第6講高一學科素養(yǎng)能力競賽三角函數(shù)圖象與性質專題訓練

第6講高一學科素養(yǎng)能力競賽三角函數(shù)圖象與性質專題訓練【題型目錄】模塊一：易錯試題精選模塊二：培優(yōu)試題精選模塊三：全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題精選【典例例題】模塊一：易錯試題精選【例1】已知函數(shù)，給出下列結論：①的最小正周期為：

②是奇函數(shù)：③的值域為；

④在上單調遞增．其中所有正確結論的序號是（

）A．①② B．③④ C．①③④ D．②③④【答案】C【分析】①，畫出函數(shù)圖象可以判斷最小正周期；②，利用定義判斷奇偶性；③，配方后求出最值，求出值域；④代入檢驗判斷單調性.【詳解】，畫出函數(shù)圖象如下：顯然的最小正周期為，①正確；，故，且，所以是非奇非偶函數(shù)，②錯誤；，因為，所以在取得最大值，，當時，取得最小值，，所以的值域為，③正確；當時，，由復合函數(shù)單調性知單調遞增，④正確.故選：C【點睛】關鍵點點睛：本題解題關鍵是作出函數(shù)的大致圖象，數(shù)形結合分析，考查了學生轉化與化歸的能力.【例2】若函數(shù)f（x）同時滿足：①定義域內任意實數(shù)x，都有；②對于定義域內任意，當時，恒有；則稱函數(shù)f（x）為“DM函數(shù)”.若“DM函數(shù)”滿足，則銳角的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據給定條件，確定函數(shù)具有的性質，借助性質脫去法則“f”即可求解作答.【詳解】由①知，，由②知，在定義域內單調遞增，，依題意，，即，整理得：，而，，不等式成立，于是得，所以銳角的取值范圍為.故選：B【點睛】結論點睛：函數(shù)的定義域為D，，存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關于點對稱.【例3】設函數(shù)，已知在上單調遞增，則在上的零點最多有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】A【分析】先求出函數(shù)的單調區(qū)間，根據題意得出參數(shù)的范圍，設，則，由，得出函數(shù)在上的零點情況出答案.【詳解】由，，得，，取，可得.若在上單詞遞增，則，解得.若，則.設，則，因為所以函數(shù)在上的零點最多有2個.所以在上的零點最多有2個.故選：A【例4】已知函數(shù)，現(xiàn)給出下列四個結論：①為偶函數(shù)；②的最小正周期為；③在上單調遞增；④在內有2個解．其中正確結論的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】①利用函數(shù)的奇偶性判斷即可.②由可知.③利用復合函數(shù)的單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減.④數(shù)形結合判斷即可.【詳解】因為的定義域為R，，所以為偶函數(shù)，①正確．由，可得的最小正周期為，②錯誤．當時，函數(shù)單調遞增，值域為，當時，函數(shù)單調遞增，故在上單調遞增．當時，函數(shù)單調遞增，值域為，當時，函數(shù)單調遞減，故在上單調遞減，③錯誤．，則，，或，．當時，，有兩個解，，無解，故在內有2個解，④正確．故選：B.【點睛】本題利用復合函數(shù)，綜合考察三角函數(shù)的基本性質，屬于難題.在判斷函數(shù)的奇偶性時需注意先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱.【例5】已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，給出下列三個結論：①在區(qū)間上有且僅有2條對稱軸；②在區(qū)間上單調遞增；③的取值范圍是.其中正確的個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】對于③，令，得，可知，求得；對于①，利用的對稱軸為可判斷；對于②，利用利用的增區(qū)間為可判斷；【詳解】對于③，，，令，得，由函數(shù)在區(qū)間上有且僅有2個不同的零點，即取得0，，所以，解得，故③正確；對于①，當，，由，知，令，由于值不確定，所以不一定取到，故①錯誤；對于②，當時，，由，知即，即在區(qū)間上單調遞增，故②正確；所以正確的個數(shù)為2個.故選：C【例6】（多選題）已知函數(shù)（）在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，給出下列四個結論，正確的是（

）A．在區(qū)間上有且僅有個不同的零點B．的最小正周期可能是C．的取值范圍是D．在區(qū)間上單調遞增【答案】BC【分析】根據三角函數(shù)對稱軸情況可得的取值范圍，進而判斷各選項.【詳解】解：由函數(shù)（），令，，則，，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有條對稱軸，即有個整數(shù)符合，由，得，即，則，，，，即，，C正確；對于A，，，，當時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；當時，在區(qū)間上有且僅有個不同的零點；故A錯誤；對于B，周期，由，則，，又，所以的最小正周期可能是，故B正確；對于D，，，又，又，所以在區(qū)間上不一定單調遞增，故D錯誤；故選：BC．【例7】（多選題）設函數(shù)，已知在上有且僅有4個零點，則（

）A．的取值范圍是B．的圖象與直線在上的交點恰有2個C．的圖象與直線在上的交點恰有2個D．在上單調遞減【答案】AB【分析】對于A,確定，根據零點個數(shù)確定，求得參數(shù)范圍；對于B，C，采用整體代換思想，結合余弦函數(shù)的圖象和性質即可判斷；對于D，當時，確定，計算的范圍，從而確定在上單調性.【詳解】當時，，因為在上有且僅有4個零點，所以，解得，故A正確；又由以上分析可知，函數(shù)在上有且僅有4個零點，且，則在上，出現(xiàn)兩次最大值，此時函數(shù)的大致圖象如圖示：即在上兩次出現(xiàn)最大值1，即取時，取最大值，故的圖象與直線在上的交點恰有2個，故B正確；由于當時，，，當時，取最小值，由于是否取到不確定，故的圖象與直線在上的交點可能是1個或2個，故C錯誤；當時，，因為，所以，，故的值不一定小于，所以在上不一定單調遞減.故選：AB.【點睛】本題考查了復合型余弦函數(shù)的解析式中參數(shù)的確定以及零點以及最值和單調性問題，綜合性強，計算量大，解答時要能綜合應用三角函數(shù)的相關知識靈活解答，關鍵是整體代換思想的應用.【例8】（多選題）設函數(shù)，若在有且僅有5個最值點，則（

）A．在有且僅有3個最大值點B．在有且僅有4個零點C．的取值范圍是D．在上單調遞增【答案】ACD【分析】令，利用圖像逐項分析最值點、零點個數(shù)，單調性即可.【詳解】，，，令，，畫出圖像進行分析:對于A選項：由圖像可知：在上有且僅有這3個最大值點，故A選項正確；對于B選項：當，即時，在有且僅有個零點；當，即時，在有且僅有個零點，故B選項不正確；對于C選項：在有且僅有個最值點，，，的取值范圍是，故C選項正確；對于D選項：，，，由C選項可知，，，在上單調遞增，故D選項正確.故選：ACD.【例9】（多選題）已知函數(shù)，，，在上單調遞增，則的取值可以是（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】AC【分析】根據，可確定，即可確定的取值情況，然后結合在上單調遞增，進行驗證即可確定答案.【詳解】函數(shù)，,則①,又，則是函數(shù)的一個對稱中心，故②,兩式相減得：，在上單調遞增，則,則，故的取值在1,3,5,7,9,11之中；當時，，，故，此時若，在單調遞增，符合題意；當時，，，不符合題意；當時，，，故，此時，因為，則，若，在單調遞增，符合題意；當時，，，故，此時，，故在上不單調，不符合題意；故選：AC【例10】已知函數(shù).①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域為；④函數(shù)的值域為.其中正確的結論序號為___________.【答案】①③【分析】對于選項①②.利用函數(shù)奇偶性的定義,即可判斷,對于選項③④,先利用三角函數(shù)的和差公式以及倍角公式化簡,再通過換元,轉化為二次函數(shù)最值問題即可.【詳解】解:因為,所以函數(shù)定義域關于原點對稱,又,故函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確,②錯誤.,令,,所以,所以,函數(shù)的值域為,所以③對,④錯.故選:①③.【例11】已知函數(shù)，若且在區(qū)間上有最小值無最大值，則_______．【答案】4或10##10或4【分析】根據可求出f(x)的一條對稱軸，根據該對稱軸可求出ω的表達式和可能取值，結合y＝sinx的圖像，根據在區(qū)間上有最小值無最大值判斷ω的取值范圍，從而判斷ω的取值.【詳解】∵f(x)滿足，∴是f(x)的一條對稱軸，∴，∴，k∈Z，∵ω＞0，∴.當時，，y＝sinx圖像如圖：要使在區(qū)間上有最小值無最大值，則：或，此時ω＝4或10滿足條件；區(qū)間的長度為：，當時，f(x)最小正周期，則f(x)在既有最大值也有最小值，故不滿足條件.綜上，ω＝4或10.故答案為：4或10.【例12】設函數(shù)，.若方程在上有4個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是___________.【答案】【分析】，令，則，由題意，原問題等價于在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，由一元二次方程根的分布即可求解.【詳解】解：，令，則，當時，有兩個不相等的實數(shù)根，當時，有且僅有一個實數(shù)根，因為方程在上有4個不相等的實數(shù)根，所以原問題等價于在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)根，所以有，解得，故答案為：.【例13】若函數(shù)的最大值和最小值分別為M、m﹐則函數(shù)的圖像的對稱中心是_________．【答案】(，1)##(0.5，1)【分析】對函數(shù)進行化簡，結合奇偶性考慮最值，可求出，從而可得函數(shù)為定值可求g(x)的對稱中心﹒【詳解】函數(shù)，令，h(x)定義域為R關于原點對稱，且，是奇函數(shù)，若的最大值為，最小值為，則，∴，，，∴，∴當a＝1時，，∴g(x)關于(，1)中心對稱.故答案為：(，1).【例14】已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式與單調遞減區(qū)間；(2)已知在時，求方程的所有根的和.【答案】(1)，，(2)【分析】（1）將函數(shù)變形為，由函數(shù)的周期及奇偶性可求解；（2）解方程得或，即或，利用正弦函數(shù)的性質可求解.(1)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，的最小正周期為，即可得，又為奇函數(shù)，則，，又，，故的解析式為，令，得函數(shù)的遞減區(qū)間為，.(2)，，，方程可化為，解得或，即或當時，或或解得或或當時，，所以綜上知，在時，方程的所有根的和為【例15】已知函數(shù)．(1)當時，恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)是否同時存在實數(shù)a和正整數(shù)n，使得函數(shù)在上恰有2021個零點？若存在，請求出所有符合條件的a和n的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)存在；當時，；當時，；當時，.【分析】（1）求得在區(qū)間上的值域，根據二次函數(shù)在區(qū)間上恒成立問題的等價轉化，即可求得的不等關系，求解即可；（2）根據題意，對參數(shù)進行分類討論，(1)當時，，，則要使對任意恒成立，令，則對任意恒成立，只需，解得，實數(shù)的取值范圍為．(2)假設同時存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在上恰有2021個零點，即函數(shù)與直線在上恰有2021個交點，故數(shù)形結合分類討論如下：①當或時，函數(shù)與直線在上無交點；②當或時，函數(shù)與直線在上僅有一個交點，此時要使函數(shù)與直線在上有2021個交點，則；③當或時，函數(shù)直線在上有兩個交點，此時函數(shù)與直線在上有偶數(shù)個交點，不可能有2021個交點，不符合；④當時，函數(shù)與直線在上有3個交點，此時要使函數(shù)與直線在上恰有2021個交點，則；綜上所述，存在實數(shù)和正整數(shù)滿足條件：當時，；當時，；當時，.【點睛】本題考查三角函數(shù)值域的求解以及圖象的繪制、涉及恒成立問題的處理，以及函數(shù)零點問題的求解，屬綜合困難題.模塊二：培優(yōu)試題精選【例1】已知函數(shù)，以下結論正確的是（

）A．是的一個周期 B．函數(shù)在單調遞減C．函數(shù)的值域為 D．函數(shù)在內有6個零點【答案】C【分析】對于A，根據即可判斷；對于B，當將化簡，然后檢驗即可；對于C，求出函數(shù)在一個周期的值域，先求當，再求當?shù)闹涤蚣纯膳袛?；對于D，根據函數(shù)為偶函數(shù)，可通過區(qū)間上零點個數(shù)從而確定其零點個數(shù).【詳解】因為，所以A錯誤；當，，其中，不妨令為銳角，所以，所以，因為，所以B錯誤；因為是函數(shù)的一個周期，可取一個周期上研究值域，當，，，所以，即；因為關于對稱，所以當時，故函數(shù)在上的值域為，故C正確；因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以在區(qū)間上零點個數(shù)可通過區(qū)間上零點個數(shù)，由，在圖像知由2個零點，所以在區(qū)間上零點個數(shù)為4個，所以D錯誤．故選:C.【例2】已知函數(shù)在R上滿足，且時，對任意的，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設，按、分別探討函數(shù)的性質，借助圖象關系及已知列出不等式，求解作答.【詳解】令，當時，，若，則當時，，當時，，，函數(shù)的圖象是由的圖象向右平移個單位而得，顯然的圖象總在的圖象的上方，即恒成立，因此，若，當時，，因為奇函數(shù)，函數(shù)在R上的圖象，如圖，把的圖象向右平移個單位得的圖象，要，恒成立，當且僅當射線經平移后在射線及下方，于是得，則，綜上得，即，而，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：D【點睛】關鍵點睛：由一個函數(shù)經左右平移得另一函數(shù)，兩個函數(shù)式為不等式的兩邊的不等式恒成立問題，作出原函數(shù)圖象，借助圖象分析求解是解決問題的關鍵.【例3】已知函數(shù)的圖象關于對稱，且，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先對函數(shù)化簡變形，然后由題意可得，求得，再由可得，再利用誘導公式和二倍角公式可求得結果【詳解】因為，其中，，由于函數(shù)的圖象關于對稱，所以，即，化簡得，所以，即，所以，故選：C.【例4】已知函數(shù)在上有且僅有1個零點，則下列選項中b的可能取值為（

）A．0 B． C． D．4【答案】C【分析】先由題意得，在上有且只有一個解，再根據，的值域得到關于b的不等式，進而得到b的取值范圍【詳解】令，，由函數(shù)在上有且僅有1個零點，則方程，其中，有且只有一個解，從而的值域為有限區(qū)間，故必有，從而有的值域為，所以，即，從而可以選，故選項C正確．故選：C．【例5】已知，其中.若對一切的恒成立，且，則的單調遞增區(qū)間是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】利用輔助角公式，化簡得．根據對一切恒成立，可得當時函數(shù)有最大值或最小值，從而得出，．再由知，，進而得到，最后根據正弦函數(shù)單調增區(qū)間即可求得的單調遞增區(qū)間．【詳解】根據題意，可得，其中．對一切恒成立，當時，函數(shù)有最大值或最小值．因此，，解得，，，，從而取得到．由此可得，令，得，的單調遞增區(qū)間是，，．故選：B．【例6】已知函數(shù)，現(xiàn)有下列四個結論：①的最小正周期為；②；③的圖象關于直線對稱；④.其中所有正確結論的序號為(

)A．①③④ B．①②④ C．①③ D．②④【答案】A【分析】根據絕對值對函數(shù)圖像的影響，作出函數(shù)圖像，有圖像即可判斷①③；根據時f(x)的值域可判斷范圍，根據f(x)在的單調性，可比較的大小.【詳解】作出的部分圖象，如圖所示，由圖可知，的最小正周期是，且的圖象關于直線對稱，故①③正確；當時，，而，∴，故②錯誤；∵在上單調遞增，且，∴，故④正確.故選：A.【例7】（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關于點對稱B．的圖象關于直線對稱C．是奇函數(shù)D．有4個零點【答案】BD【分析】根據對稱性，利用公式，可得A，B的正誤，根據函數(shù)的圖象變換，構造新的函數(shù)，利用奇偶性的定義，可得C的正誤，根據零點的定義，三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質，可得D的正誤.【詳解】對于A，，故錯誤；對于B，，故正確；對于C，，令，則，故錯誤；對于D，由，則，解得，則有兩個解，因為，，，令，則，，由，則在內有兩個根，故正確.故選：BD.【例8】（多選題）已知函數(shù)，則下列結論正確的是（

）A．函數(shù)的圖像關于原點對稱B．函數(shù)在上單調遞增C．函數(shù)在上的值域為D．函數(shù)在上有且僅有3個零點【答案】BD【分析】根據奇函數(shù)的定義、余弦的二倍角公式，利用換元法、二次函數(shù)的性質、零點的定義逐一判斷即可.【詳解】對于A，的定義域為R．因為，所以，則函數(shù)的圖象不關于原點對稱，故A錯誤．對于B，，當，在上單調遞增，即，令，時，函數(shù)在上單調遞增，根據復合函數(shù)單調性，故B正確．對于C，當，即時，，則問題轉化為函數(shù)在上的值域，二次函數(shù)對稱軸方程為，故函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，當時，取得最大值為，當時，取得最小值為，故值域為，故C錯誤．對于D，令，即，解得或，當時，或或，故函數(shù)在上有3個零點，故D正確．故選：BD．【例9】（多選題）已知定義在R上的奇函數(shù)，當x∈[0，1]時，，若函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結論正確的有（

）A．的圖象關于對稱 B．C． D．有100個零點【答案】ABD【分析】由題設有、、，即關于對稱且是周期為4的奇函數(shù)，利用周期性求、、，判斷A、B、C；再畫出與的函數(shù)部分圖象，數(shù)形結合法判斷它們的交點情況判斷D.【詳解】由題設，，即，關于對稱，A正確；又，則，即是周期為4的奇函數(shù)，由，即，，B正確；，，故，C錯誤；綜上，與的函數(shù)部分圖象如下：當，過點，故時與無交點；由圖知：上與有1個交點；上的每個周期內與有兩個交點，共有個交點；而與且，即時無交點；當，過點，故時與無交點；由圖知：上與有3個交點；上的每個周期內與有兩個交點，共有個交點；而與且，即時無交點；綜上，共有個零點，D正確.故選：ABD【例10】（多選題）已知函數(shù)，下列關于此函數(shù)的論述正確的是（

）A．為函數(shù)的一個周期 B．函數(shù)的值域為C．函數(shù)在上單調遞減 D．函數(shù)在內有4個零點【答案】CD【分析】A選項，舉出反例即可；BD選項，從函數(shù)奇偶性和得到周期性入手，得到函數(shù)的圖象性質，得到零點和值域；C選項，代入檢驗得到函數(shù)單調性，判斷C選項.【詳解】選項A：因為，所以A錯誤；選項B、D：函數(shù)定義域為R，并且，所以函數(shù)為偶函數(shù)；因為，為周期函數(shù)，故僅需研究函數(shù)在區(qū)間上的值域及零點個數(shù)即可，因為時，；時，；當時，令，則，可得且僅一個零點；當時，令，則，可得且僅一個零點；所以函數(shù)的值域為且在上有4個零點．故選項B錯誤，選項D正確．選項C：函數(shù)在上，有，所以，則得函數(shù)在該區(qū)間上為單調減函數(shù)．故選項C正確．故選：CD．【例11】（多選題）已知函數(shù)，則（

）A．是周期函數(shù) B．在上單調遞增C．的值域為 D．的圖象關于直線對稱【答案】ABCD【分析】A、D應用誘導公式判斷、與是否相等即可判斷；B、C令，可得，結合二次函數(shù)、正弦函數(shù)的單調性研究的單調性，并確定值域范圍.【詳解】A：，故是周期函數(shù)，正確；令，則，在且上遞增，在且上遞減，且且，所以在一個周期內，在上遞增，在上遞減，而在上遞減，在上遞增，B：由時，則在上單調遞增，正確；C：由上分析知：的值域為，正確；D：，故的圖象關于直線對稱，正確.故選：ABCD【點睛】關鍵點點睛：應用換元法，結合二次函數(shù)、正弦型函數(shù)及復合函數(shù)單調性判斷的單調性和值域，代入驗證法判斷的周期性和對稱性.【例12】（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．的周期為 B．關于點對稱C．在上的最大值為 D．在上的所有零點之和為【答案】BCD【分析】對A，根據正弦與正切的周期判斷即可；對B，計算是否成立即可；對C，求導分析的單調性，進而求得上的最大值即可；對D，根據的對稱性與單調性，數(shù)形結合分析即可【詳解】對A，因為的周期為，的周期為，故的周期為，A錯誤；對B，因為，故關于點對稱，B正確；對C，因為導函數(shù)在上為減函數(shù)，且當時，，即，故在上，，單調遞增；在上，，；對D，分析在上的所有零點即圖象交點的橫坐標，又均關于對稱，故分析時的圖象即可.由C選項,在上單調遞增；在上單調遞減，又關于對稱，在上，為減函數(shù)，故可畫出在區(qū)間圖象交點有三對關于的對稱點，故零點和為,故D正確故選：BCD【例13】（多選題）已知函數(shù)，其中，，且滿足①；②；③在區(qū)間單調，則下述結論中正確的為（

）A． B．C．函數(shù)的圖象關于直線對稱 D．函數(shù)在區(qū)間單調遞增【答案】AB【分析】由①可得在處取得最值，由②可得關于對稱，由③可得，結合①②與題設條件可得，進而判斷選項【詳解】由得：，；由得：，；∴，.由在區(qū)間單調得：，，又，綜上可得，，，故AB正確；又函數(shù)的圖象關于點對稱，滿足在區(qū)間單調遞減.故CD錯誤；故選：AB【例14】（多選題）設函數(shù)，給出的下列結論中正確的是（

）A．當，時，為偶函數(shù)B．當，時，在區(qū)間上是單調函數(shù)C．當，時，在區(qū)間上恰有個零點D．當，時，設在區(qū)間上的最大值為，最小值為，則的最大值為【答案】ACD【分析】利用余弦型函數(shù)的奇偶性可判斷A選項；利用正弦型函數(shù)的單調性可判斷B選項；在時解方程，可判斷C選項；對實數(shù)的取值進行分類討論，求出的取值范圍，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，當，時，為偶函數(shù)，A對；對于B選項，當，時，，當時，，此時函數(shù)在區(qū)間上不單調，B錯；對于C選項，當，時，，當時，，由可得，解得，此時在區(qū)間上恰有個零點，C對；對于D選項，當，時，，因為，則，①若，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，則；②若時，即當時，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以，，，因為，則，，所以，；③若，即當時，函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，則；④若時，即當時，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，，因為，則，，所以，.綜上所述，，D對.故選：ACD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查三角函數(shù)基本性質的綜合，難點在于判斷D選項，要注意對實數(shù)的取值進行分類討論確定函數(shù)在區(qū)間上的單調性，求得、的值或表達式，結合三角函數(shù)的有界性來求解.【例15】已知函數(shù).①函數(shù)是偶函數(shù)；②函數(shù)是奇函數(shù)；③函數(shù)的值域為；④函數(shù)的值域為.其中正確的結論序號為___________.【答案】①③【分析】對于選項①②.利用函數(shù)奇偶性的定義,即可判斷,對于選項③④,先利用三角函數(shù)的和差公式以及倍角公式化簡,再通過換元,轉化為二次函數(shù)最值問題即可.【詳解】解:因為,所以函數(shù)定義域關于原點對稱,又,故函數(shù)為偶函數(shù).所以①正確,②錯誤.,令,,所以,所以,函數(shù)的值域為,所以③對,④錯.故選:①③.【例16】方程，的所有根的和等于2024，則滿足條件的整數(shù)m的值是___________.【答案】1009或1010##1010或1009【分析】構造函數(shù)，，分析探討函數(shù)性質，作出函數(shù)圖象，確定兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)計算作答.【詳解】方程，令函數(shù)，，函數(shù)圖象關于點對稱，函數(shù)的圖象也關于點對稱，其圖象如圖，區(qū)間關于數(shù)1對稱，函數(shù)，在的交點成對出現(xiàn)，它們關于點對稱，因方程在上所有根的和等于2024，因此，兩函數(shù)圖象在上有1012對關于點對稱的交點，則有或，解得或，所以滿足條件的整數(shù)m的值是1009或1010.故答案為：1009或1010【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數(shù)零點個數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個函數(shù)，作出這兩個函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點個數(shù).【例17】高斯是德國著名數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如．已知函數(shù)，函數(shù)，則下列命題正確的是__________．①函數(shù)是周期函數(shù)；

②函數(shù)的值域是；③函數(shù)的圖象關于對稱；

④方程只有一個實數(shù)根；【答案】②④【分析】先研究函數(shù)的奇偶性，作出函數(shù)的圖象，作出函數(shù)的圖象判斷①②的正確性，由特值判斷③的正確性，再分類討論判斷方程的根的個數(shù)得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為,，所以函數(shù)為偶函數(shù)，當時，；當時，；當時，；所以函數(shù)的圖象如圖所示，所以函數(shù)的圖象如圖所示，由函數(shù)的圖象得到不是周期函數(shù)，故選項①不正確；所以函數(shù)的值域是，故選項②正確；由，所以函數(shù)的圖象不關于對稱，故選項③不正確；對于方程，當時，，方程有一個實數(shù)根；當時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；當時，，此時，此時方程沒有實數(shù)根；故方程只有一個實數(shù)根，故選項D正確.故答案為：②④.【例18】函數(shù).(1)若，，求函數(shù)的值域；(2)當，且有意義時，①若，求正數(shù)的取值范圍；②當時，求的最小值.【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）當時，求得，令，令，，利用雙勾函數(shù)的單調性可得出函數(shù)在上的值域，即可得解；（2）①分析可知，可得出，分、兩種情況討論，化簡函數(shù)的函數(shù)解析式或求出函數(shù)的最小值，綜合可得出正實數(shù)的取值范圍；②令，則，可得出，分析可得出，利用雙勾函數(shù)的基本性質結合比較法可求得.(1)解：當時，，因為，則，令，則，可得，設，其中，令，則，令，其中，下面證明函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，任取、且，則，當，則，此時，當，則，此時，所以，函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，則，因此，函數(shù)在上的值域為.(2)解：因為，則，令，設，①若，必有，因為，則，當時，即當時，則，可得，合乎題意；當時，即當且時，則，合乎題意.綜上所述，；②令，則，則，令，下面證明函數(shù)在上單調遞減，在上為增函數(shù)，任取、且，則，，所以，，所以，，故函數(shù)在上單調遞減，同理可證函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，因為，則，且，所以，，又，，，由雙勾函數(shù)的單調性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為減函數(shù)，當時，，，，由雙勾函數(shù)性質可得，綜上所述.【點睛】關鍵點點睛：在求解本題第二問第2小問中，要通過不斷地換元，將問題轉化為雙勾函數(shù)的最值，結合比較法可得出結果.【例19】已知函數(shù)．(1)若，，求的對稱中心；(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)或;(2);(3).【分析】（1）由，可求得函數(shù)的最小正周期，進而確定參數(shù)的值，再由整體代換即可求得對稱中心；（2）由三角函數(shù)的平移變換求得的解析式，再由零點的定義確定參數(shù)的值，結合圖象可得的最小值；（3）將所給條件轉化為和的值域的包含關系，即可求得參數(shù)的取值范圍．(1)∵的最小正周期為，又∵，，∴的最小正周期是，故，解得，當時，，由，的對稱中心為；當時，，由，的對稱中心為；綜上所述，的對稱中心為或.(2)∵函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，∴.又∵是的一個零點，，即，∴或，解得或，由可得∴，最小正周期.令，則即或，解得或，；若函數(shù)在（且）上恰好有10個零點，故要使最小，須、恰好為的零點，故.(3)由（2）知，對任意，存在，使得成立，則，當時，，當時，，由可得，解得，故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題第（3）小問為不等式的恒成立問題，解決方法如下：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【例20】已知．(1)當時，求的值；(2)若的最小值為，求實數(shù)的值；(3)是否存在這樣的實數(shù)，使不等式對所有都成立．若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，的取值范圍為【分析】（1）先化簡，再代入進行求解；（2）換元法，化為二次函數(shù)，結合對稱軸分類討論，求出最小值時m的值；（3）換元法，參變分離，轉化為在恒成立，根據單調性求出取得最大值，進而求出的取值范圍.(1)，當時，(2)設，則，，，其對稱軸為，的最小值為，則；

的最小值為；則綜上，或(3)由，對所有都成立.設，則，恒成立，

在恒成立，當時，遞減，則在遞增，時取得最大值得,∴所以存在符合條件的實數(shù)，且m的取值范圍為【例21】已知函數(shù)，，.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用同角關系式及三角函數(shù)的符號可得，然后利用對數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)的性質即求；（2）由題可得，結合條件可得，然后利用正弦函數(shù)的性質可得，即求.(1)∵函數(shù)，∴，又，∴，∴，同理，∴，由，得，由，得，即，∴函數(shù)的定義域為；(2)∵，∴在區(qū)間上為增函數(shù)，∴，，∴，令，；解之得，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，，∴，解之得，，又，∴，∴.【例22】已知函數(shù)，則的最小正周期為___________；當時，的值域為___________.【答案】

【分析】先根據函數(shù)周期性的定義說明是函數(shù)的一個周期，在利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，從而證明是最小正周期；根據函數(shù)的單調性可求得最大值，再比較時端點處的函數(shù)值大小，即可求得答案.【詳解】因為，故為的一個周期,而當時，，由題意可知，令，得，故，，因為當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，故的最小正周期為π，且在上的最大值為，而，，故，故當時，函數(shù)的值域為,故答案為：；模塊三：全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題精選【例1】（2018吉林預賽）已知，則對任意，下列說法中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由得，所以該式不一定成立，sinx有可能是負數(shù)，所以選項A錯誤；.所以選項B正確；=表示單位圓上的點和（-2,0）所在直線的斜率的絕對值，數(shù)形結合觀察得到，所以選項C正確；，所以選項D正確.故答案為A【例2】（2018四川預賽）函數(shù)的最大值為（

）.A． B．1 C． D．【答案】B【解析】【詳解】因為，令，則，于是令，則.由知或1.因為，于是的最小值是，所以的最大值是.故答案為:B【例3】（2019全國競賽）對任意閉區(qū)間，用表示函數(shù)在上的最大值．若正數(shù)滿足，則的值為．【答案】或【詳解】若，,與條件不符，所以，此時，，于是存在非負整數(shù)，使得①，且①處至少有一處取到等號。當時，得或，經檢驗得或均滿足條件；當時，由于，故不存在滿足①的。綜上或?！纠?】（2016全國競賽）設函數(shù)，其中是一個正整數(shù)。若對任意實數(shù)，均有，則的最小值為【答案】16【詳解】由條件知，其中當且僅當時，取到最大值．根據條件知，任意一個長為1的開區(qū)間至少包含一個最大值點，從而，即．反之，當時，任意一個開區(qū)間均包含的一個完整周期，此時成立．綜上可知，正整數(shù)的最小值為．【例5】（2019全國競賽）函數(shù)的值域為（

）（表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)）.A． B．C． D．【答案】D【解析】【詳解】..下面的討論均視.（1）當時，；（2）當時，；（3）當時，；（4）當或時，；（5）當時，；（6）當時，；（7）當時，.綜上，.故答案為D【例6】（2021全國競賽）函數(shù)的最小正周期為____________．【答案】【解析】【詳解】解析：當時，，當時，，其中且，畫出圖象可得函數(shù)周期為．故答案為：.【例7】（2021浙江競賽）若，則函數(shù)的最小值為______.【答案】【詳解】令，,當且僅當即時取等號.故答案為：.【例8】（2015全國競賽）設是正實數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是【答案】【詳解】由知，，而，故題目條件等價于：存在整數(shù)，使得．①當時，區(qū)間的長度不小于，故必存在滿足①式．當時，注意到，故僅需考慮如下幾種情況：(i)，此時且無解；(ii)，此時;(iii)，此時,得．綜合(i)、(ii)、(iii)，并注意到亦滿足條件，可知．【例9】（2019江蘇競賽）已知函數(shù)的最小值為－6，則實數(shù)a的值為________.【答案】【解析】【詳解】令，則，∴，∴，當，時，函數(shù)的最小值為：，解得：，不合題意，舍去；當，時，函數(shù)的最小值為：，解得：，不合題意，舍去；當，時，函數(shù)的最小值為：，解得：，滿足題意.故答案為：．【例10】（2018全國競賽）已知函數(shù)在有最大值2.求實數(shù)的值.【答案】【解析】【詳解】注意到，.令.則.由，有以下兩種情形.（1）.由，知，矛盾.（2）.若，即時，；若，即時，，矛盾；若，即時，，矛盾.綜上，.【例11】（2007全國競賽）設函數(shù)。