案例分析：現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀1

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課題：平均數(shù)

課時：一課時

材料預(yù)備：老師的講臺上有一個“工具箱”，里面預(yù)先預(yù)備了一些粉筆頭、一些碎紙、一些紗線，一些正方體的小積木，而同學(xué)則預(yù)備有鉛筆盒、記錄本等。

臨床描述

在本節(jié)課的一開頭，老師就先向同學(xué)展現(xiàn)了一段錄像，在錄像中描述了這樣一段情節(jié)（簡述）：

在一個幼兒園的某一個教室里，十幾個幼兒正圍坐在一起，玩著“搭紙”嬉戲。這時，一位女老師手捧一個紙盒走進來，從鏡頭中可以看到，里面有許多有著美麗包裝的糖果。老師將這個紙盒放在同學(xué)前面的一個小桌上（類似于老師的講臺），又匆忙出去了。

小伴侶們開頭好似并沒有太多的注重，教師拿了什么進來，又為什么要出去。但是，由于這位教師好久沒有進來，小伴侶們就開頭有些驚奇了。先是竊竊私語，然后是出聲的爭辯。這時可以聽到他們談?wù)撟疃嗟氖?，盒子里面畢竟是什么。再后，有一個小伴侶大著膽子走上前，看到了紙盒里是好多的糖果，大為高興，揮著小手大聲地告知大家。于是，小伴侶紛紛上前探個畢竟。開頭是二、三個，然后就有許多小伴侶上來看。

瞧這些小伴侶，有些高興和騷動。還有幾個小伴侶的小手開頭不停地動著，而且頭不斷地向前張望著。

最終，一個小伴侶忍不住靜靜上來，在紙盒前駐足片刻，拿了一顆糖果。于是，又有幾個小伴侶開頭學(xué)樣，上來向紙盒伸手，但并未看清他們都拿了多少糖果。再后，就是全部小伴侶都一擁而上，紛紛伸手去抓糖果。

這下可好，那些小伴侶坐的、站的都有；有的在將糖果往自己的小口袋放，有的在向別人要糖果，有的則在哭,……。

此時，老師進來了，看到小伴侶們亂作一團的場景，再看紙盒，里面早已空了，就知道是怎么回事了。

老師免不了要向幼兒做一番教導(dǎo)。然后問了他們幾個問題：你們想過沒有，為什么有的小伴侶很興奮，有的小伴侶很不興奮？應(yīng)當(dāng)怎樣做，才干使大家都興奮？接下來你們應(yīng)當(dāng)怎么做？想一想，然后教師可能會怎么做？（錄像結(jié)束）

接著，老師邊播放其次遍錄像，邊讓全班同學(xué)思量幼兒園教師的問題。提出，可以每四個學(xué)生組成一組舉行研究，并利用自己的學(xué)習(xí)用品來模擬剛才幼兒園小伴侶的行為過程，提出自己想要弄懂的問題。

于是，同學(xué)有的用畫線段圖的方式，有的用用擺小物品（如一些長短不一的細繩）的方式，也有的利用老師預(yù)先給出的正方體小積木，紛紛按照老師提出的問題，去嘗試解決的辦法。

可以看到，有一個小組先是將一堆小積木分成多少不一的幾堆，然后是試著將多的積木往少的地方放?？赡苁且驗榉e木的塊數(shù)不巧，加上多少相差太大，所以，四個人邊動手，邊爭辯，終于也沒有獲得勝利。驟然，其中一個同學(xué)提出，為什么不將這些積木先所有集中起來，然后來重新分呢？這次，小組獲得了勝利，他們先將不同塊數(shù)的幾積累木堆在了一起，然后像“發(fā)牌”一樣，每次一塊，一次發(fā)給每一堆。

這時，老師正巧在巡察中走了過來，她向小組的學(xué)生提了一個問題：想想看，還有什么方法能更快的解決問題呢？于是，小組又綻開了研究。新的辦法浮現(xiàn)了，就是先數(shù)出積木的總數(shù)目，然后數(shù)一數(shù)要放幾堆，用除法一算，就知道每一堆應(yīng)當(dāng)有幾塊，這樣，只要直接將積木一次發(fā)給每一堆就可以了。

還可以看到，有一個小組的學(xué)生從老師講臺上的工具箱內(nèi)取了若干（好似是5根）長短不一的細紗線，開頭時，他們曾嘗試這些紗線的一頭對齊并捏緊，然后預(yù)備將長的部分都剪下來，但是，很快他們就放棄了這個嘗試，由于他們發(fā)覺，假如不斷地將多的部分剪下來再拼到少的地方去的話，活動是很難完成的。于是，在小組的一個學(xué)生的啟發(fā)下，他們又嘗試先量出每一根紗線的長度，可能想通過計算來解決問題。固然，他們終于也放棄了這個方法，由于這些紗線的長度都不是一個整數(shù)值（這可能時由于老師原來在挑選紗線長度時就是任意的，也可能是老師刻意設(shè)計的），所以計算十分的不便利。似乎活動陷入了僵局。

驟然，一個其他小組的同學(xué)走了過來（可能這個老師在同學(xué)的小組活動時，是允許甚至鼓舞同學(xué)走出自己小組范圍的），猛地冒出了一句話：哎呀，把他們接起來嗎！

真是柳暗花明又一村，一句話點醒了夢中人！小組里其中兩個同學(xué)的反應(yīng)最快，他們馬上動手，將這5根紗線打結(jié)連了起來，接下來就更明了了，再通過“折”的方式，將這根長的紗線折成5斷，并不斷的修正它們的長度，直到這5根紗線的長度相同為止。

……

觀看中發(fā)覺，在這個階段，各小組的同學(xué)基本上就是在動手做各種嘗試性的操作活動，并沒有做任何的記錄活動。

當(dāng)這個階段的活動基本結(jié)束以后，老師向每一個活動小組發(fā)了一張紙（可以看到，上面寫著“工作記錄表”）。她要求同學(xué)通過研究往返憶剛才自己的活動過程，思量并填寫這張“工作記錄表”。

這張“工作記錄表”大致是這樣的：

你的工作表格

二、預(yù)測

你能不能猜猜這位幼兒園的教師要解決這個問題，她第一步將會怎么做？請說說你的理由。

三、學(xué)習(xí)方案

你第一步主要想探索的問題

終于你想弄清晰的問題

五、評價

現(xiàn)在你可以自己來推斷一下，本來的猜想對嗎？

假如有錯，主要是什么地方錯了？為什么會錯？

最后，通過各小組的同學(xué)陳述自己的發(fā)覺和主意，設(shè)法來證實自己的結(jié)論，從而得出這一類問題的基本性質(zhì)以及問題解決的基本特征和基本辦法。

接下來，老師還故意識地設(shè)計了一系列的跟進活動，來進展同學(xué)的學(xué)問以及將學(xué)問運用于實際情景的能力：

活動一為迎接“城市運動會”，小學(xué)接到一項任務(wù)，為大會編織一批彩花。大隊部將這個任務(wù)交給了五（1）中隊。中隊第一天派了6位少先隊員，結(jié)果共做了92朵彩花，其次天派了8位少先隊員，結(jié)果共做了106朵彩花。到了運動會召開的前一天，大會驟然要求小學(xué)再補充250朵彩花，并在一天內(nèi)完成。你認為派多少個少先隊員來完成此任務(wù)較為合適？為什么？

活動二下面是兩個小組的英語朗誦成果，你能用多少種辦法來推斷這兩個小組的成

活動三現(xiàn)在你將第一小組的第6號的學(xué)生去掉，這時你再用本來的辦法舉行成果好壞的推斷，并舉行一些比較。你的結(jié)論和發(fā)覺還是本來的一樣嗎？

活動四下面是一份某公司的月工資報表。假如公司讓你到勞務(wù)市場去聘請一名職員，

附：課后的調(diào)查

觀看者拿了本案例的“跟進活動”中的第一個問題，進入了采納“常規(guī)辦法”來組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”學(xué)問的不同的五個班級，在每次課后都隨機地選取五個同學(xué)舉行測試，時光限制在2分鐘，結(jié)果是,在這25個樣本中，問題解決的精確?????率不足30％，而錯誤率則要高達72％，其中問題表征的錯誤人數(shù)達16人，占64％，計算錯誤2人，占8％。

通過訪談進一步發(fā)覺，不能將問題與已經(jīng)習(xí)得的學(xué)問建立聯(lián)系的人數(shù)有11人，其余的同學(xué)是不能理解問題“你認為派多少個少先隊員來完成此任務(wù)較為合適？為什么？”的意義。其中曾有這樣一段對話：

觀看者：你想想，剛才在課內(nèi)學(xué)習(xí)了什么學(xué)問？

同學(xué)：平均數(shù)的學(xué)問。

觀看者：那你認為能不能用剛才學(xué)到的學(xué)問來解決這個問題呢？

同學(xué)：（遲疑）好象不能？

觀看者：為什么不能？

同學(xué)：由于這道題目里面沒有“平均”這個字（即平均這個詞語——觀看者注）【主題】

在學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織過程中，畢竟應(yīng)該如何體現(xiàn)浮現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀與生活數(shù)學(xué)觀這樣的學(xué)科性質(zhì)特征？

【提醒】

長久的討論已經(jīng)表明，兒童經(jīng)常是通過探究他們自己的生活世界和精神世界來了解并獲得學(xué)習(xí)的，經(jīng)常是通過自己的大量的實踐活動來獲得數(shù)學(xué)學(xué)問的，經(jīng)常是在許許多多的問題解決過程來進展自己的數(shù)學(xué)認知能力的。兒童熟悉數(shù)學(xué)的起點并不是符號所組成的規(guī)律公

理，而是它們自己的生活實踐所形成的閱歷。

【要求】

·評析應(yīng)該緊緊扣住學(xué)校數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)的本質(zhì)來綻開；

·在評析過程中做到有理有據(jù)；

·在評析過程中要注重結(jié)合教材中的第一、第九章的相關(guān)內(nèi)容來舉行；

對于“數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“作為生活的數(shù)學(xué)，往往是一種閱歷符號的數(shù)學(xué)，更多運用的是語言和直覺。作為生活的數(shù)學(xué)，就是指存在于生活實踐中的那些非形式的數(shù)學(xué)，是人們在社會生活的實踐活動中獲得溝通和理解的數(shù)學(xué)。”可是，我更多地將它理解為孩子們原本已獵取的與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活閱歷，這正是將兒童日常的生活或閱歷與書本上的數(shù)學(xué)結(jié)合起來的最好的橋梁，也正是許多數(shù)學(xué)特級老師理論中所倡導(dǎo)的“關(guān)注同學(xué)對相關(guān)學(xué)問的把握程度，對已有的閱歷舉行遷移?！边@里的“遷移”的“已有的閱歷”，就是將孩子們已經(jīng)獲得的生活數(shù)學(xué)。“遷移”，就是對生活數(shù)學(xué)舉行理論化和系統(tǒng)化，使之成為書本上數(shù)學(xué)學(xué)問。

在這個案例中，孩子們雖然沒有學(xué)過平均數(shù)，但是依照他們原有的生活閱歷，他們同樣可以將積木用“發(fā)牌”的方式平均分配好（也可以每一次先等量地分發(fā)給每一個人，然后再這樣輪發(fā)）；同樣可以將長短不一的線先接起來然后平均分成一樣長的幾份……這些，都是孩子們生活中堆積起來的閱歷，是生活數(shù)學(xué)。兒童更多的是利用生活中直觀材料的操作來解決問題，惟獨當(dāng)任務(wù)較大，要分的物品或者對

象數(shù)額比較大、比較復(fù)雜時，才開頭嘗試獲得另一種辦法，終于形成了用“除法”的概念和算法。在學(xué)校教學(xué)《熟悉平均數(shù)》時，就從現(xiàn)實生活情境中引入概念，交流數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系結(jié)合實際問題（通過小組口算競賽）競賽是哪一組獲勝，引導(dǎo)同學(xué)綻開溝通、思量。讓同學(xué)感觸到數(shù)學(xué)就在我們身邊，從而深刻熟悉到數(shù)學(xué)的價值與魅力。在同學(xué)的活動研究中，在認知矛盾下，熟悉在人數(shù)不同的狀況下，比總數(shù)明顯也不公正；而感觸平均數(shù)是實際生活的需要，也產(chǎn)生了學(xué)習(xí)“平均數(shù)”的需求。教學(xué)惟獨組織了這個過程，同學(xué)對平均數(shù)的統(tǒng)計意義以及作用才有比較深刻的理解，也才干在面臨相類似問題時，能自主地想到用平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，去舉行比較和分析。

對于“現(xiàn)實數(shù)學(xué)觀”的解釋是：“現(xiàn)實數(shù)學(xué)是依賴‘局部組織’來支撐的，它往往是依靠于人的閱歷的，是存在于我們的現(xiàn)實之中的。對于大多數(shù)的人來說，是他們加強與外部世界舉行交流和交互，從而獲得高質(zhì)量生存并推動社會長進的一些須要的學(xué)問，由于每一個人的經(jīng)受不同，他們對現(xiàn)實數(shù)學(xué)的理解也會有差異?！薄捌骄鶖?shù)”作為一個數(shù)學(xué)概念，是對一組數(shù)的集中和離散程度的本質(zhì)熟悉。把握了單個詞匯并不一定就是理解了概念。本例中，在采納“常規(guī)辦法”來組織學(xué)習(xí)“平均數(shù)”學(xué)問的班級中，雖然在概念的形成過程中，設(shè)計了生活化情境，可在跟進活動中同學(xué)仍然不能將問題與習(xí)得學(xué)問建立聯(lián)系甚至不能理解真切情境問題本身的意義，就是由于他們沒有真正理解作為數(shù)學(xué)概念的“平均數(shù)”的本質(zhì)意義。而學(xué)校數(shù)學(xué)學(xué)教學(xué)中，老師就

會充分制造有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，讓同學(xué)理解平均數(shù)的意義和學(xué)會平均數(shù)的算法，老師應(yīng)從多方面對同學(xué)提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，讓每一位同學(xué)主動從事數(shù)學(xué)活動，讓同學(xué)自己探究出求平均數(shù)的辦法。一種是先合再分，一種是移多補少。因為生活閱歷和學(xué)問基礎(chǔ)，同學(xué)中有一部分已經(jīng)知道用移多補少的辦法找出平均數(shù)，其實這種辦法也能夠利用教材上的統(tǒng)計圖很好地舉行過程的演示；還有一部分數(shù)感較強的同學(xué)，能夠按照提供的一組數(shù)據(jù)感覺出平均數(shù)也許是多少；而用總數(shù)除以份數(shù)得到平均數(shù)的計算，也不難，同學(xué)絕對會有這種思維。平均數(shù)”的概念比較抽象，無數(shù)人對平均數(shù)的含義不理解。于是教學(xué)中可以設(shè)計了兩個包含平均數(shù)的句子，通過分析，讓同學(xué)進一步理解平均數(shù)反映的是一組數(shù)據(jù)的總體狀況是一個虛擬的數(shù)，而不是詳細的真切數(shù)。通過同學(xué)對句子的解釋可以看出同學(xué)對于“平均數(shù)”的表象已經(jīng)逐步清楚起來。

學(xué)校生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實質(zhì)是，用自己與世界互相作用的獨特閱歷去建構(gòu)有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)問和技能的過程。從這個意義上說，學(xué)校兒童的生活閱歷理所固然地成為他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要基礎(chǔ)，進而成為我們構(gòu)建學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)模式和開發(fā)學(xué)校數(shù)學(xué)活動課程的浩大資源庫。學(xué)校兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與生活閱歷是緊密相連的，他們的學(xué)習(xí)過程就是一個閱歷的激活、利用、調(diào)節(jié)、提升的過程，是“自己對生活現(xiàn)象的解讀”，是“建立在閱歷基礎(chǔ)上的一個主動建構(gòu)的過程”。學(xué)校兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動與其說是“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)”，倒還不如說是生活閱歷的“數(shù)學(xué)化”。

同學(xué)從現(xiàn)實動身，經(jīng)過反思，達到“數(shù)學(xué)化”。在這