概率論第八章-假設(shè)檢驗

概率論第八章--假設(shè)檢驗第一頁，共27頁。8.1假設(shè)檢驗的基本思想與步驟數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)是從樣本出發(fā)，對總體的分布作出推斷。作推斷的方法，主要有兩種，一種是上一章講的參數(shù)估計，另一種是假設(shè)檢驗。例7.1某廠生產(chǎn)合金鋼，其抗拉強度X(單位：kg/mm2)可以認為服從正態(tài)分布N(μ,σ2)。據(jù)廠方說，抗拉強度的平均值μ=48。現(xiàn)抽查5件樣品，測得抗拉強度為46.845.048.345.144.7問廠方的說法是否可信？這相當于先提出了一個假設(shè)H0：μ=48，然后要求從樣本觀測值出發(fā)，檢驗它是否成立。第二頁，共27頁。例7.2為了研究飲酒對工作能力的影響，任選19名工人分成兩組，一組工人工作前飲一杯酒，一組工人工作前不飲酒，讓他們每人做一件同樣的工作，測得他們的完工時間(單位：分鐘)如下：飲酒者30465134484539615867未飲酒者282255453935423820問飲酒對工作能力是否由顯著的影響？兩組工人完成工作的時間，可以分別看作是兩個服從正態(tài)分布的總體X~N(μ1,σ12)和Y~N(μ2,σ22)，如果飲酒對工作能力沒有影響，兩個總體的均值應該相等。所以問題相當于要求我們根據(jù)實際測得的樣本數(shù)據(jù)，檢驗假設(shè)H0：μ1=μ2是否成立。第三頁，共27頁。例7.3某班學生的一次考試成績?yōu)閤1,x2,…,xn，問學生的考試成績X是否服從正態(tài)分布？學生的考試成績可以看作是總體X的樣本觀察值，該例題相當于提出這樣一個問題H0：X~N(μ,σ2)然后要求從樣本出發(fā)，檢驗它是否成立。例7.1-7.3有一個共同的特點，就是先提出一個假設(shè)，然后要求從樣本出發(fā)檢驗它是否成立。我們稱這樣的問題為假設(shè)檢驗問題。在假設(shè)檢驗中，提出要求檢驗的假設(shè)，稱為原假設(shè)或零假設(shè)，記為H0，原假設(shè)如果不成立，就要接受另一個假設(shè)，這另一個假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為H1。第四頁，共27頁。例7.1中，原假設(shè)是H0：μ=48，備擇假設(shè)H1：μ≠48，例7.2中，H0：μ1=μ2，H1：μ1≠

μ2例7.3中，H0：X~N(μ,σ2)，H1：X不服從正態(tài)分布問題：設(shè)總體X~N(μ,σ2)，已知其中σ=σ0，(x1,x2,…,xn)是X的樣本，要檢驗H0：μ=μ0，(μ0是一個已知常數(shù))，H1：μ≠

μ0第五頁，共27頁。1、檢驗方法總體X~N(μ,σ2),要檢驗μ是否為μ0,而μ是未知的.我們知道μ的無偏估計是的大小在一定程度上反映了，樣本均值μ的大小，因此,當H0為真時,即μ=μ0時，的觀察值與μ0的偏差一般不應太大。如果我們就應懷疑假設(shè)H0的正確性并拒絕H0，而可歸結(jié)為統(tǒng)計量的大小。當H0為真時，統(tǒng)計量過分大，的大小，由此，我們可選定一正數(shù)k，使得當時,就拒絕H0，時，則接受H0。第六頁，共27頁。稱使成立的樣本值(x1,x2,…,xn)為檢驗的拒絕域，記為W1。稱使成立的樣本值(x1,x2,…,xn)為檢驗的接受域，記為W0。第七頁，共27頁。2、檢驗的兩類錯誤當H0為真時，作出拒絕H0的判斷，稱這類錯誤為第一類錯誤或棄真錯誤；當H0不真時，作出接受H0的判斷，稱這類錯誤為第二類錯誤或取偽錯誤。記α=P{拒絕H0|

H0真}；β=P{接受H0|

H0假}對于給定的一對H0和H1，總可找出許多臨界域W，人們自然希望找到這種臨界域W，使得犯兩類錯誤的概率都很小。奈曼—皮爾遜(Neyman—Pearson)提出了一個原則：“在控制犯第一類錯誤的概率不超過指定值的條件下，盡量使犯第二類錯誤小”，按這種法則做出的檢驗稱為“顯著性檢驗”，稱為顯著性水平或檢驗水平。第八頁，共27頁。3、假設(shè)檢驗的步驟(1)提出原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1；(2)選取合適的統(tǒng)計量，當H0為真時，其分布是確定的；(3)對給定的顯著性水平α，查標準正態(tài)分布表，求出臨界值，用它來劃分拒絕域W1和接受域W0；(4)由樣本觀察值計算檢驗統(tǒng)計量的值；(5)由統(tǒng)計量的樣本值，作出拒絕還是接受H0的判斷。第九頁，共27頁。正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗一、單個正態(tài)總體下參數(shù)的假設(shè)檢驗對于一個正態(tài)總體均值的檢驗，常見的有以下三種類型：(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；(2)H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0；(3)H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0；雙邊假設(shè)檢驗單邊假設(shè)檢驗第十頁，共27頁。1、總體方差σ2已知，正態(tài)總體的均值檢驗構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量當μ=μ0時，統(tǒng)計量U服從標準正態(tài)分布N(0,1)。對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H0第十一頁，共27頁。(2)H0：μ≤

μ0，H1：μ>μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H0(3)H0：μ=≥μ0，H1：μ<μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H0第十二頁，共27頁。例7.4設(shè)某產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，已知它的標準差σ=150，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機地抽取26個，測得該項指標的平均值為1637。問能否認為這批產(chǎn)品的該項指標值為1600(α=0.05)？解(1)提出原假設(shè)：H0：μ=1600，H1：μ≠1600；(2)選取統(tǒng)計量(3)對于給定的顯著性水平α=0.05，查標準正態(tài)分布表(4)計算統(tǒng)計量觀察值(5)結(jié)論接受原假設(shè)H0即不能否定這批產(chǎn)品該項指標為1600。

第十三頁，共27頁。例7.5完成生產(chǎn)線上某件工作的平均時間不少于15.5分鐘，標準差為3分鐘。對隨機抽取的9名職工講授一種新方法，訓練期結(jié)束后，9名職工完成此項工作的平均時間為13.5分鐘。這個結(jié)果是否說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短？設(shè)α=0.05，并假定完成這件工作的時間服從正態(tài)分布。解（單邊檢驗問題）提出原假設(shè)H0：μ≥15.5，H1：μ<15.5；選取統(tǒng)計量查標準正態(tài)分布表對于給定的顯著性水平α=0.05，已知n=9，σ=3，計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即說明用新方法所需時間比用老方法所需時間短。

第十四頁，共27頁。1、總體方差σ2未知，正態(tài)總體的均值檢驗由于總體方差σ2未知，故選取統(tǒng)計量當μ=μ0時，統(tǒng)計量T服從自由度為n-1的t分布。對于給定的顯著性水平α，有(1)H0：μ=μ0，H1：μ≠μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H08.2單個正態(tài)總體下均值與方差的檢驗第十五頁，共27頁。(2)H0：μ≤μ0，H1：μ>μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H0(3)H0：μ≥μ0，H1：μ<μ0；檢驗規(guī)則為當時，拒絕H0當時，接受H0第十六頁，共27頁。例7.6某地區(qū)青少年犯罪年齡構(gòu)成服從正態(tài)分布，現(xiàn)隨機抽取9名罪犯，其年齡如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24試以95%的概率判斷犯罪青少年的平均年齡是否為18歲。解提出原假設(shè)：H0：μ=18，H1：μ≠18；選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表得由題意，計算得到樣本均值和樣本方差分別為計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即能以95%的把握推斷該地區(qū)青少年犯罪的平均年齡不是18歲。

第十七頁，共27頁。例7.7食品罐頭的細菌含量按規(guī)定標準必須小于62.0，現(xiàn)從一批罐頭中抽取9個，檢驗其細菌含量，經(jīng)計算得樣本均值為62.5，樣本標準差為0.3。問這批罐頭的質(zhì)量是否完全符合標準(α=0.05)？（設(shè)罐頭的細菌含量服從正態(tài)分布）

解由題意建立假設(shè)：H0：μ=62.0，H1：μ>62.0；選取統(tǒng)計量對于給定的顯著性水平α=0.05，查t分布表得由題意，計算統(tǒng)計量觀察值由于所以拒絕原假設(shè)H0，而接受H1，即認為這批罐頭細菌含量大于62.0，質(zhì)量不符合標準。

第十八頁，共27頁。2、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的關(guān)系抽樣估計與假設(shè)檢驗都是統(tǒng)計推斷的重要內(nèi)容。參數(shù)估計是根據(jù)樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的真值；假設(shè)檢驗是根據(jù)樣本統(tǒng)計量來檢驗對總體參數(shù)的先驗假設(shè)是否成立。(1)區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的主要區(qū)別①.區(qū)間估計通常求得的是以樣本估計值為中心的雙側(cè)置信區(qū)間，而假設(shè)檢驗以假設(shè)總體參數(shù)值為基準，不僅有雙側(cè)檢驗也有單側(cè)檢驗；②.區(qū)間估計立足于大概率，通常以較大的把握程度（置信水平）1-α去保證總體參數(shù)的置信區(qū)間。而假設(shè)檢驗立足于小概率，通常是給定很小的顯著性水平α去檢驗對總體參數(shù)的先驗假設(shè)是否成立。第十九頁，共27頁。(2)區(qū)間估計與假設(shè)檢驗的聯(lián)系①.區(qū)間估計與假設(shè)檢驗都是根據(jù)樣本信息對總體參數(shù)進行推斷，都是以抽樣分布為理論依據(jù)，都是建立在概率基礎(chǔ)上的推斷，推斷結(jié)果都有一定的可信程度或風險。②.對同一問題的參數(shù)進行推斷，二者使用同一樣本、同一統(tǒng)計量、同一分布，因而二者可以相互轉(zhuǎn)換。區(qū)間估計問題可以轉(zhuǎn)換成假設(shè)問題，假設(shè)問題也可以轉(zhuǎn)換成區(qū)間估計問題。區(qū)間估計中的置信區(qū)間對應于假設(shè)檢驗中的接受區(qū)域，置信區(qū)間以外的區(qū)域就是假設(shè)檢驗中的拒絕域。第二十頁，共27頁。(3)、用置信區(qū)間進行檢驗

均值雙側(cè)檢驗①.求出雙側(cè)檢驗均值的置信區(qū)間2已知時：2未知時：②.若樣本統(tǒng)計量x的值落在置信區(qū)間外，則拒絕H0

第二十一頁，共27頁。用置信區(qū)間進行檢驗

(例題分析)【例】一種袋裝食品每包的標準重量應為1000克。現(xiàn)從生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16袋，測得其平均重量為991克。已知這種產(chǎn)品重量服從標準差為50克的正態(tài)分布。試確定這批產(chǎn)品的包裝重量是否合格？(α=0.05)雙側(cè)檢驗！香脆蛋卷第二十二頁，共27頁。用置信區(qū)間進行檢驗(例題分析)解：提出假設(shè)：H0:

=1000H1:

1000已知：n=16，σ=50，=0.05雙側(cè)檢驗/2=0.025

臨界值:Z0.025=±1.96置信區(qū)間為決策:結(jié)論:

在置信區(qū)間內(nèi)，不拒絕H0可以認為這批產(chǎn)品的包裝重量合格Z01.96-1.960.025拒絕H0拒絕H00.025第二十三頁，共27頁。3、正態(tài)總體方差的檢驗常見的正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗有以下三種類型：(1)H0：σ2=σ02，H1：σ2≠σ02

；(2)H0：σ2≤σ02，H1：σ2>σ02；(3)H0：σ2≥σ02，H1：σ2<σ02。雙邊假設(shè)檢驗單邊假設(shè)檢驗第二十四頁，共27頁。選取統(tǒng)計量當H0為真時，服從自由度為n-1的χ2分布。對于