中考數(shù)學(xué)一輪突破 基礎(chǔ)過(guò)關(guān) 第31講圖形的相似與位似

第31講圖形的相似與位似課標(biāo)要求(1)了解比例的基本性質(zhì)、線(xiàn)段的比、成比例的線(xiàn)段；通過(guò)建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割．(2)通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)圖形的相似．了解相似多邊形和相似比．(3)掌握基本事實(shí)：兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例．(4)了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似；兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.*了解相似三角形判定定理的證明．(5)了解相似三角形的性質(zhì)定理：相似三角形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方．(6)了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小．(7)會(huì)利用圖形的相似解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．注：考試中，不要求用(4)(5)證明其他命題.考情分析該內(nèi)容主要是以填空、選擇、綜合解答題的形式來(lái)考查，分值為3～10分．主要考點(diǎn)：比例的基本性質(zhì)、相似圖形的性質(zhì)、三角形相似的性質(zhì)和判定、圖形的位似和利用圖形的相似解決一些實(shí)際問(wèn)題等．預(yù)測(cè)2021年中考，以上考點(diǎn)依然會(huì)出現(xiàn)，建議加強(qiáng)定義的理解，掌握性質(zhì)，靈活運(yùn)用方法，并加以練習(xí)鞏固.一、比例線(xiàn)段1.定義：在四條線(xiàn)段a，b，c，d中，如果______________，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段．2.比例的性質(zhì)(1)基本性質(zhì)：如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么ad＝bc；反之亦成立．(2)合比性質(zhì)：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，則________________．(3)等比性質(zhì)：若eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)(b＋d≠0)，則____________．3.黃金分割：在線(xiàn)段AB上有一點(diǎn)C(AC＞BC)，若________，則C點(diǎn)就是AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比，AC∶AB的值等于________，約等于________．一條線(xiàn)段有________個(gè)黃金分割點(diǎn)．二、相似多邊形1.定義：各角對(duì)應(yīng)________，各邊對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形．相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做________．2.性質(zhì)(1)相似多邊形的對(duì)應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊________．(2)相似多邊形周長(zhǎng)的比等于________，面積的比等于相似比的________．三、相似三角形1.定義：對(duì)應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊________的兩個(gè)三角形叫做相似三角形，相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做________．相似比為1的兩個(gè)三角形是________三角形．2.性質(zhì)(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角________，對(duì)應(yīng)邊________．(2)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于________．(3)相似三角形周長(zhǎng)的比等于________，面積的比等于相似比的________．3.判定(1)兩角對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)三角形相似．(2)兩邊對(duì)應(yīng)________，且?jiàn)A角________的兩個(gè)三角形相似．(3)三邊對(duì)應(yīng)________的兩個(gè)三角形相似．(4)平行于三角形一邊的直線(xiàn)，截其他兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)構(gòu)成的三角形與原三角形相似．(5)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．注意：①直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形和原三角形相似．②在運(yùn)用三角形相似的性質(zhì)和判定定理時(shí)，要找對(duì)對(duì)應(yīng)角、對(duì)應(yīng)邊，相等的角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊．四、位似圖形1.定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)________，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形．這個(gè)點(diǎn)叫做________，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為_(kāi)_______．2.性質(zhì)：位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到________的距離之比都等于________．3.利用圖形的位似能夠?qū)⒁粋€(gè)圖形放大或縮小.eq\a\vs4\al(),相似三角形的性質(zhì)(賀州，第8小題，3分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，且AD∶AB＝1∶3，若DE∥BC，則S△ADE：S△ABC等于()A．1∶2B.1∶3C．1∶4D.1∶9【思路點(diǎn)撥】根據(jù)面積比等于相似比的平方即可得出答案．(貴港，第10小題，3分)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，則線(xiàn)段AD的長(zhǎng)為()A．2B.eq\f(5,2)C.3D.eq\f(9,2)eq\a\vs4\al(),相似三角形的判定(玉林，第9小題，3分)如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點(diǎn)G，則相似三角形共有()A．3對(duì)B．5對(duì)C．6對(duì)D．8對(duì)(賀州，第18小題，3分)如圖，在矩形ABCD中，∠ABC的平分線(xiàn)BE與AD交于點(diǎn)E，∠BED的平分線(xiàn)EF與DC交于點(diǎn)F，若AB＝9，DF＝2FC，則BC＝________．(結(jié)果保留根號(hào))eq\a\vs4\al(),位似變換(玉林、防城港，第7小題，3分)△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面積是3，則△A′B′C′的面積是()A．3B．6C．9D．12【思路點(diǎn)撥】利用位似圖形的面積比等于位似比的平方，進(jìn)而得出答案．∵△ABC與△A′B′C′是位似圖形，且△ABC與△A′B′C′的位似比是1∶2，△ABC的面積是3，∴△ABC與△A′B′C′的面積比為1∶4，則△A′B′C′的面積是12.(河池，第14小題，3分)如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，AC＝3，則eq\f(AB,CD)＝________．1.相似△ABC與△DEF的相似比為1∶3，則△ABC與△DEF的面積比為()A．1∶3B．1∶9C．3∶1D．1∶eq\r(3)2.將右圖中的箭頭縮小到原來(lái)的eq\f(1,2)，得到的圖形是()A.B.C.D.3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，若AC＝8，BC＝6，DE＝3，則AD的長(zhǎng)為()A．3B．4C．5D．6,第3題圖),第4題圖)4.如圖，△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①BC＝2DE；②△ADE∽△ABC；③eq\f(AD,AE)＝eq\f(AB,AC).其中正確的有()A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)5.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且∠ADE＝60°，BD＝3，CE＝2，則△ABC的邊長(zhǎng)為()A．9B．12C．15D．18,第5題圖),第6題圖)6.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠BAC＝90°，AB＝2，CD＝eq\r(3)，則AD的長(zhǎng)為()A.eq\f(3,2)eq\r(3)B．2C．3D．2eq\r(3)7.如圖，已知AD為△ABC的角平分線(xiàn)，DE∥AB交AC于E，如果eq\f(AE,EC)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(AB,AC)＝()A.eq\f(1,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,5),第7題圖),第8題圖)8.(桂林)如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的eq\o(EF,\s\up8(︵))上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則eq\f(1,2)BP＋CP的最小值是________.9.關(guān)于位似圖形的表述，下列命題正確的是________．(只填序號(hào))①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)所在的直線(xiàn)都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn)，那么，這兩個(gè)圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．10.如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD.要使△ACD與△ABC相似，應(yīng)添加的條件是________．(只需寫(xiě)出一個(gè)條件即可),第10題圖),第11題圖)11.如圖，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)是________．12.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿(mǎn)足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，則DB＝________.,第12題圖),第13題圖)13.如圖，身高是1.6m的某同學(xué)直立于旗桿影子的頂端處，測(cè)得同一時(shí)刻該同學(xué)和旗桿的影子長(zhǎng)分別為1.2m和9m，則旗桿的高度為_(kāi)_______m.14.(宜賓)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，連結(jié)CD交BE于點(diǎn)O.若AC＝8，BC＝6，則OE的長(zhǎng)是________．15.如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABC＝∠ADE.(1)寫(xiě)出圖中兩對(duì)相似三角形(不得添加字母和線(xiàn))；(2)請(qǐng)分別說(shuō)明兩對(duì)三角形相似的理由．16.如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB.(1)求證：△ADE∽△EFC；(2)如果AB＝6，AD＝4，求eq\f(S△ADE,S△EFC)的值．17.如圖，在△ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足AD＝AB，∠ADE＝∠C.(1)求證：∠AED＝∠ADC，∠DEC＝∠B；(2)求證：AB2＝AE·AC.18.如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交AC于E，交BC于D.求證：(1)D是BC的中點(diǎn)；(2)△BEC∽△ADC；(3)BC2＝2AB·CE.

第31講圖形的相似與位似【基礎(chǔ)梳理】一、1.eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)2.(2)eq\f(a±b,b)＝eq\f(c±d,d)(3)eq\f(a＋c,b＋d)＝eq\f(a,b)3.eq\f(AC,AB)＝eq\f(BC,AC)eq\f(\r(5)－1,2)0.6182二、1.相等成比例相似比2.(1)相等成比例(2)相似比平方三、1.相等成比例相似比全等2.(1)相等成比例(2)相似比(3)相似比平方3.(1)相等(2)成比例相等(3)成比例四、1.同一點(diǎn)位似中心位似比2.位似中心位似比【重點(diǎn)突破】[例1]D[變式1]B[例2]C[變式2]6eq\r(2)＋3[例3]D[變式3]eq\f(2,5)【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．B2.A3.C4.A5.A6.C7.B8.eq\r(17)9.②③10．∠ACD＝∠Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(∠ADC＝∠ACB或\f(AD,AC)＝\f(AC,AB)之一亦可))11.eq\f(60,13)12.313.1214.eq\f(9\r(5),11)15．解：(1)△ABC∽△ADE，△ABD∽△ACE.(2)①證明△ABC∽△ADE.∵∠BAD＝∠CAE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，即∠BAC＝∠DAE.又∵∠ABC＝∠ADE，∴△ABC∽△ADE.②證明△ABD∽△ACE.∵△ABC∽△ADE，∴eq\f(AB,AD)＝eq\f(AC,AE).又∵∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE.16．(1)證明：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠1＝∠C，∠A＝∠2.∴△ADE∽△EFC.(2)解：∵AB∥EF，DE∥BC，∴四邊形BDEF為平行四邊形，∴BD＝EF.∵AB＝6，AD＝4，∴EF＝BD＝AB－AD＝6－4＝2，∴eq\f(S△ADE,S△EFC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AD,EF)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))eq\s\up12(2)＝4.17．證明：(1)在△ADE和△ACD中，∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAC，∴∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE，∠ADC＝180°－∠DAE－∠C.∴∠AED＝∠ADC.∵∠AED＋∠DEC＝180°，∠ADB＋∠ADC＝180°，∴∠DEC＝∠ADB，又∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠B，∴∠DEC＝∠B.(2)在△ADE和△ACD中，由(1)知∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠DAE，∴△ADE∽△ACD，∴eq\f(AD,AE)＝eq\f(AC,AD)，即AD2＝AE·AC，又AB＝AD，∴AB2＝AE·AC.1