中考數(shù)學(xué)一輪突破 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 第10講一元二次方程

第10講一元二次方程課標(biāo)要求(1)能根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型．(2)理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程．(3)會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等．(4)了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問(wèn)題)．(5)能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.考情分析該內(nèi)容主要是以選擇題、填空題、應(yīng)用題的形式來(lái)考查，分值為3～11分．主要考點(diǎn)為一元二次方程的解、根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式、一元二次方程的應(yīng)用．預(yù)測(cè)2021年中考以上考點(diǎn)依然會(huì)出現(xiàn)，建議加強(qiáng)理解定義，熟記公式，掌握方法與靈活運(yùn)用，并加以練習(xí)鞏固.一、一元二次方程的有關(guān)定義1.一元二次方程的概念：只含有________未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是________，這樣的整式方程就是一元二次方程．2.一般表達(dá)式：________________，其中________是二次項(xiàng)，________叫二次項(xiàng)系數(shù)；________是一次項(xiàng)，________叫一次項(xiàng)系數(shù)，________是常數(shù)項(xiàng)．二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)都是方程在一般形式下定義的，所以求一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí)，必須先將方程化為一般形式．3.一元二次方程的解：使一元二次方程兩邊相等的________的值，就是一元二次方程的解．二、一元二次方程的解法1.直接開(kāi)平方法：適用于能化為x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．2.配方法：即把一元二次方程配成(x－m)2＝n(n≥0)的形式，再用直接開(kāi)平方法．3.公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式是x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)．4.因式分解法：即把一元二次方程變形為m(x＋a)(x＋b)＝0的形式，則x＋a＝0或x＋b＝0，那么方程的兩個(gè)根為x＝－a或x＝－b.三、根的判別式當(dāng)Δ＝b2－4ac>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝b2－4ac<0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．四、根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩根x1，x2，則有x1＋x2＝________，x1x2＝________.五、一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解實(shí)際問(wèn)題，方程的解通常有兩個(gè)，需檢驗(yàn)解是否符合實(shí)際情況.eq\a\vs4\al(),一元二次方程的解與解一元二次方程(百色，第7小題，3分)已知x＝2是一元二次方程x2－2mx＋4＝0的一個(gè)解，則m的值為()A．2B．0C．0或2D．0或－2【思路點(diǎn)撥】直接把x＝2代入已知方程就得到關(guān)于m的方程，再解此方程即可．(梧州，第20小題，6分)解方程：2x2－4x－30＝0.【思路點(diǎn)撥】利用因式分解法解方程．小結(jié)解一元二次方程的方法有配方法、公式法、因式分解法，根據(jù)一元二次方程的特點(diǎn)靈活運(yùn)用各種方法，如例題應(yīng)用因式分解法較簡(jiǎn)單.解方程：(1)x2＋3x＋1＝0.(公式法)(2)x2－4x＋1＝0.(配方法)eq\a\vs4\al(),根與系數(shù)的關(guān)系(貴港，第6小題，3分)已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α＋β－αβ的值是()A．3B．1C．－10D．－3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有α＋β＝－1，αβ＝－2.∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1.(北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū)，第6小題，3分)一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情況是()A．有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無(wú)實(shí)數(shù)根D．無(wú)法確定eq\a\vs4\al()根的判別式(玉林，第21小題，8分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是a，b，求eq\f(a,a＋1)－eq\f(1,b＋1)的值．【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根可得Δ＞0，然后解不等式即可；(2)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，a＋b＝－2，ab＝－k，把eq\f(a,a＋1)－eq\f(1,b＋1)化成只含a＋b、ab的式子，再將a＋b、ab的值代入即可．小結(jié)熟記一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式Δ＝b2－4ac：當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.(玉林、崇左，第21小題，6分)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求證：對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，方程都有實(shí)數(shù)根；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)？請(qǐng)說(shuō)明理由．eq\a\vs4\al()一元二次方程的應(yīng)用(賀州，第23小題，8分)，某貧困戶(hù)的家庭年人均純收入為2500元，通過(guò)政府產(chǎn)業(yè)扶持，發(fā)展了養(yǎng)殖業(yè)后，到，家庭年人均純收入達(dá)到了3600元．(1)求該貧困戶(hù)到家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率；(2)若年平均增長(zhǎng)率保持不變，該貧困戶(hù)的家庭年人均純收入是否能達(dá)到4200元？小結(jié)一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中找到相關(guān)的等量關(guān)系并列出方程求解，求出解后根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)結(jié)果是否合理.(南寧，第24小題，7分)如圖，為美化校園環(huán)境，某校計(jì)劃在一塊長(zhǎng)為60米，寬為40米的長(zhǎng)方形空地上修建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，并將花圃四周余下的空地修建成同樣寬的甬道，設(shè)甬道寬為a米．(1)用含a的式子表示花圃的面積；(2)如果甬道所占面積是整個(gè)長(zhǎng)方形空地面積的eq\f(3,8)，求出此時(shí)甬道的寬．

1.下列方程中是關(guān)于x的一元二次方程的是()A．x2＋eq\f(1,x2)＝0B．a(chǎn)x2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1D．3x2－2xy－5y2＝02.(遂寧)已知關(guān)于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一個(gè)根為x＝0，則a的值為()A．0B．±1C．1D．－13.用配方法解一元二次方程x2－4x＝5時(shí)，此方程可變形為()A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝94.一元二次方程x2－x＋eq\f(1,4)＝0的根是()A．x1＝eq\f(1,2)，x2＝－eq\f(1,2)B．x1＝2，x2＝－2C．x1＝x2＝－eq\f(1,2)D．x1＝x2＝eq\f(1,2)5.(牡丹江)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．k＜eq\f(1,4)B．k≤eq\f(1,4)C．k＞4D．k≤eq\f(1,4)且k≠06.一元二次方程x2＋2x＋2＝0的根的情況是()A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．無(wú)實(shí)數(shù)根7.(貴港)若α，β是關(guān)于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的兩實(shí)根，且eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝－eq\f(2,3)，則m等于()A．－2B．－3C．2D．38.(丹東)等腰三角形一邊長(zhǎng)為2，它的另外兩條邊的長(zhǎng)度是關(guān)于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k的值是()A．8B．9C．8或9D．129.(威海)一元二次方程4x(x－2)＝x－2的解為_(kāi)．10.(撫順)若關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是________．11.(荊門(mén))已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4mx＋3m2＝0(m＞0)的一個(gè)根比另一個(gè)根大2，則m的值為_(kāi)_______．12.如圖，在一塊長(zhǎng)為22米，寬為17米的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路(兩條道路各與矩形的一條邊平行)，剩余部分種上草坪，使草坪面積為300平方米．若設(shè)道路寬為x米，則根據(jù)題意可列方程為_(kāi)_____________．13.某種藥品原價(jià)為100元，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，價(jià)格變?yōu)?4元，如果每次降價(jià)的百分率是一樣的，那么每次降價(jià)的百分率是________．14.解方程：(1)2x2－7x＋6＝0；(2)(3x＋2)(x＋3)＝x＋14.15.(貴港)為了滿(mǎn)足師生的閱讀需求，某校圖書(shū)館的藏書(shū)從底到底兩年內(nèi)由5萬(wàn)冊(cè)增加到7.2萬(wàn)冊(cè)．(1)求這兩年藏書(shū)的年均增長(zhǎng)率；(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)知：中外古典名著的冊(cè)數(shù)在底僅占當(dāng)時(shí)藏書(shū)總量的5.6%，在這兩年新增加的圖書(shū)中，中外古典名著所占的百分率恰好等于這兩年藏書(shū)的年均增長(zhǎng)率，那么到底中外古典名著的冊(cè)數(shù)占藏書(shū)總量的百分之幾？16.(重慶A卷)“中國(guó)人的飯碗必須牢牢掌握在咱們自己手中”，為優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對(duì)A，B兩個(gè)小麥品種進(jìn)行種植對(duì)比實(shí)驗(yàn)研究，去年A，B兩個(gè)品種各種植了10畝．收獲后A，B兩個(gè)品種的售價(jià)均為2.4元/kg，且B的平均畝產(chǎn)量比A的平均畝產(chǎn)量高100kg，A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入為21600元．(1)求A，B兩個(gè)品種去年平均畝產(chǎn)量分別是多少？(2)今年，科技小組加大了小麥種植的科研力度，在A，B種植畝數(shù)不變的情況下，預(yù)計(jì)A，B兩個(gè)品種平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上分別增加a%和2a%，由于B品種深受市場(chǎng)的歡迎，預(yù)計(jì)每千克價(jià)格將在去年的基礎(chǔ)上上漲a%，而A品種的售價(jià)不變．A，B兩個(gè)品種全部售出后總收入將在去年的基礎(chǔ)上增加eq\f(20,9)a%，求a的值．第10講一元二次方程【基礎(chǔ)梳理】一、1.一個(gè)22.ax2＋bx＋c＝0(a≠0)ax2abxbc3.未知數(shù)四、－eq\f(b,a)eq\f(c,a)【重點(diǎn)突破】[例1]A[例2]解：方程兩邊同時(shí)除以2，得x2－2x－15＝0.因式分解，得(x－5)(x＋3)＝0.解得x1＝5，x2＝－3.[變式1](1)解：∵a＝1，b＝3，c＝1，∴Δ＝b2－4ac＝9－4×1×1＝5＞0.∴x＝eq\f(－3±\r(5),2).∴x1＝eq\f(－3＋\r(5),2)，x2＝eq\f(－3－\r(5),2).(2)解：移項(xiàng)得，x2－4x＝－1，配方得，x2－4x＋4＝－1＋4，(x－2)2＝3.由此可得x－2＝±eq\r(3).∴x1＝2＋eq\r(3)，x2＝2－eq\r(3).[例3]B[變式2]B[例4]解：(1)∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝4＋4k＞0，解得k＞－1.(2)∵方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根分別是a，b，∴a＋b＝－2，ab＝－k.∴eq\f(a,a＋1)－eq\f(1,b＋1)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋1))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋1)))＝eq\f(ab＋a－a－1,ab＋a＋b＋1)＝eq\f(ab－1,ab＋a＋b＋1)＝eq\f(－k－1,－k－2＋1)＝eq\f(－k－1,－k－1)＝1.[變式3](1)證明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)t，方程都有實(shí)數(shù)根．(2)解：設(shè)方程的兩根分別為m，n，∵方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，∴m＋n＝t－1＝0.解得：t＝1.∴當(dāng)t＝1時(shí)，方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)．[例5]解：(1)設(shè)該貧困戶(hù)到家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為x.依題意，得：2500(1＋x)2＝3600.解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(舍去)．答：該貧困戶(hù)到家庭年人均純收入的年平均增長(zhǎng)率為20%.(2)3600×(1＋20%)＝4320(元).4320＞4200.答：該貧困戶(hù)的家庭年人均純收入能達(dá)到4200元．[變式4]解：(1)由圖可知，S花圃＝(40－2a)(60－2a)．(2)根據(jù)題意，得：60×40－(40－2a)(60－2a)＝eq\f(3,8)×60×40，解得：a1＝5，a2＝45(舍去)．答：此時(shí)甬道的寬為5米．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．C2.D3.D4.D5.B6.D7.B8.B9．x1＝2，x2＝eq\f(1,4)10.k＜－111.112．(22－x)(17－x)＝30013.20%14．(1)解法不唯一．例解：x2－eq\f(7,2)x＋3＝0，x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(49,16)＝－3＋eq\f(49,16)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,4)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,16)，x－eq\f(7