環(huán)境流體力學第二章分子擴散

環(huán)境流體力學第二章分子擴散..第一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第1頁，共63頁。靜止的水體中存在分子的不規(guī)則運動，從而使在水中的微粒也作不規(guī)則的運動，這個現(xiàn)象早已在1826年為布朗的著名實驗證實。分子運動稱為布朗運動除了在靜水中，分子擴散是使污染物質發(fā)生擴散的唯一原因外，它還存在于一切流動的水體中。第一節(jié)費克定律一、費克定律費克（Fick）擴散（分子擴散）：由于水的分子運動而使水中的污染物質發(fā)生擴散第三節(jié)費克定律第二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第2頁，共63頁。費克定律：1855年德國生理學家費克（Fick）提出靜水中的污染物由于分子擴散作用，在單位時間內按一定方向通過單位面積的擴散輸送的物質與該方向的濃度梯度成正比。各向同性的介質。式中：Q是單位時間通過單位面積的擴散物質，也稱為通量；C是擴散物質的濃度。:x方向的濃度梯度。

D是比例系數(shù)，稱為分子擴散系數(shù)，量綱為[L2T-1]

一般約為10-6~10-5cm2·s-1

。x用等號一維費克擴散示意圖對一維擴散，費克定律可表示為：費克定律第一定律第三節(jié)費克定律公式中的負號第三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第3頁，共63頁。三維的費克定律:哈密頓算子說明：只要存在濃度梯度，必然產生物質的擴散費克定律第二定律一滴紅墨水在玻璃杯中的擴散分子的擴散系數(shù)D與介質與物質本身的特性有關，又與溫度和壓力有關。第三節(jié)費克定律第四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第4頁，共63頁。某些物質在水中的分子擴散系數(shù)（cm2·s-1，水溫為20℃）D值由實驗確定，D值大，擴散快；反之，擴散慢。第三節(jié)費克定律第五頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第5頁，共63頁。單位時間進入x面的擴散質通量為：Q(x,t)從(x+△x)面出去的通量為:

設c(x,t)是時刻t位于x處上擴散質（溶質）的濃度。在該控制體積內擴散質對時間的變化率為：第二節(jié)、分子擴散方程的推導(單純擴散）一維為例

第四節(jié)分子擴散方程一維輸移的控制體：兩個具有單位面積的平行面與x軸垂直變化量：第六頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第6頁，共63頁。

根據(jù)質量守恒定律有：單位時間流入的污染物質量-流出的污染物質=污染物質量對時間的變化率相等，即:Fick定律：如將Q(x,t)作為熱通量（即熱流密度），c(x,t)作為熱濃度（即溫度），以熱擴散系數(shù)a（或導溫系數(shù)）代替分子擴散系數(shù)D,變?yōu)闊醾鲗Ц道锶~方程。分子擴散與熱傳導是數(shù)學形式相同的兩個過程。二階線性拋物型偏微分方程第四節(jié)分子擴散方程第七頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第7頁，共63頁。推廣到三維：故有用直角坐標表示時變項分子擴散項擴散方程本質上是質量守恒定律在擴散問題上的體現(xiàn)第四節(jié)分子擴散方程Fick定律：第八頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第8頁，共63頁。在擴散特性各向同性的液體中，在x、y、z三個方向上，D為常數(shù)。在擴散特性各向異性的液體中第九頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第9頁，共63頁。第三節(jié)一維擴散方程的基本解

&擴散方程的定解條件（初始條件、邊界條件）。&解的形式：解析解、數(shù)值解。&污染源（按空間）：點源、線源、面源、有限分布源、不存在絕對的點源、無限長線源、無限大面源，只是一種近似處理。&污染源（按時間）：瞬時源、時間連續(xù)源（事故排放、正常排放）。&瞬時源是指污染物在瞬時內排放入水域，實際上一種近似，如熱核武器試驗的核污染或者油輪事故突然泄漏的油污染。&連續(xù)源又分為恒定和非恒定源。&污染物擴散：根據(jù)水域是幾維，對應一維、二維、三維擴散方程。第五節(jié)一維擴散方程的基本解第十頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第10頁，共63頁。第三節(jié)一維擴散方程的基本解

第五節(jié)一維擴散方程的基本解集中投入的情況，在t=0時刻，在原點瞬時投入質量為M的擴散質，分析以后任意時刻在無界空間中的濃度分布，這是擴散方程的最基本的解。是在靜止水域中的擴散，而且是瞬時集中源與坐標原點重合的一維擴散方程的特解。因為擴散方程是線性的，在線性的邊界條件下，可用這個特解式疊加來構造其他定解條件下的解。0x-x第十一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第11頁，共63頁。第三節(jié)一維擴散方程的基本解

第五節(jié)一維擴散方程的基本解瞬時單位平面源的擴散瞬時源：t=0時，在原點瞬時集中投放質量為M的擴散質。1、一根無限長斷面均勻的直水管，截面積是一個單位2、垂直管軸，瞬時投入一包含質量M的薄片紅色染液3、染液薄片充滿了整個斷面4、染料只沿長度方向擴散令染液投入點為坐標原點0x-x第十二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第12頁，共63頁。瞬時點源或稱瞬時無限平面源在無界空間的定解條件下的解析解。定解條件在數(shù)學上表達為：c(x,0)=M(x)

狄拉克（Dirac）函數(shù)當t=0時，在通過x=0處且與x軸垂直的平面上，污染物質量為M,它位于x=0處以無限大的濃度強度濃縮在無限小的空間（2）邊界條件：c(,t)=0,c(,t)/x=0（1）初始條件：一維分子擴散方程：1.定解條件第五節(jié)一維擴散方程的基本解M(x)表示質量M集中于微小容積內。相對概念。例如把一小桶顏色水傾注到大河里，可以認為起始濃度集中于微小體積內。物理含義：第十三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第13頁，共63頁。2.解析方法：如拉普拉斯變換、分離變量法和量綱分析法量綱分析，物理方程中各項物理量的量綱之間存在的規(guī)律：量綱和諧性，物理方程中各項的量綱應當相同；任一有量綱的物理方程可以改寫為無量綱項組成的方程而不會改變物理過程的規(guī)律性；物理方程中各物理量之間的規(guī)律性以及相應各量綱之間的規(guī)律性，不會因所選的基本量綱不同而發(fā)生改變。π定律（布金漢定律）：任何一個物理過程，包含有k+1個有量綱的物理量，如果選擇其中m個作為基本物理量，那么該物理過程可以由[(k+1)-m]個無量綱數(shù)所組成的關系來描述。第五節(jié)一維擴散方程的基本解第十四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第14頁，共63頁。式中:f為待定函數(shù)，在上式中寫上4π和4，目的是使最終的解較為簡明;M是全部污染物的質量，量綱是[M]假設有函數(shù)：F(c,M,D,x,t)=0方程線性

利用π定律，選c、D、t為基本變量，可得：從物理概念上分析，濃度c是M、D、x、t的函數(shù)第五節(jié)一維擴散方程的基本解一維擴散中，濃度的量綱[ML-1],濃度c應與M除以某一特征長度成正比。是一個合適的特征長度第十五頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第15頁，共63頁。

進一步令，有:

。邊界條件由原來的c(,t)=0,c(,t)/x=0f(∞)=0，df(∞)/dh=0以f的邊界條件代入上式得k1=0，故上式變?yōu)?第五節(jié)一維擴散方程的基本解設變量進一步令，有:即θ=常數(shù)k1,因此有：它的通解為：確定待定函數(shù)f第十六頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第16頁，共63頁。第十七頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第17頁，共63頁。為任何時刻源點濃度（坐標原點與源點重合的情況下）根據(jù)污染物質的質量守恒定律，有對上式分別通過求t→0、x→0和t→0（x≠0）的極限，可得到c=∞和c=0，這說明了該解也是滿足初始條件的。此外，上式雖然是對x≥0的定解條件求解，但也可用于x＜0情形。,推出k0=1第五節(jié)一維擴散方程的基本解第十八頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第18頁，共63頁。瞬時點源一維無界空間的濃度分布瞬時點源一維無界空間的濃度場在任一時刻t沿x軸是正態(tài)分布，隨時間t的增加，濃度的峰值Cm變小，而擴散的范圍變寬，分布曲線趨于平坦。第五節(jié)一維擴散方程的基本解濃度分布符合正態(tài)分布（即高斯分布）污染源點和坐標原點重合的情況第十九頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第19頁，共63頁。1、濃度對距離的各階矩定義零階矩一階矩 二階矩對原點的任意p階矩對瞬時點源來說，零階矩M0=全部擴散質的質量，對任意時刻M0是一常數(shù)，但一般情況下，矩都是時間的函數(shù)。各式的右端可供當具有實驗資料時，計算濃度各階矩之用。第四節(jié)濃度分布的各階矩第六節(jié)濃度分布的各階矩第二十頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第20頁，共63頁。2、濃度分布的統(tǒng)計特征值

（1）濃度分布的距離均值（數(shù)學期望）表示濃度分布曲線重心距x坐標原點的水平距離，當曲線對稱于c軸時x=0。（2）濃度分布的距離方差2

表示濃度分布對于平均濃度值的離散程度，2值愈大，分布曲線愈平坦。第六節(jié)濃度分布的各階矩質量中心坐標x第二十一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第21頁，共63頁。對于正態(tài)分布曲線（標準）有：將瞬時點源的解代入M2，得距離方差：當已求得，可用上式反求D。由于D是常數(shù)，將上式對t求導，有：稱為矩法公式，可以差分代替微分。對任何其它分布，只要在無界空間情況下滿足邊界條件：或仍存在上式表明方差與擴散歷時t成正比。凡符合這個規(guī)律的擴散，都稱為費克型擴散。第六節(jié)濃度分布的各階矩第二十二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第22頁，共63頁。曲線的分布區(qū)間[-2,2]占總面積的95%源與坐標原點不重合源與坐標原點重合[m-2s,m+2s]證明此結論第二十三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第23頁，共63頁。（3）三階中心矩表示曲線偏斜度：=0左右對稱;正態(tài)分布

>0左右不對稱，長尾伸向正軸方向；＜0，長尾伸向負軸方向。

=0>0＜0圖對濃度分布圖形的影響第六節(jié)濃度分布的各階矩偏態(tài)系數(shù)第二十四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第24頁，共63頁。（4）四階中心矩表示曲線峰態(tài)或平坦度的一個指標，值愈大表示峰型愈大。第六節(jié)濃度分布的各階矩第二十五頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第25頁，共63頁。2、對靜止和動水環(huán)境中射流的一些基本原理、基本規(guī)律的研究現(xiàn)狀。源與坐標原點重合時，濃度曲線的分布區(qū)間[-2s,2s]范圍內，分布曲線與x軸所圍面積占總面積的95%。1、證明此結論作業(yè)第二十六頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第26頁，共63頁。第五節(jié)一維擴散方程的若干定解條件下的解設只當t=0時在x=ξ處投放污染物質（瞬時點源）初始條件：c(x,0)=Mδ(x-ξ)邊界條件：c(±∞,t)=0

第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解如果示綜物質M不是集中到一處，而是非均勻地分布在一定范圍上同時瞬時投放，這就是瞬時投放源，這種情況可考慮為若干個瞬時集中源的迭加，按迭加原理求解。第二十七頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第27頁，共63頁?，F(xiàn)將初始條件改為：

c(x,0)=f(x),-∞<x<∞

其中f(x)為任意給定的函數(shù)，亦即該初始分布是沿無限長直線上給定的濃度為f(ξ)，dξ微小長度上投放示蹤質的質量為M=f(ξ)dξ。位于ξ處由該微小污染單元的擴散而導致在時刻t位于x的濃度應為:用一系列質量為f(ξ)dξ的團塊來求濃度分布第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解第二十八頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第28頁，共63頁。下面討論f(ξ)為常數(shù)的兩種特殊情況：單側階梯濃度函數(shù)的濃度分布1.當f(x)為階梯函數(shù)：該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截面管（渠）的靜水中，左端（x<0）充滿濃度為C0的污水體，在右端（x>0）為清水，現(xiàn)閘門突然打開，左邊的污染物質向右邊擴散。解的形式為：第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解t=0時第二十九頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第29頁，共63頁。

取變換式中：erf(z)為z的誤差函數(shù)，erfc(z)為z的余誤差函數(shù)，即第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解誤差函數(shù)的值可查誤差函數(shù)數(shù)值表或計算軟件得到第三十頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第30頁，共63頁。誤差函數(shù)的定義:

從而有：余誤差函數(shù)的定義:第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解第三十一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第31頁，共63頁。000誤差函數(shù)的計算是把被積函數(shù)展開為麥克勞林級數(shù)，然后逐項積分第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解第三十二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第32頁，共63頁。

取變換η=x-ξ,有該問題的物理模型可認為是在一條無限長的等截面渠（管）的靜水中，突然發(fā)生事故，在渠中出現(xiàn)一段污染源而向兩端擴散的情形。解的形式為：2.當f(x)為階梯函數(shù)：x=0x=x1x=-x1初始濃度分布圖第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解再取變換,有t=0時第三十三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第33頁，共63頁。雙側階梯濃度函數(shù)的濃度分布第七節(jié)一維擴散方程空間瞬時線源的解析解隨著增大，濃度分布曲線愈平坦化。第三十四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第34頁，共63頁。第六節(jié)一維擴散方程的時間連續(xù)源的解析解一、時間連續(xù)點源

在流場的某一點上，連續(xù)不斷地投入濃度為c0（常數(shù)）的污染物質，即時間連續(xù)恒定點源。如果一維擴散區(qū)域無限長，則可將投放點位置取為坐標原點，初始條件c(0,t)=c0在x=0處濃度突然從零增加到c0，以后保持不變，無限邊界條件c(±∞,0)=0初瞬時t=0，沿x軸各處的濃度均為零

本問題的解也是一個有用的基本解，可以用來構造其他某些問題的解。第八節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解1、點源處給定投放濃度第三十五頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第35頁，共63頁。第八節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解邊界條件為f(0)=1,f(±∞)=0,顯然有c(-x,t)=c(x,t),解對稱于原點，只需沿x正向求解。借助量綱分析法來求解濃度分布c(x,t)顯然，c與c0,D,x和t有關，利用π定理,選c、D和t為基本變量，可得如下關系式：式中：f是某一待確定的函數(shù)。令,有二階變系數(shù)齊次常微分方程代入擴散方程第三十六頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第36頁，共63頁。等強度連續(xù)點源的濃度分布1、點源處給定投放濃度問題的解第三十七頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第37頁，共63頁。

在任一時刻t總的濃度是t以前全部時段內濃度分布的總和，由上式通過積分可得的解：用于求解濃度c0(t)的迭加法第八節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解更一般的情形是c0不是常數(shù)，即不是時間連續(xù)恒定點源。而是c0隨時間t而變，即c0=c0(t)。則可以看作無數(shù)不同強度的瞬時源產生的擴散在時間上擴散的結果。當時間增加dt，位于x=0處的濃度增量為，由于濃度增量的關系，相應的擴散結果可借助上式表示為:第三十八頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第38頁，共63頁。由于是時間連續(xù)點源，故可得如果為常數(shù)，上式變?yōu)榈诎斯?jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解以下討論在x=0處，給定單位時間投入的污染物質量的速度(簡稱質量投放率)，即在dt時間投放質量為。此時，根據(jù)瞬時點源的解式可得在瞬時t投放質量的濃度場：2、點源處給定投放質量第三十九頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第39頁，共63頁。第六節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解時間連續(xù)點源的濃度分布污染的范圍和濃度均隨時間的增加而增大第八節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解通過數(shù)值積分進行計算第四十頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第40頁，共63頁。二、時間連續(xù)線源第八節(jié)一維擴散方程時間連續(xù)源的解析解全部分布連續(xù)源一維擴散產生的濃度應將上式幾分二次成為如果連續(xù)源不集中在原點，而是分布在沿x軸一定范圍如a≤x1

≤b之上，則加入的擴散質最一般的情況是時間和空間的函數(shù)，設f(x,t)為在單位時間內單位體積上投放的污染物質質量，在x=x處dx上，于時刻t在dt時間內加入擴散質的量為dM=f(x,t)dxdt，一維擴散經時間(t-t)在x處得濃度為：第四十一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第41頁，共63頁。第七節(jié)有界一維擴散和疊加方法

以上討論的全是無限空間的擴散，實際河渠或水庫湖泊都有岸和底存在，污染物質在河渠、水庫中擴散至邊界時，有兩種可能，一種是擴散物質到達邊界后被邊界吸收或粘結在邊界上，稱為完全吸收；另外一種情況是遇到邊界就反射回去，稱為完全反射。介于兩種狀態(tài)之間的為不完全吸收和不完全反射，這在實際中居多。顯然，吸收和反射與污染物性質和邊界的性質有關。當然，最不利的情況是發(fā)生完全反射。如果天然河岸是土壤，就不能看做是最不利的情況。

下面僅研究完全反射的情況。第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法第四十二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第42頁，共63頁。

討論最簡單的情況：當t=0時，在x=0處與x軸垂直的單位面積上，投放的污染物質量為M。在正方向的邊界為無窮遠，但在x=-L處有一阻止物質擴散的壁存在，并設該壁不吸收擴散物質（完全反射），則任意時刻通過該岸壁的示蹤量的凈通量為零。第七節(jié)有界一維擴散和疊加方法

對擴散被各種邊界所限制的問題，通常運用疊加原理來解決。因為擴散方程是線性的，如果邊界條件也是線性的，則可以疊加任意數(shù)量的單獨解，從而構成新的解。假設邊界為完全反射壁，即不吸收擴散物質。一、一邊反射的瞬時點源情形邊界條件：壁面上的濃度梯度必須是零，由費克定律得到:初始條件：第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法第四十三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第43頁，共63頁。第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法像源法：設想有一平面鏡位于固體邊界處，在平面鏡后面有一反射源（又稱像源），反射源到真源的距離x=-2L，像源的強度與真源的強度相同，標準差也相同，因而像源在邊界上的通量與真源在邊界上的通量大小相等，方向相反，故形成邊界上擴散物質的通量為零。第四十四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第44頁，共63頁。第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法真源與像源相距為2L，在x軸上任意點的濃度應該為由像源和真實源各自產生的濃度之和，即第四十五頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第45頁，共63頁。第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法一邊側壁的像源法對于完全反射的邊界，在反射壁邊界處的濃度等于不存在該壁時的兩倍。當x=-L時（即固體邊界上），其濃度為第四十六頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第46頁，共63頁。二、兩邊反射的瞬時點源情形在x=-L和x=L均有完全反射壁： 無窮多像源各自的濃度分布疊加便得到問題的解：兩面?zhèn)缺诘南裨捶ǖ诰殴?jié)有界一維擴散和疊加方法在x=-2L的像源的擴散又會在x=L處產生一個正的濃度梯度，需要在x=4L處放一個像源。

第四十七頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第47頁，共63頁。在岸壁處，即在x=±L處要求濃度為零，在x=±2L處必須放置強度為負值的瞬時源，在x=±4L處放置強度為正值的瞬時源，如此類推。完整解為第九節(jié)有界一維擴散和疊加方法另一種邊界條件在實際問題中，因河流較寬，L比較大，一般只考慮一、兩次反射就可以滿足實際需要，如n=0,±1，±

2。。第四十八頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第48頁，共63頁。第八節(jié)二維和三維擴散方程的解析解

一、瞬時點源二維擴散方程為：上式中的Dx和Dy分別為x和y方向的擴散系數(shù)，雖然在分子擴散中，Dx=Dy=D，但因為我們將來可以借用該方程的解來解決某具有非各向同性性質的紊流擴散問題，所以在這里以Dx≠Dy進行討論。第十節(jié)二維和三維擴散方程的某些解析解c(x,y,0)=M(x)(y)

（2）邊界條件：c(,y,t)=0,c(,t)/x=0c(x,,t)=0,c(,t)/y=0（1）初始條件：第四十九頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第49頁，共63頁。上式只有當兩個括號內的量分別等于零才能得到滿足，從而得到兩個一維擴散方程，它們的瞬時點源無界空間的解均具有擴散方程基本解的形式，將這兩個解相乘，就得到解答。利用“乘積法則”求解：則本問題的解可以表為c(x,y,t)=c1(x,t)c2(y,t)式中c1不依賴于y,c2不依賴于x，代入擴散方程，故有第十節(jié)二維和三維擴散方程的某些解析解當Dx=Dy=D時，上式變?yōu)椋涸趜軸上單位面積上的質量第五十頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第50頁，共63頁。對于一維擴散，濃度c的單位是單位長度的質量；對于二維擴散它是單位面積上的質量；對于三維擴散則是單位體積內的質量。第五十一頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第51頁，共63頁?？蓪ⅰ俺朔e法則”求解的方法推廣到瞬時點源無界空間的三維擴散。三維擴散方程為：當Dx=Dy=Dz=D時，r2=x2+y2+z2,有第十節(jié)二維和三維擴散方程的某些解析解r是自點源起算的距離。在處上式指數(shù)為0.01，即這里的濃度等于原點瞬時濃度值的百分之一。初始條件：c(x,y,z0)=M(x)(y)(z)

第五十二頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第52頁，共63頁。二、瞬時無限長線源瞬時無限長線源情形第十節(jié)二維和三維擴散方程的某些解析解一個瞬時無限長線源是沿一無限長直線上的每一個單位長度瞬時投放質量為mz所構成的，mz的量綱為[ML-1]。對于一個沿z軸分布的無限長線源來講，根據(jù)三維瞬時點源的解可得由于h處的點源mzdh所產生的P點（x,y,z）處的濃度為與瞬時點源的二維情形相同無限長線源h積分從負無窮到正無窮令變更上下限其解可由瞬時點源的解迭加得到第五十三頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第53頁，共63頁。單位面積瞬時引入質量為m,對在yz平面上的一個平面源來講，由位于x處沿z方向單位寬度上質量mz=mdx的無限長線源在P點（x,y,z）處產生的濃度：三、瞬時無限平面源第十節(jié)二維和三維擴散方程的某些解析解于是由無限平面源在P點處產生的濃度為：當Dx=Dy=Dz=D時，有瞬時無限平面源情形瞬時無限平面的分子擴散只沿與該平面垂直的方向進行，是一維擴散一維擴散問題中，點源就是無限平面源。第五十四頁，編輯于星期六：二十二點四十一分。第54頁，共63頁。設在坐標原點處（x=y=z=0），單位時間內投放的污染物質量為M（常數(shù)）。在dt的微小時間內，投放質量為Mdt