高中數(shù)學(xué)平面向量的基本概念及線性運算

高中數(shù)學(xué)平面向量的基本概念及線性運算第1頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第2頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第3頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)平面向量的基本概念及線性運算第5頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有_______又有_______的量叫做向量，向量的大小叫做向量的

______(或模)．(2)零向量：__________的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于__________的向量．(4)平行向量：方向____________的非零向量．平行向量又叫_____________．規(guī)定：0與任一向量_______．(5)相等向量：長度_______且方向_______的向量．(6)相反向量：長度_______且方向_______的向量．大小方向長度長度為01個單位相同或相反共線向量平行相等相同相等相反第6頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2．向量的加法和減法(1)加法法則：服從三角形法則，平行四邊形法則．運算性質(zhì)：a＋b＝_______；(a＋b)＋c＝__________．(2)減法與_______互為逆運算；服從三角形法則．3．實數(shù)與向量的積(1)實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，規(guī)定：①長度：|λa|＝________；②方向：當(dāng)_______時，λa與a的方向相同；當(dāng)_________時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝_____．b＋aa＋(b＋c)加法|λ||a|λ>0λ＜00第7頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四(2)運算律：設(shè)λ、μ∈R，則：①λ(μa)＝__________；②(λ＋μ)a＝____________；③λ(a＋b)＝____________．4．平面向量共線定理向量b與a(a≠0)共線的充要條件是_________________________________．(λμ)aλa＋μaλa＋λb有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa第8頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第9頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2．a(chǎn)∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件嗎？【提示】

當(dāng)a≠0，b＝0時，a∥bDa＝λb，但a＝λba∥b，∴a∥b是a＝λb(λ∈R)的必要不充分條件，不是充要條件．第10頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

D第11頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四2．下列給出的命題正確的是(

)A．零向量是唯一沒有方向的向量B．平面內(nèi)的單位向量有且僅有一個C．a(chǎn)與b是共線向量，b與c是平行向量，則a與c是方向相同的向量D．相等的向量必是共線向量第12頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【解析】

零向量方向任意，而不是沒有方向，故A錯；平面內(nèi)單位向量有無數(shù)個，故B錯；若b＝0，b與a、c都平行，但a、c不一定共線，故C錯；相等的向量方向相同，必是共線向量，故D正確．【答案】

D第13頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

B第14頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【解析】

由題意知a＋λb＝－k(b－3a)＝－kb＋3ka，【答案】

D第15頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

D第16頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【思路點撥】

以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例來說明其不正確．【答案】

D

第18頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四1．(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認為④是正確的；(2)充分利用反例進行否定是對向量的有關(guān)概念題進行判定的行之有效的方法．2．準確理解向量的基本概念是解決這類題目的關(guān)鍵．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點無關(guān)．3．“向量”和“有向線段”是兩個不同的概念，向量只有兩個要素：大小、方向；而有向線段有三個要素：起點、方向、長度．第19頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四給出下列四個命題：①兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同；②若a＝b，b＝c，則a＝c；③若a∥b，b∥c，則a∥c；④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b.其中假命題的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4第20頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【解析】

①不正確．兩個向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點．②正確．根據(jù)向量相等的定義知．③不正確．若b＝0時，b與a、c都平行，但a、c不一定平行．④不正確．a(chǎn)＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．【答案】

C第21頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

(1)A

(2)A第23頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四第30頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四(1)(2013·南昌模擬)已知向量a，b不共線，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b.如果c∥d，那么(

)A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向(2)(2013·青島模擬)對于非零向量a、b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件第31頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【解析】

(1)∵c∥d，∴c＝λd，即ka＋b＝λ(a－b)＝λa－λb， ∴k＝λ＝－1，故選D.(2)由a＋b＝0知道a與b互為相反向量，從而a∥b，充分性成立．由a∥b知a＝λb，λ≠－1時，a＋b≠0，∴必要性不成立．【答案】

(1)D

(2)A第32頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量．第33頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四1.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個．2．證明三點共線問題，可用向量共線來解決，但應(yīng)注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系，當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線；3．利用向量平行證明直線平行，必須說明這兩條直線不重合．第34頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四從近兩年高考試題來看，平面向量的概念，線性運算及向量共線是高考命題的重點，常與平面向量基本定理、平面向量的數(shù)量積交匯命題，多以客觀題形式呈現(xiàn)．在求解過程中，不要忽視零向量的特殊性．第35頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【錯解】

錯解一a、b共線，必然是有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa，故選A.【答案】

A第36頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【答案】

B錯解三當(dāng)a與b同向時，式子中第一個等號不成立；當(dāng)a與b反向時，式子中第二個等號不成立，當(dāng)兩個向量不共線時，兩個等號都不成立，故兩個等號不可能同時成立，故選C.【答案】

C第37頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四錯因分析：(1)錯解一，忽視了a≠0這一條件．(2)錯解二，忽視了0與0的區(qū)別．(3)錯解三，忽視了零向量的特殊性，當(dāng)a＝0或b＝0時，兩個等號同時成立．第38頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四防范措施：(1)共線向量定理中，b＝λa要求a≠0，否則λ值可能不存在．(2)向量的加減及數(shù)乘運算的結(jié)果，仍然是一個向量，而不是一個數(shù)．(3)應(yīng)熟練掌握向量不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|等號成立的條件．第39頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四【正解】

∵向量a與b不共線，∴a，b，a＋b與a－b均不為零向量．若a＋b與a－b平行，則存在實數(shù)λ，使a＋b＝λ(a－b)，即(λ－1)a＝(1＋λ)b，

λ無解，故假設(shè)不成立，即a＋b與a－b不平行，故選D.【答案】

D第40頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四1．(2012·浙江高考)設(shè)a，b是兩個非零向量(

)A．若|a＋b|＝|a|－|b|，則a⊥bB．若a⊥b，則|a＋b|＝|a|－|b|C．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ，使得b＝λaD．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a|－|b|【解析】

由|a＋b|＝|a|－|b|知(a＋b)2＝(|a|－|b|)2，即a2＋2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2，∴a·b＝－|a||b|.第41頁，共47頁，2023年，2月20日，星期四∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－1，∴〈a，b〉＝π，此時a與b反向共線，因此A錯誤．當(dāng)a⊥b時，a與b不反向也不共線，因此B錯誤．若|a＋b|＝|a|－|b|，則存在實數(shù)λ＝－1，使b＝－a，滿足a與b反向共線，故C正確．若存在實數(shù)λ，使得b＝λa，則|a＋b|＝|a＋λa|＝|1＋λ||a|，|a|－|b|＝|a|－|λa