二次型及其規(guī)范形

關(guān)于二次型及其規(guī)范形第1頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理任一秩為r的二次型均可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)目赡婢€(xiàn)性替換化為其中，，。第2頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推論任一秩為r的對(duì)稱(chēng)矩陣均合同于一個(gè)下列形式的對(duì)角矩陣其中。第3頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是n元二次型，且秩(A)=r：1．f是復(fù)二次型存在可逆復(fù)線(xiàn)性替換把

f化為其中。再令

第4頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則f被進(jìn)一步變?yōu)?/p>

稱(chēng)上式為復(fù)二次型的規(guī)范形。

定理任意復(fù)二次型均可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)目赡鎻?fù)線(xiàn)性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。推論對(duì)任意一個(gè)秩為r的n階復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣A，必存在n階可逆復(fù)矩陣C，使得

第5頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例設(shè)A、B均為n階復(fù)對(duì)稱(chēng)矩陣，則A與B在復(fù)數(shù)域上合同的充分必要條件是2．f是實(shí)二次型

存在可逆實(shí)線(xiàn)性替換把f化為其中。

第6頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再令則f被進(jìn)一步變?yōu)榉Q(chēng)上式為實(shí)二次型的規(guī)范形。

定理（慣性定理）任意實(shí)二次型均可經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)目赡鎸?shí)線(xiàn)性替換化為規(guī)范形且規(guī)范形唯一。第7頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月推論對(duì)任意一個(gè)秩為r的n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A，一定存在n階可逆實(shí)矩陣C，使得其中p由A唯一確定。

定義在秩為r的實(shí)二次型f的規(guī)范形中，系數(shù)是1(或-1)的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)p(或r-p)稱(chēng)為f的正(或負(fù))慣性指數(shù)，稱(chēng)2p

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r為f的符號(hào)差。第8頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

注實(shí)二次型的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)大于(小于)零的平方項(xiàng)個(gè)數(shù)即為正(負(fù))慣性指數(shù)。例已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣

與下述三個(gè)對(duì)角矩陣之一合同，試確定之。第9頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解考慮二次型

對(duì)其作可逆線(xiàn)性替換則第10頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由此得f的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1。而二次型

中，只有的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1。所以，f只能通過(guò)非退化線(xiàn)性變換為，即A只能與合同。

例設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且n為奇數(shù)。證明：若，則存在n維非零列向量，使▌第11頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明考慮n元二次型

用正交替換把其化為標(biāo)準(zhǔn)型則第12頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月因，，且n為奇數(shù)，所以均不為零且至少有一個(gè)大于零。不妨設(shè)。取n維列向量，則第13頁(yè)，課件共15頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令。因