音樂中的物理

音樂中的物理音樂中的物理表觀聯(lián)系首先，我想先從表觀和感性的角度談一談物理與音樂的聯(lián)系。從美學(xué)角度談起。音樂之美在于每一個(gè)音符（不論單音還是和弦）都讓人感到快感。藝術(shù)家們就是利用這一點(diǎn)將自己的情感融入旋律中，讓人們?cè)谝舴奶鴦?dòng)中或喜或悲。單純分析每一個(gè)音節(jié)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：單音總是十分悅耳，而只有某些音節(jié)混合在一起時(shí)會(huì)讓人感到悅耳，人們將其稱之為和弦。早在畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）時(shí)代，人們就對(duì)此問題進(jìn)行過深入的探討。畢達(dá)哥拉斯就認(rèn)為，兩根相似的琴弦處于相同張力下的時(shí)候，當(dāng)它們同時(shí)發(fā)聲時(shí)，如果它們的長度之比為兩個(gè)小整數(shù)之比，那么發(fā)出的音程是悅耳的。當(dāng)時(shí)的畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派——人們稱之為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派——對(duì)此感受頗為深刻，并把它作為學(xué)派的基礎(chǔ)，甚至相信在天體方面也會(huì)有類似的定律。而牛頓力學(xué)創(chuàng)立之后，我們十分驚喜地發(fā)現(xiàn)，行星運(yùn)動(dòng)的軌道的確存在著數(shù)字間的某些定律，即萬有引力定律。不僅僅是定律本身，定律推導(dǎo)出的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律——盡管只是接近于完美——足以讓人感到自然界的偉大。于是，我們不該指責(zé)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中人，因?yàn)閷?duì)數(shù)字的威力懷有神秘信仰的不只是他們，也包括許多物理學(xué)家——因?yàn)槲锢碓环Q為“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”。當(dāng)然，除了“天體音樂”外，物理的很多方面都蘊(yùn)含著音樂旋律一樣的數(shù)字關(guān)系，如量子能級(jí)結(jié)構(gòu)等。而我這里不想列舉更多的音樂一般的物理現(xiàn)象，只想談?wù)勔魳分刑N(yùn)含的物理現(xiàn)象。即便是這一點(diǎn)，物理之美已經(jīng)顯現(xiàn)無疑。二、弦上的振動(dòng)弦的一端發(fā)生振動(dòng)時(shí)，弦上就會(huì)生成一列波，其方程可表示為通常寫成復(fù)數(shù)形式這樣寫的一大好處就是將繁瑣的三角函數(shù)運(yùn)算簡化為指數(shù)的加減法運(yùn)算，從而將線性微分方程變成實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式方程。當(dāng)一端固定時(shí)，令固定端點(diǎn)為，則反射波與原來的波疊加，方程變?yōu)閷⒎匠套優(yōu)閺?fù)數(shù)形式從這個(gè)方程可以看出，弦上的每一個(gè)點(diǎn)都在以ω為角頻率振動(dòng)，只是位移不同而已。在時(shí)，位移。這些點(diǎn)我們稱之為“波節(jié)”。這種弦上的圖像被稱為“駐波”。琴弦總是兩端都固定的。也就是說，弦上各點(diǎn)振動(dòng)的角頻率必須滿足因此，我們知道，兩端固定的弦具有做正弦運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)，但僅能以某些確定的頻率做正弦運(yùn)動(dòng)。隨著n的不同，我們看到的弦上的波節(jié)數(shù)也不同。音樂中的物理全文共3頁，當(dāng)前為第1頁。但一般的情況是弦上的振動(dòng)總是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的正弦運(yùn)動(dòng)疊加而成。這樣的弦上的波節(jié)分布是不均勻的。音樂中的物理全文共3頁，當(dāng)前為第1頁。而事實(shí)上，任何運(yùn)動(dòng)都可以這樣來分析，即設(shè)想它是所有各種由適當(dāng)振幅和相位組成的不同模式的運(yùn)動(dòng)之和。后面的分析還將利用這一點(diǎn)。這樣，我們就基本研究清楚琴弦的振動(dòng)方式了。三、悅耳的音符重新回到畢達(dá)哥拉斯和他的學(xué)派，也就是當(dāng)數(shù)學(xué)分析工具已經(jīng)成為了了解自然界的良好工具的時(shí)候，重新去了解他們的發(fā)現(xiàn)。先說說什么是噪聲。噪聲就是那些聽上去并不是那么悅耳的聲音。不只是建筑工地才能發(fā)出噪聲，即便是給我們帶來無數(shù)悅耳音符的鋼琴，當(dāng)某人同時(shí)按下“duo”和“re”時(shí)，我們也可以聽到不和諧的音調(diào)。不過在物理學(xué)家看來，這仍然不是噪聲。對(duì)于一根弦，無論我們?cè)鯓訐軇?dòng)它，在一個(gè)周期后，它總是會(huì)重復(fù)上一個(gè)周期的音調(diào)。而噪聲不同。當(dāng)噪聲襲來時(shí)，如果我們?cè)诙溥叞卜乓粋€(gè)氣壓計(jì)，讀數(shù)的人將不會(huì)從讀數(shù)中發(fā)現(xiàn)任何規(guī)律——也就是說，我們的耳膜受到的是沒有任何規(guī)律的音符群！這種音符群就被物理學(xué)家們稱為噪聲。這時(shí)候，我們實(shí)際上也得到了樂音的定義：周期性振動(dòng)產(chǎn)生的聲波。音樂家們談?wù)摌芬魰r(shí)，總是從響度、音調(diào)、“音色”三個(gè)方面談起。聲波的響度在升學(xué)中也叫做聲強(qiáng)，可以用下面的方程計(jì)算聲強(qiáng)這里的速度v是一個(gè)標(biāo)量。如果把它看成矢量，那么I也是一個(gè)矢量，表示能量隨聲波的流動(dòng)，叫做“班印廷矢量”。音調(diào)對(duì)應(yīng)于樂音中聲波的振動(dòng)周期。從上面的論述中可以看出，這是樂音特有的行為。音色是樂音的一個(gè)更為復(fù)雜的特性。它能反映為什么古箏和鋼琴在發(fā)出同樣音調(diào)和響度的樂音時(shí)，我們依然能夠分辨出這兩種樂器。畫出固定點(diǎn)空氣壓強(qiáng)與時(shí)間的函數(shù)圖像，我們就很容易了解這三個(gè)概念：響度由每個(gè)周期上曲線下的面積決定，音調(diào)由周期表示，而音色則取決于圖像的形狀。下面我們重點(diǎn)討論什么決定樂音的音色。這一點(diǎn)關(guān)系到我們?cè)撊绾涡蕾p音樂之美和物理之美。數(shù)學(xué)分析中傅利葉級(jí)數(shù)(FourierSeries)的方法為我們的研究提供了很好的工具。這套理論首先由波那利(Bernoulli)在1753年首先提出，并由迪利克萊特(Dirichlet)在1829年對(duì)這套理論給出完整的證明。這種分析法的用途不僅僅在分析樂音上，而傅利葉(Fourier)首先對(duì)這套方法的利用是在1822年出版的《熱的分析》。對(duì)于任何一個(gè)連續(xù)的周期函數(shù)，我們總能將它寫成傅利葉級(jí)數(shù)的形式其中音樂中的物理全文共3頁，當(dāng)前為第2頁。音樂中的物理全文共3頁，當(dāng)前為第2頁。于是，我們就將任意的一個(gè)樂音分解成頻率為ω的整數(shù)倍的若干個(gè)音符的和。這時(shí)，我們將ω稱為“基頻”。而a和b的值就決定了樂音的音色?，F(xiàn)在我們?cè)撊绾卫斫猱呥_(dá)哥拉斯的發(fā)現(xiàn)呢？我們從駐波的知識(shí)中可以知道，基頻ω由的長度決定。當(dāng)兩根弦的長度之比為兩個(gè)小整數(shù)之比，比如說是2比3，那么它們的基頻之比就是3比2。那么，短弦產(chǎn)生的二次諧波就和長弦產(chǎn)生的三次諧波頻率相等。于是，我們聽到了悅耳的聲音。不過我們至今還不能確定，當(dāng)我們判斷一個(gè)音符是否悅耳時(shí)，我們的耳朵究竟是在與諧波匹配還是在做算術(shù)？傅利葉級(jí)數(shù)的另一大好處在于它滿足帕斯沃(Parseval)等式，即而它恰好表示了聲波的能量！這是因?yàn)椴ㄖ械哪芰颗c其振幅的平方成正比，對(duì)于一個(gè)形狀復(fù)雜的波來說在一個(gè)周期內(nèi)的能量與成正比。由此可見，樂音的三個(gè)特性——音色、音調(diào)和響度——都蘊(yùn)含在傅立葉級(jí)數(shù)的公式中！關(guān)于樂音，我先寫到這里。也許，其中蘊(yùn)含的音樂之美和物理之美不能很好的表達(dá)出來，但我想從這些數(shù)學(xué)的表達(dá)式中，人們總是能找到數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用。至少我還抱著畢達(dá)格拉斯式的幻想——數(shù)學(xué)在解決自然界的問題中有著巨大的威力，而物理正是要利用這種威力去解決自然界中的所有問題。當(dāng)然，現(xiàn)在的數(shù)學(xué)中還有很多定律沒有找到它在物理