地球物理計(jì)算方法2018秋第一章插值

地球物理計(jì)算方法

地球物理與信息技術(shù)學(xué)院課堂情況反饋上節(jié)課講了些什么？緒論：誤差分析插值方法：泰勒插值復(fù)習(xí)誤差限、相對(duì)誤差限、有效數(shù)字三者關(guān)系

近似值（觀測(cè)值）：

絕對(duì)誤差限與有效數(shù)字關(guān)系：

相對(duì)誤差限與有效數(shù)字關(guān)系：

已知有效數(shù)字：

已知相對(duì)誤差限：復(fù)習(xí)2位3位4位5位ABCD提交為了使的近似值x的相對(duì)誤差小于0.1%，問(wèn)至少取幾位有效數(shù)字？單選題2分誤差的傳播病態(tài)問(wèn)題與條件數(shù)什么是病態(tài)問(wèn)題？復(fù)習(xí)避免誤差危害若干原則避免除數(shù)絕對(duì)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對(duì)值的除法；避免兩相近數(shù)相減；防止大數(shù)吃小數(shù)；簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)。復(fù)習(xí)以下說(shuō)法中正確的有：ABCD提交高精度運(yùn)算可以改善問(wèn)題的病態(tài)性經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似數(shù)都是有效數(shù)字計(jì)算機(jī)上將1000個(gè)數(shù)量級(jí)不同的數(shù)相加，不管次序如何結(jié)果都是一樣的解對(duì)數(shù)據(jù)的微小變化高度敏感是病態(tài)的多選題2分復(fù)習(xí)問(wèn)題（插值問(wèn)題）數(shù)值方法（泰勒插值）誤差分析（余項(xiàng)定理）什么是插值問(wèn)題？

復(fù)習(xí)什么是插值問(wèn)題？已知：求：在此區(qū)間上任意點(diǎn)的近似值;

稱為插值節(jié)點(diǎn)；x’稱為插值點(diǎn)；

稱為樣本值；復(fù)習(xí)插值問(wèn)題的解決思路？

復(fù)習(xí)插值問(wèn)題的解決思路？構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)解析表達(dá)式，近似求解；（1）構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)p(x)來(lái)替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)f(x);（2）用p(x’)的函數(shù)值作為f(x’)的近似值；復(fù)習(xí)

從幾何上看，插值法就是找曲線y=p(x)，使其通過(guò)給定的n+1個(gè)點(diǎn)，并用它近似已知曲線

.復(fù)習(xí)已知：復(fù)雜函數(shù)在點(diǎn)的函數(shù)值，求：附近另一點(diǎn)的函數(shù)值。泰勒插值：?jiǎn)栴}：方法：泰勒多項(xiàng)式：在x=x0,pn(x)與f(x)具有相同的i階導(dǎo)數(shù)值（i=0,1,…,n）。復(fù)習(xí)泰勒插值：誤差分析：泰勒余項(xiàng)定理其中，在與之間。復(fù)習(xí)利用泰勒展開將非線性問(wèn)題線性化是數(shù)值計(jì)算方法中的一種重要思想！17第1章插值方法18幾何意義19幾何意義20計(jì)算機(jī)中對(duì)于三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等初等函數(shù)的計(jì)算都是通過(guò)泰勒插值的方法實(shí)現(xiàn)的。21泰勒插值存在的問(wèn)題：1.函數(shù)f(x)必須存在n+1階導(dǎo)函數(shù)，即使存在n+1階導(dǎo)數(shù)，計(jì)算的工作量也比較大；2.要求h為一個(gè)小量（即x在x0附近），若h較大，則計(jì)算的誤差就很大。1、插值概念2、拉格朗日插值3、牛頓插值4、埃爾米特插值5、分段插值6、樣條插值7、最小二乘曲線擬合22232、Lagrange插值問(wèn)題提出:已知函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,..xn，上的函數(shù)值y0,y1,y2,..yn，求任意一點(diǎn)x’的函數(shù)值f(x’),函數(shù)y=f(x)可能是未知的；也可能是已知的，但它比較復(fù)雜，很難計(jì)算其函數(shù)值f(x’)。24解決方法構(gòu)造一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式pn(x)函數(shù)來(lái)替代未知（或復(fù)雜）函數(shù)y=f(x),則用pn(x’)為函數(shù)值f(x’),的近似值。設(shè)構(gòu)造pn(x)即是確定n+1個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)25構(gòu)造pn(x)的依據(jù)當(dāng)多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)也同時(shí)過(guò)已知的n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，我們可以認(rèn)為多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)逼近于原來(lái)的函數(shù)f(x)。根據(jù)這個(gè)條件，可以寫出非齊次線性方程組：26系數(shù)矩陣的行列式V為范德蒙行列式：故當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,..xn互不相等時(shí)，方程組系數(shù)矩陣的行列式V不等于零，故方程組有唯一解。即有如下結(jié)論：當(dāng)n+1個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0,x1,x2,..xn互不相等時(shí)，總能夠構(gòu)造唯一的n次多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)，使pn(x)也過(guò)這n+1個(gè)點(diǎn)。27系數(shù)求解當(dāng)n很大時(shí)，通過(guò)求方程組方法得到系數(shù)ai的工作量很大；求系數(shù)的新構(gòu)造方法：（1）Lagrange插值方法（2）牛頓插值方法281.2Lagrange插值公式xx0x1yy0y1如果已知函數(shù)y=f(x)的值如表所示。求：構(gòu)造一次多項(xiàng)式p1(x),在插值節(jié)點(diǎn)上，滿足p1(x)=f(x)1、線性插值：29直線的兩點(diǎn)式表達(dá)式：一次多項(xiàng)式插值基函數(shù)：一次多項(xiàng)式插值系數(shù)：

y0，

y130幾何意義：x0x131例：已知，，求解：得：322、Lagrange拋物線插值xx0x1x2yy0y1y2如果已知函數(shù)y=f(x)的值如表所示。求：構(gòu)造二次多項(xiàng)式p2(x),在插值節(jié)點(diǎn)上，滿足p2(x)=f(x)33可以像推導(dǎo)一次插值那樣，得出拋物線插值多項(xiàng)式：該二次多項(xiàng)式由拋物線插值基函數(shù)li(x)(i=0,1,2)線性組合而成，基函數(shù)怎么定義？應(yīng)該滿足：34可以得出基函數(shù)的表達(dá)式：把插值基函數(shù)代入,就構(gòu)成了Lagrange拋物線插值多項(xiàng)式函數(shù)：35幾何意義：x0x1x236例：已知，，,求得：解：構(gòu)造2次多項(xiàng)式函數(shù)p2(x),使得它過(guò)已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三個(gè)點(diǎn)。于是有2次拉格朗日插值多項(xiàng)式：373、Lagrangen次插值

已知函數(shù)y=f(x)在n+1個(gè)點(diǎn)x0,x1,x2,..xn，上的函數(shù)值y0,y1,y2,..yn，利用這些數(shù)據(jù)可以構(gòu)造出代數(shù)插值多項(xiàng)式pn(x)。為此仿照拋物線Lagrange插值多項(xiàng)式的方法，求出相應(yīng)的n次多項(xiàng)式函數(shù)38拋物線插值基函數(shù)的求法，xi節(jié)點(diǎn)上n次插值基函數(shù)可寫成：39拉格朗日公式特點(diǎn)：1.把每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)yk單獨(dú)組成一項(xiàng)；2.每一項(xiàng)中的分子是關(guān)于x的n次多項(xiàng)式，分母是一個(gè)常數(shù)；3.每一項(xiàng)的分子和分母的形式相似；40流程圖411.3、插值余項(xiàng)1、余項(xiàng)定理pn(x)近似f(x)，設(shè)產(chǎn)生的截?cái)嗾`差為：或Rn(x)為n次多項(xiàng)式pn(x)的余項(xiàng)，具體的表達(dá)式？42余項(xiàng)定理：當(dāng)函數(shù)f(x)足夠光滑即滿足以下條件：1、f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；2、f(x)具有直至n+1階導(dǎo)數(shù)，則總存在相應(yīng)的點(diǎn)，對(duì)一點(diǎn)，使得：其中：（證明略……）43當(dāng)n=1時(shí)，線性插值余項(xiàng)為當(dāng)n=2時(shí)，拋物插值余項(xiàng)為44（1）插值點(diǎn)x離插值節(jié)點(diǎn)越遠(yuǎn)，越大，Rn(x)余項(xiàng)越大；余項(xiàng)公式特點(diǎn)：（2）f(x)要足夠光滑，插值效果越好。插值的外推過(guò)程是不可靠的，內(nèi)插優(yōu)于外推。45地球物理中的插值問(wèn)題：中國(guó)大陸地表熱流分布（二維）462、誤差估計(jì)辦法由余項(xiàng)公式，雖然存在，但的值難以確定，辦法：估算出在區(qū)間[a,b]上的上界M，即：則可以得到截?cái)嗾`差的范圍：47估算前面例題的線性插值的截?cái)嗾`差，例：根據(jù)余項(xiàng)公式,有48估算前面例題的拋物線插值的截?cái)嗾`差？例：根據(jù)余項(xiàng)公式,有49下列關(guān)于拉格朗日插值方法的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是：由N個(gè)不同的插值節(jié)點(diǎn)可以唯一確定一個(gè)N次的拉格朗日插值多項(xiàng)式函數(shù)拉格朗日插值基函數(shù)只與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān)，與節(jié)點(diǎn)處函