2015年港澳臺(tái)聯(lián)考數(shù)學(xué)模擬題

PAGE62015年中華人民共和國普通高等學(xué)校聯(lián)合招收華僑、港澳地區(qū)、臺(tái)灣省學(xué)生入學(xué)考試模擬試題數(shù)學(xué)這份試卷共三個(gè)大題，共27小題.滿分150分.考試時(shí)間為120分鐘.考生注意：這份試卷共三個(gè)大題，所有考生做一、二題，在第三題（21、22、23）題中任選兩題；理工考生做24、25題；文史考生做26、27題。第一部分選擇題(共50分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合,則滿足的集合B的個(gè)數(shù)是（）.A．1B．3C．4D2．如果復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)的值為（）.A．－2 B．1 C．2 D．1或－23．計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制進(jìn)行處理的.二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”，如表示二進(jìn)制數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是=13，那么將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是（）.A．B．C．D．4．若函數(shù)的一個(gè)正數(shù)零點(diǎn)附近的函數(shù)值用二分法計(jì)算，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1)=－2f(1.5)=0.625f(1.25)=－0.984f(1.375)=－0.260f(1.4375)=0.162f(1.40625)=－0.054那么方程的一個(gè)近似根（精確到0.1）為（）.A．1.2B．1.3C．1.4D．1.55．下圖是2007年在廣州舉行的全國少數(shù)民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上，七位評(píng)委為某民族舞蹈打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）.A．，B．，C．，D．，6．定義運(yùn)算ab=，則函數(shù)f(x)=12的圖象是（）.xxyo1xyo1xyo1xyo1ABC7．橢圓滿足這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)射光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)在設(shè)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤，滿足方程：，點(diǎn)A、B是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)靜止的小球放在點(diǎn)A處，從點(diǎn)A沿直線出發(fā)（不過橢圓的頂點(diǎn)），經(jīng)橢圓壁反彈后，再回到點(diǎn)A時(shí)，小球經(jīng)過的最短路程是（）. A．20 B．18 C．16 D．以上均有可能8．已知函數(shù)①；②；③；④.其中對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)自變量都存在唯一個(gè)自變量=3成立的函數(shù)是（）. A．③ B．②③ C．①②④ D．④9．設(shè)函數(shù)的圖像過點(diǎn)，其反函數(shù)的圖像過點(diǎn)，則等于A．6 B．5 C．410．設(shè)向量滿足，且，則A．1 B．2 C．411．設(shè)，則是的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．一次函數(shù)滿足,則是().A.B.24．（本小題滿分15分，文史類考生不做）已知圓：.（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程;（2）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.25．（本小題滿分15分，文史類考生不做）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn，點(diǎn)在直線上.數(shù)列{bn}滿足，前9項(xiàng)和為153.（Ⅰ）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n和為Tn，求使不等式對(duì)一切都成立的最大正整數(shù)k的值.26．（本小題滿分15分，理工類考生不做）已知圓：.（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程;27．（本小題滿分15分，理工類考生不做）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)為和Sn，點(diǎn)在直線上.數(shù)列{bn}滿足，前9項(xiàng)和為153.求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；

參考答案一、選擇題題號(hào)369101112CDAB答案CDAD

1.解析：，，則集合B中必含有元素3，即此題可轉(zhuǎn)化為求集合的子集個(gè)數(shù)問題，所以滿足題目條件的集合B共有個(gè)。故選擇答案C。2．解析：即，故選擇答案A3．解析：，答案：C4.解析：f(1.40625)=－0.054<0，f(1.4375)=0.162>0且都接近0，由二分法可知其根近似于1.4。答案：C5．解析：5個(gè)有效分為84，84，86，84，87；其平均數(shù)為85。利用方差公式可得方差為1.6．答案：C6.解析：信息遷移題是近幾年來出現(xiàn)的一種新題型，主要考查學(xué)生的閱讀理解能力．本題綜合考查了分段函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像，以及數(shù)學(xué)閱讀理解能力和信息遷移能力．當(dāng)x＜0時(shí),2x＜1,f(x)=2x；x＞0時(shí),2x＞1,f(x)=1．答案：A7．解析：由橢圓定義可知小球經(jīng)過路程為4a，所以最短路程為16，答案：C8．解析：②④是周期函數(shù)不唯一，排除；①式當(dāng)=1時(shí)，不存在使得成立，排除；答案：A二、填空題：13．解析：．14．解析：或15．解析：利用幾何概型。16．解析：畫圖，聯(lián)立方程得，代入17．解析：由，得18．解析：；；；所以函數(shù)的最小值為219．解析：連接，PC是⊙O的切線，∴∠OCP=Rt∠．∵30°，OC==3，∴，即PC=．20.解析：由余數(shù)定理f(-1)=(-1)8+3=4.4三．解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明．證明過程和演算步驟．21.14分解:（I）共有種結(jié)果（II）若用(a,b)來表示兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)的結(jié)果有:（1,2），（2,1），（1,5），（5,1），（2,4），（4,2），（3,3），（4,5），（5,4），（3,6），（6,3），（6,6）共12種（III）兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率是：P＝22、14分解：（I）∵角A為銳角，取值最大值，其最大值為分（II）由分在△ABC中，由正弦定理得：分23、14分解法一：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）設(shè)E是BD的中點(diǎn)，P—ABCD是正四棱錐，∴又，∴∴∴∴即（2）設(shè)平面PAD的法向量是，∴取得，又平面的法向量是∴∴（3）∴到平面PAD的距離解法二：（1）設(shè)AC與BD交點(diǎn)為O，連PO；∵P—ABCD是正四棱錐，∴PO⊥面ABCD，∴AO為PA在平面ABCD上的射影，又ABCD為正方形，∴AO⊥BD，由三垂線定理知PA⊥BD，而BD∥B1D1；∴（2）由題意知平面PAD與平面所成的銳二面角為二面角A-PD-B；∵AO⊥面PBD，過O作OE垂直PD于E，連AE，則由三垂線定理知∠AEO為二面角A-PD-B的平面角；可以計(jì)算得，（3）設(shè)B1C1與BC的中點(diǎn)分別為M、N；則到平面PAD的距離為M到平面PAD的距離；由VM-PAD=VP-ADM求得。24、15分解（Ⅰ）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿足題意②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得∴，，故所求直線方程為綜上所述，所求直線為或（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為,則點(diǎn)坐標(biāo)是分∵，∴即，又∵，∴由已知，直線m//ox軸，所以，∴點(diǎn)的軌跡方程是，軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長(zhǎng)軸為8的橢圓，并去掉兩點(diǎn)。25、15分解：（Ⅰ）由題意，得故當(dāng)時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，，而當(dāng)n=1時(shí)，n+5=6，所以，又，所以{bn}為等差數(shù)列，于是而因此，（Ⅱ）所以，由于，因此Tn單調(diào)遞增，故令26、15分解①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程