2023屆西藏拉薩市高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)（文）試題【含答案】

拉薩市2023屆高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合，，則A. B. C. D.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則A. B. C. D.3.已知函數(shù)，則A.2 B.3 C.4 D.54.已知點(diǎn)F是拋物線C：的焦點(diǎn)，A是拋物線C上的一點(diǎn)，若，，則點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為A. B. C. D.5.某生物實(shí)驗(yàn)室對(duì)某種動(dòng)物注射某種麻醉藥物，下表是注射劑量（單位：mL）與注射4h后單位體積血液藥物含量相對(duì)應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，得到變量與的線性回歸方程為，則的值為23456756.6910.415A.12.2 B.12.5 C.12.8 D.136.已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為A. B. C. D.7.位于徐州園博園中心位置的國際館（一云落雨），使用現(xiàn)代科技霧化“造云”，打造溫室客廳，如圖，這個(gè)國際館中3個(gè)展館的頂部均采用正四棱錐這種經(jīng)典幾何形式，表達(dá)了理性主義與浪漫主義的對(duì)立與統(tǒng)一.其中最大的是3號(hào)展館，其頂部所對(duì)應(yīng)的正四棱錐底面邊長為19.2m，高為9m，則該正四棱錐的側(cè)面面積與底面面積之比約為（參考數(shù)據(jù)：）A.2 B.1.71 C.1.37 D.18.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的T的值是A.32 B.48 C.64 D.729.過點(diǎn)作斜率不為0的直線與圓：交于A，B兩點(diǎn)，若，則直線的斜率A. B. C. D.10.已知，滿足，，則A. B. C. D.11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是A.函數(shù)的最小正周期是B.函數(shù)的最大值為C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.函數(shù)在上單調(diào)遞增12.已知，，，則，，的大小關(guān)系是A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為_________.14.已知平面向量，在網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長均為1，則_________.15.已知的斜邊，，現(xiàn)將繞邊旋轉(zhuǎn)到的位置，使，則所得四面體外接球的表面積為__________.16.已知雙曲線：與雙曲線有相同的漸近線，是雙曲線右支上任一點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為M，N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若的最小值是，則當(dāng)取最小值時(shí)，的面積是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）某地足球協(xié)會(huì)為了調(diào)查球迷對(duì)第二十二屆世界杯的了解情況，組織了一次相關(guān)知識(shí)測試活動(dòng)，并從中抽取了50位球迷的測試成績（取正整數(shù)，滿分100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按照，，，，進(jìn)行分組并作出頻率分布直方圖，如圖所示.（1）求a的值，并估計(jì)參與本次活動(dòng)的球迷測試成績的中位數(shù);（2）規(guī)定測試成績不低于80分的為“真球迷”，測試成績不低于90分的為“狂熱球迷”，現(xiàn)從該樣本中的“真球迷”中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人中恰有1人為“狂熱球迷”的概率.19.（12分）如圖，在直三棱柱中，，，，為棱的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.20.（12分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為k的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，試判斷以AB為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)，并說明理由.21.（12分）己知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程;（2）若有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，且，求的取值范圍.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P，Q分別為曲線和直線上的任意一點(diǎn)，求的最小值.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知函數(shù)，.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中畫出和的圖象；（2）證明：.拉薩市2023屆高三第一次模擬考試文科數(shù)學(xué)·全解全析及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。123456789101112DBACCABCDADD1.D【解析】由題意，知.又，所以.故選D.2.B【解析】由，得.故選B.3.A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以.故選A.4.C【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意，得，所以.根據(jù)拋物線的定義，知，所以，所以，則.故選C.5.C【解析】由表中數(shù)據(jù)，得，而樣本點(diǎn)的中心在回歸直線上，則，所以，解得，故選C.6.A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選A.7.B【解析】如圖，設(shè)H為底面正方形ABCD的中心，G為BC的中點(diǎn)，連接PH，HG，PG，則，，所以，則，故選B.8.C【解析】由，，得，，；由，得，，；由，得，，；由，得，，，輸出，故選C.9.D【解析】由題意，知直線的方程為，即.因?yàn)閳A的圓心坐標(biāo)為，半徑，所以圓心到直線的距離.又，所以，即，解得（舍去）或.故選D.10.A【解析】∵①，②，∴，得，∴，∴，∴，故選A.11.D【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)的最小正周期，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以函?shù)的最大值，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，不等于的最大值或最小值，所以函?shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，故D正確.故選D.12.D【解析】∵，∴，即，∴，∴，∴，∴.令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，即，∴，∴，故選D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.3【解析】作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示.由，得.作出直線，并平移，當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值.由，解得，即點(diǎn)，所以的最小值為.故填3.14.2【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，所以.故填-2.15.【解析】如圖，，，，，，，所以是等腰直角三角形，斜邊CD的中點(diǎn)M為外接圓的圓心，連接BM，過M作平面BCD的垂線，過AB的中點(diǎn)N作BM的平行線，兩直線的交點(diǎn)O即為四面體外接球的球心.連接OB，易知，，所以四面體外接球的半徑，所以四面體外接球的表面積.故填.16.【解析】由題意，得雙曲線：的漸近線方程為，則，所以雙曲線：，即.由雙曲線C的一條漸近線的傾斜角為，，，得.設(shè)，則.在中，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，此時(shí)，，，所以的面積為.故填.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，由①，得②，①-②，得，∴，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，-2為公比的等比數(shù)列，∴，當(dāng)時(shí)也滿足上式，∴.（2）由（1）得，∴.說明：第一問：1.5分段沒有說明為等比數(shù)列直接得出通項(xiàng)公式不扣分.2.利用求解也按相應(yīng)步驟給分.第二問：1.12分段將也正確，不扣分.18.（12分）【解析】（1）測試成績?cè)趦?nèi)的頻率為，所以.設(shè)測試成績的中位數(shù)為分，因?yàn)椋?，所以，解得，所以，參與本次活動(dòng)的球迷測試成績的中位數(shù)約為71.5分.（2）由題意，知測試成績?cè)趦?nèi)的球迷有人，記這6人分別為，，，，，；測試成績?cè)趦?nèi)的球迷有人，記這2人分別為，.所以樣本中共有8名“真球迷”，其中“狂熱球迷”有2名，從“真球迷”中隨機(jī)抽取2人的所有情況有28種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，其中抽取的2人中恰有1人為“狂熱球迷”的情況有12種，分別為：，，，，，，，，，，，，故所求概率.說明：1.第一問中式子對(duì)，而結(jié)果不對(duì)，扣1分.2.第一問中“，參與本次活動(dòng)的球迷測試成績的中位數(shù)約為71.5分”，最后沒有回答不扣分.3.第二問沒有列出基本事件，只給出基本事件的個(gè)數(shù)，扣2分.19.（12分）【解析】（1）因?yàn)闉橹比庵云矫?又平面，所以.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?又平面，所以.因?yàn)闉槔獾闹悬c(diǎn)，所以.又，所以，同理，所以.因?yàn)槠矫?，平面，，所以平?（2）因?yàn)椋?，，所以，，所?由（1）知平面，所以，即三棱錐的體積為.說明：第一問：1.3分段沒有“平面，平面，”不扣分.2.5分段沒有“平面，平面，”不扣分.第二問：1.8分段得出，.2.10分段得出.3.12分段得出.20.（12分）【解析】（1）由題意，得橢圓的半焦距，當(dāng)A為橢圓E的上頂點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則，.由，得，，∴，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入橢圓E的方程，得.又，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）以AB為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)，理由如下：依題意，知直線的方程為.聯(lián)立，消去，并整理，得.設(shè)，，則由根與系數(shù)的關(guān)系，得，.易知，直線，的斜率都存在且不為0.若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，則，所以直線，的斜率之積為-1，即，而，所以以AB為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn).說明：1.第二問中直接回答“以AB為直徑的圓不經(jīng)過點(diǎn)”得1分.2.第二問8分后若用去驗(yàn)證也給分.21.（12分）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以所求的切線斜率為.又，所以切點(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得.函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，等價(jià)于有兩個(gè)零點(diǎn)，，且零點(diǎn)兩側(cè)的函數(shù)值異號(hào)，即有兩個(gè)零點(diǎn)，.令，則.i）當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；ii）當(dāng)時(shí)，由，得，即在上單調(diào)遞增.由，得，即在上單調(diào)遞減.要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得.此時(shí)，，，.令，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，則，即，所以當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)且兩個(gè)零點(diǎn)，分別位于區(qū)間，內(nèi).所以.令，則，所以，即，解得.令，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，即.又，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即.令，則.因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，即，所以，即的取值范圍為.說明：第一問：1.1分段寫出時(shí)的解析式.2.2分段求，并求出切線斜率.3.3分段寫出切點(diǎn)坐標(biāo).4.4分段寫出切線方程，切線方程寫成不扣分.第二問：1.5分段將函數(shù)極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)問題.2.6分段得出不滿足題意.3.7分段討論當(dāng)時(shí)，的單調(diào)性.4.8分段將有兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為得出.5.9分段得出的兩個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間.6.10分段解出.7.11分段把看成的函數(shù)，求出的取值范圍.8.12分段由前提條件與求出的的取值范圍取交集得出的取值范圍.（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）【解析】（1）由，消去，得或.由，得，將，代入，得.故曲線的普通方程為或，直線的直角坐標(biāo)方程為.（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，所以當(dāng)，即時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最小，即取得最小值，為.說明：第一問：1.式子“”中，沒有寫“”，扣1分.2.沒有寫“，”不扣分.第二問另解：由題意，知當(dāng)曲線C在點(diǎn)P處的切線與直線平行時(shí)，兩平行線之間的距離為所求的最小值.設(shè)：與相切，則由，消去，整理得，由，得，所以：，所以的最小值為.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）【解析】（1），畫出，的圖象如圖所示：（2）要證，即證，只需證.∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.同理，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴成立.說明：第一問：1.1分段將化為分段函數(shù)時(shí)