河南省開封市高三下學期核心模擬卷（中）數(shù)學（理）（二）試題

2022屆河南省開封市高三下學期核心模擬卷（中）數(shù)學（理）（二）試題一、單選題1．復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為（－2，4），則（

）A．3 B．4 C． D．【答案】C【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標為（－2，4）．則，所以．所以．故選：C2．若集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別求出集合和求的解集，交集運算即可.【詳解】集合，，所以．故選：A．3．已知函數(shù)的圖象為C，為了得到函數(shù)的圖象，只要把C上所有點（

）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變C．縱坐標伸長到原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短到原來的倍，橫坐標不變【答案】B【分析】結(jié)合三角函數(shù)的圖象變換，即可求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來倍，即可得到函數(shù).故選：B．4．已知函數(shù)則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】D【分析】直接由時，求得，再按照的解析式求值即可.【詳解】由題意，，所以．故選：D．5．在邊長為4的正方形內(nèi)任取一點，則該點到此正方形的各頂點的距離大于1的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用幾何概型的公式求解即可.【詳解】如圖，該點落在正方形內(nèi)虛線外的區(qū)域時，滿足到此正方形的各頂點的距離大于1，正方形的面積為．四個圓的面積和為，則該點到此正方形的各頂點的距離大于1的概率為．故選：B．6．在正方體中，是正方形的中心，則直線與直線所成角大小為（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】如圖，連接，，，利用余弦定理可求的值，從而可得直線與直線所成角大小.【詳解】設(shè)正方體的棱長為，連接，，，因為，故或其補角為直線與直線所成角.而，，，故，所以，所以，因為為銳角，故，故選：A.7．函數(shù)，的零點為，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由正弦的二倍角公式變形后確定，同時求得，再由二倍角公式求得，然后由兩角和的余弦公式求解.【詳解】，又，則，得，則，，．所以．故選：C．8．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線交于，兩點，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)出交點坐標，將直線方程和拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理寫出，根據(jù)拋物線的定義可知，結(jié)合已知條件，即可得出正確選項.【詳解】設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得，則，又因為，根據(jù)拋物線的定義可得，即.故選A.9．若展開式各項系數(shù)和為，則展開式中常數(shù)項是第（

）項A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】由題意，令，求出的值，從而寫出二項展開式的通項公式，然后令的冪指數(shù)為0即可求解.【詳解】解：展開式各項系數(shù)和為，令得，，，二項展開式的通項公式，令，得，所以，展開式中常數(shù)項是第7項.故選：D.10．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則實數(shù)的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，利用正弦定理和余弦定理得到，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．【詳解】因為，由正弦定理得，，又由余弦定理，得，所以，所以，即．因為，則當時，，所以．故選：D．11．已知實數(shù)a，b，c滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分別求出，，的大致范圍，即可比較，，的大小.【詳解】由題意得，，故；，因，根據(jù)對勾函數(shù)得，因此；由勾股數(shù)可知，又因且，故；因此.故選：C.【點睛】指數(shù)式、對數(shù)式的大小比較，常利用函數(shù)的單調(diào)性或中間值進行比較，要根據(jù)具體式子的特點，選擇恰當?shù)暮瘮?shù)，有時還需要借助冪函數(shù)比較.對于比較的式子，要先化簡轉(zhuǎn)化，再比較大小.12．已知有兩個零點，，有兩個零點，，若區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．] B． C． D．【答案】A【分析】將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象交點的橫坐標之間的關(guān)系，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷和選擇.【詳解】對，當時，，故由得此方程的兩個根為；由得，此方程的兩個根為，．由，得，即，即，得，或．當時，；當時，；當時，；做出函數(shù)和的圖象如下所示：要使，則直線必須在和之間，即．即實數(shù)a的取值范圍是．故選：A．【點睛】本題考察函數(shù)零點問題的處理，解決問題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為與和圖象交點的橫坐標之間的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合解決問題，屬中檔題.二、填空題13．已知向量，，若，則實數(shù)______．【答案】【分析】求出的坐標，利用平面向量垂直的坐標運算解題即可.【詳解】因為，所以由，可得，解得．故答案為：.14．若雙曲線的焦距為，則實數(shù)______．【答案】4或【分析】根據(jù)雙曲線焦點在或軸上進行分類討論，由此求得的值.【詳解】當焦點在x軸時，可得解得；當焦點在y軸時，可得解得．所以或．故答案為：4或15．直三棱柱的各個頂點都在球O的球面上，且．若球O的表面積為，則這個三棱柱的體積是_________．【答案】【分析】由已知直三棱柱的底面為直角三角形，所以其外接球的球心位于側(cè)面的中心，根據(jù)球的半徑計算棱柱的高即可求出棱柱的體積．【詳解】解：，，，直三棱柱外接球的球心即為側(cè)面的中心，設(shè)球半徑為，則，，即，直三棱柱的高，直三棱柱的體積，故答案為：．16．在一次以“二項分布的性質(zhì)”為主題的數(shù)學探究活動中，金陵中學高二某小組的學生表現(xiàn)優(yōu)異，發(fā)現(xiàn)的正確結(jié)論得到老師和同學們的一致好評．設(shè)隨機變量，記，，1，2，…，n．在研究的最大值時，該小組同學發(fā)現(xiàn)：若為正整數(shù)，則時，，此時這兩項概率均為最大值；若為非整數(shù)，當k取的整數(shù)部分，則是唯一的最大值．以此為理論基礎(chǔ)，有同學重復投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子并實時記錄點數(shù)1出現(xiàn)的次數(shù)，當投擲到第35次時，記錄到此時點數(shù)1出現(xiàn)5次，若繼續(xù)再進行65次投擲試驗，則當投擲到第100次時，點數(shù)1一共出現(xiàn)的次數(shù)為______的概率最大．【答案】15或16【分析】根據(jù)二項分布的知識，結(jié)合題目所給條件進行計算，從而求得正確答案.【詳解】繼續(xù)再進行65次投擲實驗，出現(xiàn)點數(shù)為1的次數(shù)X服從二項分布，由，結(jié)合題中的結(jié)論可知，當或時概率最大．即后面65次中出現(xiàn)11或10次點數(shù)1的概率最大，加上前面35次中的5次．所以出現(xiàn)15或16次的概率最大．故答案為：15或16三、解答題17．某學校為了對該校老師的思想道德進行教育指導，對該校120名老師進行考試，并將考試的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖．已知a，b，c成等差數(shù)列，分值在[90，100]的人數(shù)為12．(1)求圖中a，b，c的值；(2)若思想道德分值的平均數(shù)、中位數(shù)均超過75，則認為該學校老師思想道德良好，試判斷該學校老師的思想道德是否良好．【答案】(1)，，(2)該學校老師思想道德良好【分析】（1）根據(jù)分值在[90，100]的人數(shù)為12，求得c，再根據(jù)a，b，c成等差數(shù)列和各矩形面積之和為1求得a，b．（2）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)公式和中位數(shù)公式求解.【詳解】(1)解：因為分值在[90，100]的人數(shù)為12，所以[90，100]的頻率為，所以．因為a，b，c成等差數(shù)列．所以，又，所以，解得，．(2)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)m滿足，解得，所以該學校老師思想道德良好．18．已知等比數(shù)列的前n項和為，，且，，成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的公比q和通項；(2)設(shè)，求滿足的n的最大值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由，，成等差數(shù)列，化簡得到，求得，進而求得數(shù)列的通項公式；（1）求得，得到，結(jié)合，得到，即可求解.【詳解】(1)解：設(shè)比數(shù)列的公比為，因為，，成等差數(shù)列，可得，即，所以，解得，又因為，所以數(shù)列的通項公式為．(2)解：由，可得，所以，所以，由，可得，即且，故滿足的n的最大值為．19．如圖所示，直角梯形中，，，，四邊形為矩形，，平面平面．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)長度以及角度關(guān)系先求解出，然后利用勾股定理證明，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證明，由線面垂直的判定定理可證明平面，則面面垂直可證；（2）建立合適空間直角坐標系，分別求解出平面、平面的一個法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值求解出二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：連接，依題可得，，，，，，平面平面，平面平面，又四邊形為矩形，，平面，，，平面，且平面，平面平面．（2）取中點，連接．如圖，以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，，則，；設(shè)平面的一個法向量為，，不妨設(shè)，則，，，設(shè)向量與的夾角為，，結(jié)合圖形可知二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為．【點睛】思路點睛：向量方法求解二面角的余弦值的步驟：（1）建立合適空間直角坐標系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中相應(yīng)點的坐標；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一個法向量；（注：若半平面為坐標平面，直接取法向量亦可）（3）計算（2）中兩個法向量夾角的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實際情況，判斷二面角是鈍角還是銳角，從而得到二面角的余弦值.20．已知橢圓：的右焦點為，離心率為，點且．(1)求橢圓的標準方程；(2)若不垂直于軸的直線與相交于，兩點，，均為整數(shù)，且滿足與關(guān)于軸對稱，求證：直線過定點．【答案】(1)或(2)證明見解析【分析】（1）由得或，再根據(jù)離心率求解方程即可；（2）先確定方程為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得到韋達定理，，由與關(guān)于軸對稱，得到，代入化簡求值即可.【詳解】(1)由得或．當時，半焦距，再由離心率為，得，解得，則，故橢圓的標準方程為；當時，半焦距，再由離心率為，得，解得．則．故橢圓的標準方程為．(2)證明：依題可得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，．因為，均為整數(shù)．所以橢圓方程為，聯(lián)立方程組可得．則，即，且，．因為與關(guān)于軸對稱．所以，則，即，整理得，解得．滿足，所以直線的方程為，所以直線恒過定點．【點睛】求定點問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定點，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定點．21．已知函數(shù)，．(1)若恒成立，求實數(shù)a的值；(2)若，求證：．【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】（1）令，則，然后分和兩種情況求函數(shù)的最小值，使其最小值大于等于零即可，（2）先利用導數(shù)證得當時，恒成立，然后將問題轉(zhuǎn)化為證，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求出其最小值大于零即可【詳解】(1)設(shè)，則．當時，，單調(diào)遞增，，不滿足恒成立；當時，在上單調(diào)遞減．在上單調(diào)遞增．所以的最小值為．即，即．設(shè)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即，故的解只有．綜上，．(2)證明：先證當時，恒成立．令，，所以在（0，1）上單調(diào)遞增，又，所以．所以要證，即證，即證，即證．設(shè)，則，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，所以，即原不等式成立．所以當時，．【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導數(shù)解決不等式恒成立問題，考查利用導數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是先證當時，恒成立，然后將轉(zhuǎn)化為，即證，再構(gòu)造函數(shù)求出其最小值大于零即可，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題22．在平面直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為．(1)求直線的直角坐標方程以及曲線的普通方程；(2)若點的直角坐標是，直線與曲線交于，兩點，求的面積．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用極坐標方程化直角方程的公式及角度消參的方法消參即可求解；（2）先求出的極坐標，再求出到直線的距離，利用極徑的幾何意義求出弦長，利用面積公式求解即可.【詳解】(1)由，得，故直線的直角坐標方程是．由消去，得，則曲線