排列與組合二

排列與組合（二）四、解定序問(wèn)題一一采用除法對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其它元素一同進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素的全排列數(shù)，這其實(shí)就是局部有序問(wèn)題，利用除法來(lái)“消序”.例1：由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)小于十位數(shù)字的共有（A.210個(gè)B.300個(gè)C.464個(gè)D.600個(gè)簡(jiǎn)析：若不考慮附加條件，組成的六位數(shù)共有個(gè)，而其中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的藥種排法中只有一種符合條件，故符合條件的六位數(shù)共曲尋A*=300個(gè)，故選B例2：信號(hào)兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號(hào)，現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗，把這5面旗都掛上去，可表示不同信號(hào)的種數(shù)是 ^分析：5面旗全排列有種掛法，由于3分析：5面旗全排列有種掛法，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故共有不同的信號(hào)種數(shù)是=10（種）說(shuō)明：此題也可以用組合來(lái)解，只需5個(gè)位置中確定3個(gè)，即^=10例3：有4個(gè)男生，3個(gè)女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到4「I，

A4「I，

A-TTP種排法，剩余的3個(gè)位分析：先在7個(gè)位置上任取4個(gè)位置排男生，-4置排女生，因要求“從矮到高”，只有一種排法，故共有白］=840種.在處理分堆問(wèn)題時(shí)，有時(shí)幾堆中元素個(gè)數(shù)相等，這時(shí)也要用除法，

例4：不同的鋼筆12支，分3堆，一堆6支，另外兩堆各3支，有多少種分法?解：若3堆有序號(hào)，則有2.弓，但考慮有兩堆都是3支，無(wú)須區(qū)別，故共有席’°；/^=9240種.例5：把12支不同的鋼筆分給3人，一人得6支，二人各得3,有幾種分法？解：先分堆：有3-22解：先分堆：有3-22A/33A?7_'_rl-雋本題亦可用“選位，'2；/白號(hào)種.再將這三堆分配給三人，有曳3種。共有*；.種.選項(xiàng)法”，即：^匚1衛(wèi)％=3匚口％.五、解“小團(tuán)體”排列問(wèn)題一一采用先整體后局部策略對(duì)于“小團(tuán)體”排列問(wèn)題，可先將“小團(tuán)體”看作一個(gè)元素與其余元素排列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列.例1:三名男歌唱家和兩名女歌唱家聯(lián)合舉行一場(chǎng)音樂(lè)會(huì)，演出的出場(chǎng)順序要求兩名女歌唱家之間恰有一名男歌唱家，其出場(chǎng)方案共有（）A.36種B.18種C.12種D.6種簡(jiǎn)析：按要求出場(chǎng)順序必須有一個(gè)小團(tuán)體“女男女”，因此先在三名男歌唱家中選一名（有世種選法）與兩名女歌唱家組成一個(gè)團(tuán)體，將這個(gè)小團(tuán)體視為一個(gè)元素，與其余2名男歌唱家排列有種排法。最后小團(tuán)體內(nèi)2名女歌唱家排列有藥種排法，所以共有留啟藥=36種出場(chǎng)方案，選A六、解含有約束條件的排列組合問(wèn)題 采用合理分類與準(zhǔn)確分步的策略解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，應(yīng)按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連貫過(guò)程分步，做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、分步層次清楚，不重不漏.例1:平面上4條平行直線與另外5條平行直線互相垂直，則它們構(gòu)成的矩形共有個(gè).簡(jiǎn)析：按構(gòu)成矩形的過(guò)程可分為如下兩步：第一步.先在4條平行線中任取兩條，有二；種取法；第二步再在5條平行線中任取兩條，有種取法.這樣取出的四條直線構(gòu)成一個(gè)矩形，據(jù)乘法原理，構(gòu)成的矩形共有°：?'：=60個(gè).例2：在正方體的8個(gè)頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個(gè)面的中心及正方體的中心共27個(gè)點(diǎn)中，共線的三點(diǎn)組的個(gè)數(shù)是多少？解：依題意，共線的三點(diǎn)組可分為三類：兩端點(diǎn)皆為頂點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有日'誨 6勺2=28（個(gè)）；兩端點(diǎn)皆為面的中心的共線三點(diǎn)組共有上=3（個(gè)）；兩端點(diǎn)1脂3皆為各棱中點(diǎn)的共線三點(diǎn)組共有K=18（個(gè)）.所以總共有28+3+18=49個(gè).例3：某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品（每只產(chǎn)品均可區(qū)分）.每次取一只測(cè)試，直到4只次品全部測(cè)出為止?求第4只次品在第五次被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？解：先考慮第五次測(cè)試的產(chǎn)品有4種情況，在前四次測(cè)試中包含其余的3只次品和1只正品，它們排列的方法數(shù)是6婦。依據(jù)乘法原理得所求的不同情形有4X6婦=576種.七、解排列組臺(tái)混合問(wèn)題一一采用先選后排對(duì)于排列與組合的混合問(wèn)題，可采取先選出元素，后進(jìn)行排列的策略.例1：3名醫(yī)生和6名護(hù)士被分配到3所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)土，不同的分配方法共有（）A.90種B.180種C.270種D.540種分析：（二）第一步：先將6名護(hù)士分配到3所不同學(xué)校，每所學(xué)校2名，則有弓（種）分法.第二步：再將3名醫(yī)生分配到3所不同的學(xué)校，每所學(xué)

校1人，種分法.校1人，種分法.33

A有共故'-■i54[-'"2=540(種)故選(D)例2：4個(gè)不同小球放入編號(hào)為1、2、3、4的四個(gè)盒子，則恰有一個(gè)空盒的放法有種.簡(jiǎn)析：這是一個(gè)排列與組合的混合問(wèn)題.因恰有一個(gè)空盒，所以必有一個(gè)盒子要放2個(gè)球，故可分兩步進(jìn)行：第一步選，從4個(gè)球中任選2個(gè)球，有種選法。從4個(gè)盒子中選出3個(gè)，有席種選法；第二步排列，把選出的2個(gè)球視中33A為一個(gè)元素，與其余的2個(gè)球共3個(gè)元素對(duì)選出的3個(gè)盒子作全排列，有排法.所以滿足條件的放法共有席駕啟中33A八、正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化策略對(duì)某些排列組合問(wèn)題，當(dāng)從正面入手情況復(fù)雜，不易解決時(shí)，可考慮從反面入手，將其等價(jià)轉(zhuǎn)化為一個(gè)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)處理.即采用先求總的排列數(shù)（或組合數(shù)），再減去不符合要求的排列數(shù)（或組合數(shù)），從而使問(wèn)題獲得解決的方法.其實(shí)它就是補(bǔ)集思想.例1：馬路上有編號(hào)為1、2、3、…、9的9只路燈，為節(jié)約用電，現(xiàn)要求把其中的三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的兩只或三只，也不能關(guān)掉兩端的路燈，則滿足條件的關(guān)燈方法共有種.簡(jiǎn)析：關(guān)掉一只燈的方法有7種，關(guān)第二只、第三只燈時(shí)要分類討論，情況較為復(fù)雜，換一個(gè)角度，從反面入手考慮.因每一種關(guān)燈的方法唯一對(duì)應(yīng)著一種滿足題設(shè)條件的亮燈與暗燈的排列，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在6只亮燈中插入3只暗燈，且任何兩只暗燈不相鄰、且暗燈不在兩端，即從6只亮燈所形成的5個(gè)間隙中選3個(gè)插入3只暗燈，其方法有二；=10種。故滿足條件的關(guān)燈的方法共有10種.例2：有2個(gè)a,3個(gè)b,46c共九個(gè)字母排成一排，有多少種排法?分析：若將字母作為元素，1—9號(hào)位置作為位子，那么這是一個(gè)“不盡相異元素的全排列”問(wèn)題，若轉(zhuǎn)換角色，將1—9號(hào)位置作為元素，字母作為位子，那么問(wèn)題便轉(zhuǎn)化成一個(gè)相異元素不許重復(fù)的組合問(wèn)題.即共有&。匚=1260(種)不同的排法.例3：從0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有多少種.解：從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)不同的偶數(shù)的取法有宜種；取1個(gè)偶數(shù)和2個(gè)奇數(shù)的取法有?雋種.另外，從這10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)，使其和為小于10的偶數(shù)，有9種不同取法.因此，符合題設(shè)條件的不同取法有^^^-9=51九、隔板法例1：某校準(zhǔn)備組建一個(gè)18人的足球隊(duì)，這18人由高一年級(jí)10個(gè)班的學(xué)生組成，每個(gè)班級(jí)至少1人，名額分配方案共有種.簡(jiǎn)析：構(gòu)造一個(gè)隔板模型.如圖，取18枚棋子排成一列，在相鄰的每?jī)擅镀遄有纬傻?7個(gè)間隙中選取9個(gè)插入隔板，將18枚棋子分隔成10個(gè)區(qū)間，第i(1WiW10)個(gè)區(qū)間的棋子數(shù)對(duì)應(yīng)第i個(gè)班級(jí)學(xué)生的名額，因此名額分配方案的種數(shù)與隔板插入數(shù)相等。因隔板插入數(shù)為‘％，故名額分配方案有‘％=24310種.例2：將組成籃球隊(duì)的12個(gè)名額分給7所學(xué)校，每所學(xué)校至少1個(gè)名額，問(wèn)名額分配方法有多少種？解：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一把排成一行的12個(gè)0分成7份的方法數(shù)，這樣用6塊閘板插在11個(gè)間隔中，共有駕=462種