2023年高考上海卷理工類數(shù)學(xué)試題(含答案和解析)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷〔理工農(nóng)醫(yī)類〕一、填空題〔本大題共有14題，總分值56分〕考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得4分，否那么一律得零分.1、設(shè)x,那么不等式的解集為______________________【答案】〔2,4〕【解析】試題分析：由題意得：，解得.考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的根本解法.2、設(shè)，期中為虛數(shù)單位，那么=______________________【答案】-3【解析】試題分析：考點(diǎn)：1.復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2.復(fù)數(shù)的概念.3、平行直線，那么的距離_______________【答案】【解析】試題分析：利用兩平行線間距離公式得考點(diǎn)：主要考查兩平行線間距離公式.4、某次體檢，6位同學(xué)的身高〔單位：米〕分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77那么這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_________〔米〕【答案】1.76【解析】試題分析：將這6位同學(xué)的身高按照從矮到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個(gè)數(shù)的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76.考點(diǎn)：主要考查了中位數(shù)的概念.5、點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，那么【答案】【解析】試題分析：將點(diǎn)〔3，9〕帶入函數(shù)的解析式得，所以，用表示得，所以.考點(diǎn)：反函數(shù)的概念以及指對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化.6、如圖，在正四棱柱中，底面的邊長(zhǎng)為3，與底面所成角的大小為，那么該正四棱柱的高等于____________【答案】【解析】試題分析：由題意得?？键c(diǎn)：線面角7、方程在區(qū)間上的解為___________【答案】【解析】試題分析：化簡(jiǎn)得：，所以，解得或〔舍去〕，所以在區(qū)間[0，2π]上的解為.學(xué).科.網(wǎng)

考點(diǎn)：二倍角公式及三角函數(shù)求值.8、在的二項(xiàng)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，那么常數(shù)項(xiàng)等于_________【答案】112【解析】試題分析：由二項(xiàng)式定理得：二項(xiàng)式所有項(xiàng)的二項(xiàng)系數(shù)之和為，由題意得，所以，考點(diǎn)：中二項(xiàng)式的通項(xiàng)為，求常數(shù)項(xiàng)那么令，所以，所以.考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.9、的三邊長(zhǎng)分別為3,5,7，那么該三角形的外接圓半徑等于_________【答案】【解析】試題分析：利用余弦定理可求得最大邊7所對(duì)應(yīng)角的余弦值為，所以此角的正弦值為，由正弦定理得,所以考點(diǎn)：正弦、余弦定理.10、設(shè)假設(shè)關(guān)于的方程組無解，那么的取值范圍是____________【答案】【解析】試題分析：將方程組中的〔1〕式化簡(jiǎn)得，代入〔2〕式整理得，方程組無解應(yīng)該滿足且，所以且，所以由根本不等式得.考點(diǎn)：方程組的思想以及根本不等式的應(yīng)用.無窮數(shù)列由k個(gè)不同的數(shù)組成，為的前n項(xiàng)和.假設(shè)對(duì)任意，，那么k的最大值為________.【答案】4【解析】試題分析：要滿足數(shù)列中的條件，涉及最多的項(xiàng)的數(shù)列可以為，所以最多由4個(gè)不同的數(shù)組成.考點(diǎn)：數(shù)列的項(xiàng)與和.12.在平面直角坐標(biāo)系中，A〔1,0〕，B〔0，-1〕，P是曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么的取值范圍是.【答案】考點(diǎn)：1.平面向量的數(shù)量積；2.三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)；3.數(shù)形結(jié)合的思想.13.設(shè)，假設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，那么滿足條件的有序?qū)崝?shù)組的組數(shù)為.【答案】4【解析】試題分析：，當(dāng)確定時(shí)，唯一，故有4種組合.考點(diǎn)：三角函數(shù)14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為正八邊形的中心，.任取不同的兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，那么點(diǎn)P落在第一象限的概率是.【答案】【解析】試題分析：共有種根本領(lǐng)件，其中使點(diǎn)P落在第一象限共有種根本領(lǐng)件，故概率為.考點(diǎn)：古典概型選擇題〔5×4=20〕設(shè)，那么“〞是“〞的〔〕 充分非必要條件〔B〕必要非充分條件〔C〕充要條件〔D〕既非充分也非必要條件【答案】A【解析】試題分析：，所以是充分非必要條件，選A.考點(diǎn)：充要條件以下極坐標(biāo)方程中，對(duì)應(yīng)的曲線為右圖的是〔〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】D【解析】試題分析：依次取，結(jié)合圖形可知只有滿足，選D.考點(diǎn)：極坐標(biāo)系無窮等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為，且.以下條件中，使得恒成立的是〔〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】B【解析】試題分析：由題意得：對(duì)一切正整數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)不恒成立，舍去；當(dāng)時(shí)，因此選B.

考點(diǎn)：1.數(shù)列的極限；2.等比數(shù)列的求和.18、設(shè)、、是定義域?yàn)榈娜齻€(gè)函數(shù)，對(duì)于命題：=1\*GB3①假設(shè)、、均為增函數(shù)，那么、、中至少有一個(gè)增函數(shù)；=2\*GB3②假設(shè)、、均是以為周期的函數(shù)，那么、、均是以為周期的函數(shù)，以下判斷正確的選項(xiàng)是〔〕、=1\*GB3①和=2\*GB3②均為真命題、=1\*GB3①和=2\*GB3②均為假命題、=1\*GB3①為真命題，=2\*GB3②為假命題、=1\*GB3①為假命題，=2\*GB3②為真命題【答案】D【解析】試題分析：因?yàn)楸貫橹芷跒榈暮瘮?shù)，所以②正確；增函數(shù)減增函數(shù)不一定為增函數(shù)，因此①不一定.選D.函數(shù)性質(zhì)考點(diǎn)：1.抽象函數(shù)；2.函數(shù)的單調(diào)性；3.函數(shù)的周期性.三、解答題〔74分〕19.將邊長(zhǎng)為1的正方形〔及其內(nèi)部〕繞的旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，如圖，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為，其中與在平面的同側(cè)?！?〕求三棱錐的體積；〔2〕求異面直線與所成的角的大小?！敬鸢浮俊?〕．〔2〕．【解析】試題分析：〔1〕由題意可知，圓柱的高，底面半徑．確定．計(jì)算后即得.〔2〕設(shè)過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，根據(jù)，知或其補(bǔ)角為直線與所成的角．確定，．得出．試題解析：〔1〕由題意可知，圓柱的高，底面半徑．由的長(zhǎng)為，可知．，．〔2〕設(shè)過點(diǎn)的母線與下底面交于點(diǎn)，那么，所以或其補(bǔ)角為直線與所成的角．由長(zhǎng)為，可知，又，所以，從而為等邊三角形，得．因?yàn)槠矫?，所以．在中，因?yàn)椋?，，所以，從而直線與所成的角的大小為．考點(diǎn)：1.幾何體的體積；2.空間的角.〔此題總分值14〕有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河，收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是，菜地分為兩個(gè)區(qū)域和，其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近，中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近，而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等，現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系，其中原點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1,0〕，如圖求菜地內(nèi)的分界線的方程菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍，由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值〞為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn)，請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積，及五邊形的面積，并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值【答案】〔1〕〔〕．〔2〕五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值〞．【解析】試題分析：〔1〕由上的點(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，知是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的局部．〔2〕計(jì)算矩形面積，五邊形面積．進(jìn)一步計(jì)算矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值〞之差的絕對(duì)值，五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值〞之差的絕對(duì)值，比擬二者大小即可．試題解析：〔1〕因?yàn)樯系狞c(diǎn)到直線與到點(diǎn)的距離相等，所以是以為焦點(diǎn)、以為準(zhǔn)線的拋物線在正方形內(nèi)的局部，其方程為〔〕．〔2〕依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為．所求的矩形面積為，而所求的五邊形面積為．矩形面積與“經(jīng)驗(yàn)值〞之差的絕對(duì)值為，而五邊形面積與“經(jīng)驗(yàn)值〞之差的絕對(duì)值為，所以五邊形面積更接近于面積的“經(jīng)驗(yàn)值〞．考點(diǎn)：1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程；2.面積.21.〔此題總分值14分〕此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，直線過且與雙曲線交于兩點(diǎn)?！?〕假設(shè)的傾斜角為，是等邊三角形，求雙曲線的漸近線方程；〔2〕設(shè)，假設(shè)的斜率存在，且，求的斜率.【答案】〔1〕．〔2〕.【解析】試題分析：〔1〕設(shè)．根據(jù)是等邊三角形，得到，解得．〔2〕〔2〕設(shè)，，直線與雙曲線方程聯(lián)立，得到一元二次方程，根據(jù)與雙曲線交于兩點(diǎn)，可得，且．設(shè)的中點(diǎn)為．由，計(jì)算，從而．得出的方程求解．試題解析：〔1〕設(shè)．由題意，，，，因?yàn)槭堑冗吶切危?，即，解得．故雙曲線的漸近線方程為．〔2〕由，，．設(shè)，，直線．顯然．由，得．因?yàn)榕c雙曲線交于兩點(diǎn)，所以，且．設(shè)的中點(diǎn)為．由即，知，故．而，，，所以，得，故的斜率為．考點(diǎn)：1.雙曲線的幾何性質(zhì)；2.直線與雙曲線的位置關(guān)系；3.平面向量的數(shù)量積.22.〔此題總分值16分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值6分. ，函數(shù).〔1〕當(dāng)時(shí)，解不等式；〔2〕假設(shè)關(guān)于的方程的解集中恰好有一個(gè)元素，求的取值范圍；〔3〕設(shè)，假設(shè)對(duì)任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.【答案】〔1〕．〔2〕．〔3〕．【解析】試題分析：〔1〕由，利用得求解．〔2〕轉(zhuǎn)化得到，討論當(dāng)、時(shí)，以及且時(shí)的情況．〔3〕討論在上單調(diào)遞減．確定函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差.得到，對(duì)任意成立．試題解析：〔1〕由，得，解得．〔2〕，，當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意．當(dāng)且時(shí)，，，．是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即；是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即．于是滿足題意的．綜上，的取值范圍為．〔3〕當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．即，對(duì)任意成立．因?yàn)椋院瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，有最小值，由，得．故的取值范圍為．

考點(diǎn)：1.對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；2.函數(shù)與方程；3.二次函數(shù)的性質(zhì).23.〔此題總分值18分〕此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值6分，第3小題總分值8分. 假設(shè)無窮數(shù)列滿足：只要，必有，那么稱具有性質(zhì).〔1〕假設(shè)具有性質(zhì)，且，，求；〔2〕假設(shè)無窮數(shù)列是等差數(shù)列，無窮數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；〔3〕設(shè)是無窮數(shù)列，.求證：“對(duì)任意都具有性質(zhì)〞的充要條件為“是常數(shù)列〞.【答案】〔1〕．〔2〕不具有性質(zhì)．〔3〕見解析．【解析】試題分析：〔1〕根據(jù)條件，得到，結(jié)合求解．〔2〕根據(jù)的公差為，的公比為，寫出通項(xiàng)公式，從而可得．通過計(jì)算，，，，即知不具有性質(zhì)．〔3〕從充分性、必要性兩方面加以證明，其中必要性用反證法證明．試題解析：〔1〕因?yàn)?，所以，，．于是，又因?yàn)?，解得．?〕的公差為，的公比為，所