可寫成荒：泥或除祥恭特謙燙這數嘴雨見靠扶散喜（禽7-勻8沿）穴而羊典級半竄鋼削恒肝凱欺潑少渡（朵7-脫9侵）攻（世6-1膨5中）拖上式對渴求導后代枕入式攻（患7-贏8灣），再將遇式律（舍7-鄉(xiāng)8量）代入式?。ù?-贈7播），積分突化簡得：堤暢汗獸途特蠶艦穩(wěn)（側7-1罷0仇）我其中痛：序炸雕嫌浩箏依額框旱托奏膊花（尋7-1厘1畏）植稱為截面口翹曲系數吸。交對于單室智截窯面華良對于多室購截所面歌敵而案為截面的缺極慣矩，已下同。辜式辜（繩7-1涼0茅）推導如區(qū)下：角由式壘（芳7-厲8旋）有逐：折進而由式疑（聚7-態(tài)9甲）有速：敏悼則式誠（挎7-尾8營）的第一繩項庭催閱嗓仆網越震沉跨（斷a度）美有式仗（爪6-1性3饅）有冒：分灶將其代入輝式婦（障a吹）得：昨住牙奇她止林緩南（繼7-1閃3撞）諷將式凳（愧7-1杠3泄）代入式歪（刑7-甚8敏）有：舟蔑壇煙輪凍枯（碎b裝）事又截面內礎剪應力聰與內力攏有如下關褲系：冠將式許（副b禾）代入后魂積分得：標技已各（控c造）謙又有式玉（劈5-4轎6梳）有：慶弟釋教信慶護更扣白登（呢d娘）步而憶消艇呆瑞消劍范證長躍侄坐必場類（撕e興）蘿將疫及式感（債d拋）、儉（包e影）代入式會（頂c攝）可得：故或其中：。勒若堂為骨的二次或趕二次以下膜的函數，返即有就，則由式耀（券7-1確0幕）可得：豐搬終真胸嫂昌衡（乳7-1背4格）獎（扒7-1高0灰）客將其代入經式輪（興7-膽6浙），便得像出閉口薄途壁桿件的陜扭轉變形贏微分方程株像澆州仰濃（栽7-1號5腿）膨（元7-浸6漢）稅其中咽：薄留沃撤妄鳳監(jiān)騾追狀鍋至潛巡（勞7-1褲6仿）催（杏7-慘4蔽）戚比較式傻（睬7-1演5駝）與式敵（利7-曠3辰）和式糕（罰7-1燕6夾）與式周（雪7-攻4彎）可以看灰出，對于構閉口截面級，可利用劍開口截面木的扭轉微候分方程的衫表達式，列而以崇代替遍即可。這饑一比擬關鉤系，對以談后直接根肝據開口截介面的變形予公式寫出堪閉口截面砍的變形公露式，頗為呼有用。織務必注意沉，對于閉絨口截面，仙盡管可以愛用滅代替即，從而直當接套用開訴口截面中奇關于扭轉槳角姓的微分方葵程，但因蜻閉口截面絡約束扭轉餓雙力矩要及扭轉力材矩家均與冰的導數有擔關，故由省式票（價7-1兆0占）有：型壯貝始幸湊襖階況（蘇7-1屬7助）肆第三狹節(jié)殿夠扭轉角微差分方程的慈初參數解反法虎扭轉角微致分方程式羨（失7-住3霉）及式艱（苗7-1軋5毛）為四階注常系數（蚊等截面）歸非齊次線革性方程，徒其解由齊栗次解和特夠解兩部分競組成，齊丘次解將有籃四個積分蠻常數，由砍問題的邊武界條件確誕定。斯一、開口噸薄壁桿件別扭轉角微障分方程的柳初參數解飾法牌先討論開怒口薄壁桿守件扭轉角針微分方程女式敬（母7-霧3啄）的解法荷。微分方偏程壟悠辱綠郵飄靈論番（小7-1區(qū)8損）踩（凝7-堂3劣）紹其齊次解遼為：恨新保象畝策咱（魚7-1閉9庭）春據此，不例難求得各醬階導數，培進而得到龜扭轉角的啄變化率替、約束扭沖轉雙力矩環(huán)、總扭矩社的表達式弊。祥盲療凳直博乏檔弦（呀7-2蛾0稠）鑰球柳吧孟其林（向7-21巾-康1檔）著猾譽秒舉池（托7-21遣-送2叼）脆帝伯槽向墨克蘇引早（阿7-2戀2籍）井式中積分倚常數暢、誤、架、籍可表達為參桿件在坐描標原點處同（塑=絞0芬）的扭轉象角（災）、扭轉牢角的變化盡率（冬）、雙力言矩（豐）及扭矩匙（饑）格的鼻捐函數。將佩=帶0輝代入式真（鍛7-1眼9滿）、任（魚7-2約0籃）、考（背7-2暢1歉）及宮（隨7-2政2猛）有：伐（避7-2摔3駕）附解此方程姜得：監(jiān)將其代入華式胃（推7-1羨9刪）～兵（寬7-2音2為），便得臥到以初參蟲數雪表達的增、愁、俘及例的解析式迫：展耗駁赤（闊7-2韻4暑）肉（呆7-1壘9虧）畫虧孫秘賣芬（需7-2慕5遙）捐（糾7-2見0裂）顏伍肺驚飄（槍7-2硬6史）沉（數7-2胃1僑）冤（惡7-2魚7館）戶-峰（挨7-2把2以）盈式中鋪仍為未定壁常數，可奧根據初始串值的物理綿意義，由蔽起始點（采=掀0突）邊界條炭件直觀確皂定。盛微分方程罷的特解，賢可根據作蹦用在桿件尼上的扭轉懇荷載形式詢，利用微銷分方程的鍵特征方程汽式，用待射定系數法賣求得。對黃于常見的羨荷載（錢圖墨7-浙2氣）包括集償中雙力矩芽，集中力施矩百，分布扭恨矩魔，特解可拔寫成一般惹的形式，塞即a)a)b)圖7-2敲（匙7-2都8暖）竭式中瓶、攔、袖、極及達均表示自霸計算截面包（洞）沿坐標途軸該的負方向塊量取的距院離，故式業(yè)（桐7-2濕8卻）為蔬的線性函果數。式碌（緊7-2哀8賄）對作求導，得按到扭轉率偉、雙力矩泳和扭矩的腎特解如下炒：己（涉7-2煩9終）孫（賊7-3困0寫）已（號7-3時1陶）漆微分方程灶的通解則喜為：伏（籌7-3售2擊）丙將式勸（箏7-2綿4犧）構～澡（罪7-2錯7邀）格及式式（竭7-2雀8拋）似～惡（稿7-3竭1棒）蠟代入式刪（尚7-3忌2盲）占，即得到先開口薄壁燭桿件扭轉吊變形的最前后解答式揭。超對于薄壁于桿件扭轉泳的具體問媽題，先按究實際作用骨的荷載，席列出式殃（箏7-3祥2希）粉，由于通紫常情況下捐荷載沿桿搭件縱向是惠不連續(xù)的帖，故式中袋必須是分式段表達（興見本講算斗例），然吃后根據邊咸界條件求惕解初始參蠅數，再由別式撒（躍7-3漫2促）霸計算任意汪截面的扭淚轉角照，扭轉率舟，雙力矩葵和扭矩貿。疲容易看出沸，這里介壤紹的初參紅數法與梁墳彎曲理論罪的初參數各法是相似叫的。怒二、閉口安薄壁桿件姿扭轉角微權分方程的踩初參數解悉法已對于閉口近薄壁桿件病，由于其缺扭轉角微質分方程式晌（摩7-1級5映）漲與開口薄克壁桿件扭凡轉角微分冤方程式久（驕7-尺3米）相似，錯在數學問左題上屬于子同一類問悔題，故式害（熄7-1晝5屬）的齊次相解，與開驕口薄壁桿根件的具有剩相同的形以式。由于雁閉口薄壁更桿件的縱款向位移、產雙力矩、枕扭矩等都美與函數姿的導數有像關（見式蒸（怖6-3工1多）、藏（推6-3選4鞋）、雄（勸6-4撇4般）同）成,基因此，對撲應于式瘦（果7-2裂9優(yōu)）～修（殲7-3義1潮），引入彼閉口薄壁要桿件的畫函數，由得式靠（柱7-1丙0嘗）及式掉（苗7-1刃7續(xù)），考慮史微分方程逐的齊次解尸（腳）時，累與函數礦間有如下梯的關系：都即匙糖事霜獎攔淡（蜜7-3頭3范）皇（勢7-1答0叨）輪（故7-1改7窯）胖于是仿照兩（時7-2處4灑）倚-犁（福7-2旅7?。┑耐茖Ы兀傻玫绞]口薄壁目桿件扭轉鎮(zhèn)角微分方候程的齊次賊解，這格時式中的厭系數與取式謊（狡7-1抬6僻）的形式厚。群底伸（辯7-3職4嶼）璃（沒7-2辟4析）宮匙遠信（赤7-3甚5誤）呈（控7-2遲5名）脫坑峰甚盤（免7-3造6掩）滅（匹7-2雷6帳）兆會案踩佳商取掉聾效（榨7-3幫7護）符（嫂7-2多7街）恢由式趕（遍7-2示4宏）～末（攀7-2減7戚）與式扒（碎7-3捆4震）尾-撞（渾7-3蛇7舊）可以看鴉出，閉口滑薄壁桿件體的齊次解牛，可由開史口薄壁桿毅件的對應濁齊次解，瓦以慮代替青得到。摸對于盡圖忙7-山2而所示各種姥荷載形式匯的特解，撞上述代換鴿也是適用晨的，故有究：仰（饅7-3割8潮）朋（柏7-2剩8儀）洞拖幫（點7-3斃9代）景（棵7-2友9康）峰臣清（協(xié)7-4熟0侮）急（地7-3戰(zhàn)0剪）灣理在茶印賄島傻（默7-4之1質）堪（窮7-3策1懶）漿同樣，微殿分方程式胞的通解則脈為：MACROBUTTONMTEditEquationSection2候軋該刃章裳衣SEQMTEqn\r\hSEQMTSec\r1\hSEQMTChap\r1\h拌累劫秀適紙挨臉（領7-4掙2冒）筑（幼7-3漿2些）毒第四犁節(jié)份獲邊界條件聚組合扭轉儉微分方程鋤的通解式清（雹7-3非2植）或式挽（郊7-4沃2澇）中的初押始參數焦需由具體于問題的邊概界條件定慰出。對于葡工程中常訓見的情況把，邊界條相件可歸結糠為驗表墊7-柜1憂?？?裁、簡支端幼如比圖中7-者3濾所示，表冶示桿端扭魚轉被完全偉約束（午=冬0影），但允火許其自由餡翹曲，相絨應的邊界賤條件為昆=0疑a)構造b)圖示c)圖示圖7-3a)構造b)圖示c)圖示圖7-3需2責、固定端乏表示桿件墾的支座完著全阻止了毅截面的扭折轉（琴=撒0煉）和翹曲誤（盞=凱0彼），如大圖護7-確4提所示，相爽應的邊界遭條件為：纏=0榴a)構造a)構造b)圖示圖7-4葵3滾、自由端慘即桿端截揀面無任何婆約束，可我以自由變修形，其扭與轉角、翹伶曲位移均仿不為零。關4草、中間支稀承蒸當桿件具鉛有中間支覽承時，相廊應的扭轉挽受到約束勿=胖0揪，桿件在第此截面左輩右的內力鼓及變形相翻等。項現(xiàn)將開口矮和閉口薄振壁桿件的究邊界條件扒，分別列漢于夸表析7-1狼開口和閉慚口薄壁桿盒件的邊界椒條盆件濟列習表河7-1土支承情況找開口截面洞閉口截面斃簡支端碧自由端薪固定端首中間支承掀截面變化霉處帖第五揪節(jié)騎舊算鹿箏今例肚[腥例剪7-1]敗都圖椒7-愚5涂所示兩端掘簡支桿，騾=20層m棍，跨中承螺受集中扭違矩亂=200敏0kN蹄m葬作用。分丸別計算鼻（妄1五）工字型堵截面；回（帖2冤）單室雙刻箱截面發(fā)姥生扭轉時紛的應力全。截面尺范寸參見第碎五講恢圖葬5-夫8壯。b)單位：b)單位：圖7-51010a)(單位：m)c)單位：d)單位：[解]奮一、工字悲型截面魂1龍、邊界條埋件打由桿件的鋒對稱性可餓知豐,橡桿端約束曬反力均為岸，方向如邊圖訓7-5澡a然）所示。頑由密表雄7-筐1弊可知，簡瓶支端的邊喇界條件為戴：時筍描燙（思a肥）時謎殖沿（籍b用）常2項．計算截桂面的抗扭魚特性祥由第五講蹦例雪5-居1鄙和第六講立例刪6-腹1執(zhí)知：（c）撈翅做（打d鄉(xiāng)）查3慰．計算內樂力雙力矩使培萬（夏e士）縣將式近（華b安）中幟、馬代入式牲（局e兆）有：則謀陶序（途f把）碑由式蘋（榨e唯）知，當兼時，有：煌筆脊（稀g夜）當時，詞奧驢（艱h很）懼則也取得最大紹值。并將鞭值代入，肥則狹孔填特（薄k銜）紗雙力矩分白布圖如富圖聯(lián)7-5單b普所示。掠將式灑（驕g快）軌,伸（央h深）分別代拆入約束扭棗轉力矩新得：毅礦遣腐（餅l烈）（m）蠅于是，當身時，左右論截面得扭極轉力矩為攜：狂示包（通n比）蒙而注=班0國時，鎖同樣，當斯時湊約束扭轉陳力矩得分費布如倆圖劈7-5濟c異）所示。字自由扭轉腳力矩補，則骨自由扭轉逢力矩場分布圖如杰圖衛(wèi)7-5沙d軍）所示。錢4弊、應力計貫算介約束扭轉源正應力脅在截面內富為癢的影響函渾數（或稱煎分布函數泉），觀察陡第六講宜圖疏6-3嫁b郊）可知，坦最大值發(fā)逼生在四個撇角上（剝）豈,鴿相應的森，又有第螺六講鄉(xiāng)例料6-益1駁已知燕，故嘴據此作且圖，如斜圖團7-6彩b史）所示25252525250.430.43a)b)圖7-6豈約束扭轉嫌剪應力殺或慢。兵由上式可臨見，辰為勝的影響函土數，觀察穴圖稈6刃-離4悉c脫）習可知，勞最大值發(fā)佩生在翼緣疤的中部（氣、工點）相應貿的主扇形渠矩悶＝譽0.07編5寬（艷），故沖沿截面的瓶分布如圖孔7竄-啟7b統(tǒng)）所示。清二、單箱貓雙室截面彈1坐、桿件的怨邊界條件耀同式（郵a渣）、式（合b罪）。搏2門、閉口截拐面的翹曲夢系數派，而極慣貪矩：故塞其中幻系引用第趕六講例影6封-魔1視的計算結晚果。講3招、截面彎競扭特性非由第五講留例裂5禁-暢1榮及第六講灘6贏-臥1破知虹4新、內力計緣算默同開口截捧面一樣，件將式（抗7壽-以36隸），式（索7唱-呆40嶼）代入（穿7餐-倒42轉）后，利閃用邊界條敘件旁得到：劍將數據代叛入，則由有：況雜沫（認）（）湖于是，當慶時，截面疑左右的扭鼓轉力矩：差搞盾（所q剃）飽、品分布圖如卷圖膠7-5頃b仆）棵、冤c弟）所示，移圖中括號背內的數字巷即為單箱量雙室截面姿的數值。胸5涼、應力計歲算偵翹曲正應醋力服翹曲剪應垃力塘其中黃、膝、菜、喜的數值均波取自第六恨講滿例猛6-馳1榆。倒及患分布圖如噴圖掘7-秋6脾和茄7-還7肅所示。2.52.52.5b)圖圖7-70.26縱向預應力筋縱向預應力筋0.26縱向預應力筋縱向預應力筋1.07縱向預應力筋縱向預應力筋0.88縱向預應力筋縱向預應力筋a)圖縱向預應力筋縱向預應力筋0.8