江蘇省鹽城市濱海中學(xué)高三下學(xué)期高考前指導(dǎo)數(shù)學(xué)試題（一）

2022屆江蘇省鹽城市濱海中學(xué)高三下學(xué)期高考前指導(dǎo)數(shù)學(xué)試題（一）一、單選題1．從集合的非空子集中隨機(jī)選擇兩個不同的集合A，B，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】寫出集合的非空子集，求出總選法，再根據(jù)，列舉出集合的所有情況，再根據(jù)古典概型公式即可得解.【詳解】解：集合的非空子集有共7個，從7個中選兩個不同的集合A，B，共有種選法，因?yàn)?，?dāng)時，則可為共3種，當(dāng)時，共1種，同理當(dāng)時，則可為共3種，當(dāng)時，共1種，則符合的共有種，所以的概率為.故選：A.2．復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由可化簡得，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即可求出．【詳解】因?yàn)?，所以．故選：C．3．設(shè)，則有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】比較與的大小，求出和的范圍即可得到結(jié)論．【詳解】解：，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查分析和解決問題的能力，屬于中檔題．4．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，當(dāng)最大時，的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】先令，兩邊取對數(shù)，再分析的最值即可求解.【詳解】令，兩邊取對數(shù)，有，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以時，取到最大值，從而有最大值，因此，對于，當(dāng)時，；當(dāng)時，.而，因此，當(dāng)最大時，.故選：B5．假設(shè)，是兩個事件，且，，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件概率的計(jì)算公式和事件的獨(dú)立性依次討論求解即可.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由，可知，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，成立的條件為，是兩個獨(dú)立事件，故錯誤；對于C選項(xiàng)，由，故當(dāng)時才有，故錯誤；對于D選項(xiàng)，由題知，故，即，是兩個獨(dú)立事件時成立，故錯誤.故選：A6．若，（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式可得，利用誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】，.故選：B.7．函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷圖像類問題，首先求定義域，其次判斷函數(shù)的奇偶性；再次通過圖像或函數(shù)表達(dá)式找特殊值代入求值，時，即，此時只能是；也可通過單調(diào)性來判斷圖像.主要是通過排除法得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)?，并且，所以函?shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可排除；當(dāng)時，即，此時只能是，而的根是，可排除.故選:【點(diǎn)睛】函數(shù)的定義域，奇偶性，特殊值，單調(diào)性等是解決這類問題的關(guān)鍵，特別是特殊值的選取很重要，要結(jié)合圖像的特征來選取.8．在棱長為2的正方體中，為在平面內(nèi)運(yùn)動時，有平面，則線段的最小值為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】CD中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，根據(jù)面面平行的判定定理，可證平面平面，即M在平面內(nèi)，根據(jù)題意，可得點(diǎn)M在線段PQ上，在中，分別求得各個邊長，根據(jù)余弦定理，求得，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可求得答案.【詳解】取CD中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接PQ、PN、QN，如圖所示：因?yàn)镻、N分別為CD、BC中點(diǎn)，所以，同理，P、Q分別為CD、中點(diǎn)，所以，又，平面PQN，，平面，所以平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，又點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動，所以點(diǎn)M在平面和平面的交線上，即，在中，，，，所以，所以，所以N點(diǎn)到PQ的最小距離.所以線段的最小值為.故選：B【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是作出平面平面，在根據(jù)題意，確定點(diǎn)M的位置，再求解，考查面面平行的判定及性質(zhì)定理的應(yīng)用，解三角形等知識，屬中檔題.二、多選題9．已知圓，點(diǎn)P在圓上且在第一象限內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】設(shè)，則，利用兩點(diǎn)間的距離公式可判斷A；利用直線與圓相切可判斷B；利用正弦定理結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；利用排除法即可得到答案；【詳解】設(shè)，則，對A，，故A正確；對B，當(dāng)與圓相切時，達(dá)到最大值為，所以，故B正確；對C，因?yàn)椋驗(yàn)?，所以?dāng)為直角或鈍角時，顯然有；當(dāng)為銳角時，若，則有可得，所以假設(shè)成立，故C正確；顯然D就錯誤；故選：ABC.【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離公式、正弦定理解三角形，求解時要注意結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解判斷.10．正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn).則（

）A．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1G與平面AEF平行C．平面AEF截正方體所得的截面面積為 D．點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等【答案】BC【分析】由，結(jié)合線面垂直的判定定理知平面，進(jìn)而得出，可判定A錯誤；利用面面平行的判定定理及性質(zhì)定理，可判定B正確；由截面性質(zhì)知，平面AEF截正方體所得的截面為梯形，求得梯形的面積，可判定C正確；利用反證法，可判定D錯誤.【詳解】對于A，若，因?yàn)榍遥云矫?，所以，所以，此時不成立，所以線與直線不垂直，故A錯誤；對于B，如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，由條件可知：，，且，，又平面，平面，平面，平面，∴平面，平面，又，所以平面平面，又因?yàn)槠矫妫云矫?，故B正確；對于C，因?yàn)?，為，的中點(diǎn)，所以，所以，，，四點(diǎn)共面，所以截面即為梯形，由題得該等腰梯形的上底，下底，腰長為，所以梯形面積為，故C正確；對于D，假設(shè)與到平面的距離相等，即平面將平分，則平面必過的中點(diǎn)，連接交于，而不是中點(diǎn)，則假設(shè)不成立，故D錯誤.故選：BC.【點(diǎn)睛】11．十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為1，2表示為10，3表示為11，7表示為111，即，，其中，或，記為上述表示中0的個數(shù)，如，．則下列說法中正確的是（

）．A．B．C．D．1到127這些自然數(shù)的二進(jìn)制表示中的自然數(shù)有35個【答案】ABD【分析】根據(jù)二進(jìn)制計(jì)數(shù)法逐個分析選項(xiàng)即可.【詳解】對于選項(xiàng)A：∵，∴12表示為1100，∴，∵，∴18表示為10010，∴，∴，故選項(xiàng)A正確，對于選項(xiàng)B：∵，∴轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后末尾必為0，又∵，∴轉(zhuǎn)化為二進(jìn)制后末尾必為1，∴，故選項(xiàng)B正確，對于選項(xiàng)C：當(dāng)時，，，∵，，∴，故選項(xiàng)C錯誤，對于選項(xiàng)D：當(dāng)時，有1個，當(dāng)時，有個，當(dāng)時，有個，當(dāng)時，有個，當(dāng)時，有個，則一共有個，故選項(xiàng)D正確，故選：ABD．12．已知拋物線：，圓：，過點(diǎn)的直線與圓交于，兩點(diǎn)，交拋物線于，兩點(diǎn)，則滿足的直線有三條的的值有（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】BCD【分析】直線的斜率不確定是否存在時，要討論斜率是否存在；直線與拋物線相交于兩個交點(diǎn)，通常直線設(shè)為，聯(lián)立直線與拋物線，直線與圓的方程，利用得，分兩種情況求解，得當(dāng)時，對應(yīng)直線有三條.【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：與拋物線交于點(diǎn)，與圓交于點(diǎn)，顯然滿足條件；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，由得，設(shè)，，，由韋達(dá)定理可得，，由，設(shè)，，，，有，，當(dāng)時，即，又因?yàn)椋?舍)當(dāng)時，即，因?yàn)椋?，由此，，解得，顯然，當(dāng)，有兩解，對應(yīng)直線有兩條.，，此時直線斜率不存在，即為第一種情況，所以當(dāng)時，對應(yīng)直線有三條.故選：BCD【點(diǎn)睛】注意直線與拋物線有兩個交點(diǎn)時，方程設(shè)為，將轉(zhuǎn)化為，則需要聯(lián)立方程組，這樣就分析出做題思路了，根據(jù)方程解的個數(shù)來判斷交點(diǎn)的個數(shù)，從而得出范圍.三、填空題13．某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的概率是__________．【答案】【詳解】7個車位都排好車輛，共有種方法，滿足題意的排法等價于7輛車排列，滿足其中三輛中恰有兩輛車停放在相鄰車位，則首先排列余下的四輛車，有種方法，然后從3輛車中挑出2輛車排列好之后進(jìn)行捆綁，3輛車看作2個元素插入4輛車的5個空位中，共有種方法，由乘法原理結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：.點(diǎn)睛：有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時，用列舉法把所有基本事件一一列出時，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14．若函數(shù)在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【分析】先求導(dǎo)，根據(jù)題意在上恒成立，整理得在上恒成立，即求.【詳解】由知，,∵函數(shù)在上是減函數(shù)，，又，∴，即在上恒成立，而，，．故答案為：．15．計(jì)算機(jī)(computer)是20世紀(jì)最先進(jìn)的科學(xué)技術(shù)發(fā)明之一，對人類的生產(chǎn)活動和社會活動產(chǎn)生了極其重要的影響．計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)時，使用的是二進(jìn)制．二進(jìn)制數(shù)是用0和1表示的數(shù)，它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”．二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)記為，即，其中．那么滿足中有且只有4個0的所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為_________．【答案】【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而得所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，出現(xiàn)次，，，，，均出現(xiàn)次，再求和即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意得，因?yàn)橹杏星抑挥?個0所以中有且只有3個1，有種可能，所以所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和中，出現(xiàn)次，，，，，均出現(xiàn)次，所以滿足中有且只有4個0的所有二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)的和為故答案為：四、雙空題16．已知數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，且，若是遞增數(shù)列，則，，且，則整數(shù)_______.【答案】

【解析】由題意得出，由化簡可解得，可得出的取值范圍；當(dāng)時，計(jì)算得出，可求得，由可求得的取值范圍，進(jìn)而可求得整數(shù)的值.【詳解】對任意的，，由，即，解得，由于，所以，，由于數(shù)列是遞增數(shù)列，則，可得，化簡可得，解得，所以，的取值范圍是；，等式兩邊取倒數(shù)可得，，當(dāng)時，，，，所以，，所以，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查利用數(shù)列的單調(diào)性求的取值范圍，同時也考查了裂項(xiàng)相消法，考查計(jì)算能力，屬于難題.五、解答題17．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)．【答案】（1）答案不唯一，見解析；（2）2個【分析】(1)對求導(dǎo)后,根據(jù)的正負(fù)對的正負(fù)進(jìn)行分情況討論,得出對應(yīng)單調(diào)性即可;(2)方法一:對求導(dǎo)后,對,,三種情況,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分別討論零點(diǎn)個數(shù);方法二:對求導(dǎo)后,對,兩種情況,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分別討論零點(diǎn)個數(shù).【詳解】(1),其定義域?yàn)?,①當(dāng)時,因?yàn)?所以在上單調(diào)遞增,②當(dāng)時,令得,令得,所以在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,綜上所述,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.(2)方法一:由已知得,,則.①當(dāng)時,因?yàn)?所以在單調(diào)遞減,所以,所以在上無零點(diǎn);②當(dāng)時,因?yàn)閱握{(diào)遞增,且,,所以存在,使,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在遞減,遞增,且,所以,又因?yàn)?所以,所以在上存在一個零點(diǎn),所以在上有兩個零點(diǎn);③當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞增,因?yàn)?所以在上無零點(diǎn);綜上所述,在上的零點(diǎn)個數(shù)為2個.方法二:由已知得,,則.①當(dāng)時,因?yàn)?所以在單調(diào)遞增,所以,所以在上無零點(diǎn);②當(dāng)時,所以在單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以使,當(dāng)時,,當(dāng)時,所以在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,且,所以,又因?yàn)?所以,所以在上存在唯一零點(diǎn),所以在上存在兩個零點(diǎn),綜上所述,在上的零點(diǎn)個數(shù)為2個.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題,含參函數(shù)常利用分類討論法解決問題,有一定難度.18．如圖，已知拋物線，橢圓：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上，且離心率為．直線交于A、B兩點(diǎn)，交于M、N兩點(diǎn)．是上的點(diǎn)，且始終位于直線l的右上方．連接、，的平分線交y軸于H，交的左側(cè)部分于T．（1）求證：軸；（2）若M是的中點(diǎn)，是否存在最大值？若存在，求出使取得最大值時m的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【分析】（1）由題意可求得，設(shè)，，然后直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得，從而可得，由此可得關(guān)于直線對稱，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）由（1）知，，，再將其坐標(biāo)代入橢圓中可得，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長公式可得，由點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，可求出其橫坐標(biāo)，從而可求出，進(jìn)而可求出，化簡變形后利用基本不等式可求出其最值【詳解】解：（1）∵在上，∴，∴．

設(shè)，，由得，．∵直線l與有兩個交點(diǎn)，∴，∴∴

∴．∴關(guān)于直線對稱．

∴的平分線所在的直線方程是．∴軸．

（2）∵點(diǎn)總在直線的右上方，∴，∴．由（1）知，．由題意設(shè)，∵M(jìn)是中點(diǎn)，∴，∵．

∴∵在橢圓上，∴，∴．由得，．∴．∵∴恒成立∴

設(shè)，代入，得．∴∴∴

令，．當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與拋物線、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，解題的關(guān)鍵是利用弦長公式表示出，利用距離公式表示出，從而可得，換元后利用基本不等式可求得其最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題19．在中，，和的平分線交于點(diǎn).（1）若，求的值；（2）若，求的大小.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理先求解出的值，然后根據(jù)余弦的二倍角公式求解出的值；（2）在和分別使用正弦定理可求解出的關(guān)系，從而可求解出的關(guān)系，通過設(shè)，根據(jù)和的內(nèi)角關(guān)系可求解出的值，則可求.【詳解】解：（1）在中，由正弦定理得.因?yàn)?，所以所以，所?因?yàn)槠椒?，所以，解?負(fù)根舍去).（2）因?yàn)?，所以在和中，由正弦定理得，因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以記，則，所以，解得，所以.20．已知，試求的最大值．【答案】【詳解】由題意得，則．記點(diǎn)，直線，則點(diǎn)的軌跡方程為單位圓：，且．從而圓心到直線的距離．整理得．解得，故的最大值為．21．如圖，在四棱錐中，，，∥，，，.(1)證明：平面ABCD.(2)若M為PD的中點(diǎn)，求P到平面的距離.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題可知為等邊三角形，可得，，在中利用余弦定理可求得，再利用勾股定理的逆定理可得，結(jié)合已知由線面垂直的判定可得平面PAC，則，再由線面垂直的判定可證得結(jié)論，（2）利用求出點(diǎn)到平面的距離，再由M為PD的中點(diǎn)，可得P到平面的距離與D到平面的距離相等，從而可得答案【詳解】(1)證明：因?yàn)椤?，，所以，因?yàn)樗詾榈冗吶切?，所以，，在中，由余弦定理得，所以，所?因?yàn)?，且，所以平面PAC.因?yàn)槠矫鍼AC，所以.因?yàn)椋褹B，CD相