東北三省三校高三第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學（文）試題

2022屆東北三省三校高三第二次聯(lián)合模擬考試數(shù)學（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出集合M，N，然后進行并集的運算即可.【詳解】∵，，∴.故選：C.2．復數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的模為（

）A．1 B． C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的乘除運算化簡，再求其模長即可.【詳解】因為，故.故選：B.3．雙曲線的漸近線方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)雙曲線的方程求解.【詳解】因為雙曲線方程為，所以a=4，b=3，所以其漸近線方程是，故選：A4．命題“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】對原命題“改量詞，否結論”即可求得結果.【詳解】命題，的否定是：，.故選：D.5．為研究變量x，y的相關關系，收集得到下面五個樣本點（x，y）：x91011y1110865若由最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為，則據(jù)此計算殘差為0的樣本點是（

）A．（9，11） B．（10，8） C．（10.5，6） D．（11．5）【答案】B【分析】先求出線性方程的樣本中心點，從而可求得，再根據(jù)殘差的定義可判斷.【詳解】由題意可知，，所以線性方程的樣本中心點為，因此有，所以，在收集的5個樣本點中，一點在上，故計算殘差為0的樣本點是.故選：B6．將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位，所得圖象對應的函數(shù)（

）A．在區(qū)間上單調遞增B．在區(qū)間（，）上單調遞減C．圖象關于點（，0）對稱D．圖象關于直線對稱【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的伸縮變換和平移變換得到，逐項判斷.【詳解】將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，再向右平移個單位，得，因為，所以，故A正確；因為，所以，故B錯誤；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：A7．下列說法錯誤的是（

）A．由函數(shù)的性質猜想函數(shù)的性質是類比推理B．由，，…猜想是歸納推理C．由銳角滿足及，推出是合情推理D．“因為恒成立，所以函數(shù)是偶函數(shù)”是省略大前提的三段論【答案】C【分析】根據(jù)類比推理、歸納推理、合情推理、演繹推理的概念判斷.【詳解】A中兩個函數(shù)形式相似，因此可以根據(jù)前者的性質猜測后者的性質，是類比推理，A正確；B中，由特殊到一般的猜想推理，是歸納推理，B正確；C中是三段論的演繹推理，不屬于合情推理，C錯；D中，省略了大前提：函數(shù)滿足恒成立，則是偶函數(shù)，D正確.故選：C.8．在中，角，，的對邊分別為，，，若，，，則的面積（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦定理，結合余弦定理、三角形面積公式、同角的三角函數(shù)關系式進行求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理，由，，由余弦定理可知：，解得，或（舍去），因為，所以，因此，故選：D9．已知圓錐的頂點為點，高是底面半徑的倍，點，是底面圓周上的兩點，當是等邊三角形時面積為，則圓錐的側面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是等邊三角形時面積為求得母線，再由高是底面半徑的倍，求得底面半徑，然后由圓錐的側面積公式求解.【詳解】解：設圓錐的高為h，母線為l，底面半徑為r，則由題意得h=r，，所以，又，則，所以圓錐的側面積為，故選；D10．定義域為R的奇函數(shù)滿足，則（

）A．0 B． C．1 D．不確定【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質，結合已知等式可以求出函數(shù)的周期，利用周期進行求解即可.【詳解】因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以由，所以該函數(shù)的周期為，所以，故選：A11．橢圓的左焦點為點，過原點的直線與橢圓交于，兩點，若，，，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設為橢圓的右焦點，根據(jù)橢圓的對稱性，得到，分別在和，利用余弦定理列出方程組，求得，結合離心率的定義，即可求解.【詳解】解：設為橢圓的右焦點，根據(jù)橢圓的對稱性可知，四邊形為平行四邊形，令，在中，，則，即在中，，則，即，聯(lián)立方程組，解得，因為，所以橢圓的離心率為.故選：B.12．已知實數(shù)滿足，，，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，利用導數(shù)可求得的單調性，可知有兩個不等解，并得到，，根據(jù)和可確定的大小關系.【詳解】由題意得：；令，則，當時，；當時，；在上的單調遞減，在上單調遞增；；又，當時，；方程有兩個不等解，，；，又，，，；又，，；綜上所述：.故選：D.二、填空題13．盒子中裝有編號為0，1，2，3，4的五個球，從中任意取出兩個，則這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是______．【答案】0.9【分析】列舉出基本事件，利用古典概型的概率公式直接求解.【詳解】盒子中裝有編號為0，1，2，3，4的五個球，從中任意取出兩個，有：01，02，03，04，12，13，14，23，24，34共10種，其中積為偶數(shù)的有：01，02，03，04，12，14，23，24，34共9種，故所取的這兩個球的編號之積為偶數(shù)的概率是.故答案為：.14．在愛爾蘭小說《格列佛游記》里，有格列佛在小人國一頓吃了1728份小人飯的敘述，作者為什么要使用這么復雜的數(shù)字呢？許多研究者認為，之所以選用這個數(shù)字，跟英國人計數(shù)經(jīng)常使用的十二進制有關系．中國文化中，十二進制也有著廣泛應用，如12地支，12個時辰，12生肖…．十二進制數(shù)通常使用數(shù)字0—9以及字母A，B表示，其中A即數(shù)字10，B即數(shù)字11．對于下面的程序框圖，若輸入a=1728，k=12，則輸出的數(shù)為________．【答案】1000【分析】利用程序框圖，模擬程序框圖的運行過程即可求解【詳解】輸入，；，；，；，；所以輸出的數(shù)為.故答案為：.15．在正六邊形中，點為線段（含端點）上的動點，若（，），則的取值范圍是________．【答案】【分析】以正六邊形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系，根據(jù)已知條件，用點的橫坐標表示，結合點橫坐標的取值范圍，即可求得結果.【詳解】根據(jù)題意，不妨設正六邊形的邊長為，以中心建立平面直角坐標系，如下所示：則可得，設點的坐標為，則，由可得：，即，數(shù)形結合可知：，則，即的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查用解析法處理平面向量中的范圍問題，解決問題的關鍵是用點的坐標表達，屬中檔題.16．如圖，多面體中，面為正方形，平面，，且，，為棱的中點，為棱上的動點，有下列結論：①當為棱的中點時，平面；②存在點，使得；③三棱錐的體積為定值；④三棱錐的外接球表面積為．其中正確的結論序號為______．（填寫所有正確結論的序號）【答案】①③④【分析】根據(jù)線面平行的判定定理，以及線線垂直的判定，結合棱錐體積的計算公式，以及棱錐外接球半徑的求解，對每一項進行逐一求解和分析即可.【詳解】對①：當H為DE的中點時，取中點為，連接，因為分別為的中點，故可得//，，根據(jù)已知條件可知：//，故//，故四邊形為平行四邊形，則//，又平面平面，故//面，故①正確；對②：因為平面平面，故，又四邊形為矩形，故，則兩兩垂直，以為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示：則，設，，若GH⊥AE，則，即，解得，不滿足題意，故②錯誤；對③：，因為均為定點，故為定值，又//平面平面，故//面，又點在上運動，故點到平面的距離是定值，故三棱錐的體積為定值，則③正確；對④：由題可得平面，又面為正方形，∴，∴AB⊥平面BCF，則AB，BC，CF兩兩垂直，∴AF為三棱錐的外接球的直徑，又，∴三棱錐的外接球表面積為，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題17．如圖，正三棱柱中，，點是棱的中點．(1)求證：；(2)求點到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）取的中點為，連接，，易知，得到，再由平面，得到，然后證明平面即可；（2）設點到平面的距離為，利用等體積法，由求解.【詳解】(1)證明：如圖所示：設的中點為，連接，，∵正方形中，，，∴，∴，∵平面，平面，∴，又，為中點，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴；(2)設點到平面的距離為，∵，∵，，∴由（1）平面，∴為的高，又，∴，∴，∴，故點到平面的距離為．18．五常市是黑龍江省典型農(nóng)業(yè)大縣（市）、國家重要的商品糧食基地，全國糧食生產(chǎn)十大先進縣之一，也是全國水稻五強縣之一，被譽為張廣才嶺下的“水稻王國”．五常大米受產(chǎn)區(qū)獨特的地理、氣候等因素影響，干物質積累多，直鏈淀粉含量適中，支鏈淀粉含量較高．由于水稻成熟期產(chǎn)區(qū)晝夜溫差大，大米中可速溶的雙鏈糖積累較多，對人體健康非常有益．五常大米根據(jù)顆粒、質地、色澤、香味等評分指標打分，得分在區(qū)間，，，內分別評定為四級大米、三級大米、二級大米、一級大米．某經(jīng)銷商從五常市農(nóng)民手中收購一批大米，共400袋（每袋25kg），并隨機抽取20袋分別進行檢測評級，得分數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示：(1)求的值，并用樣本估計，該經(jīng)銷商采購的這批大米中，一級大米和二級大米的總量能否達到采購總量一半以上；(2)該經(jīng)銷商計劃在下面兩個方案中選擇一個作為銷售方案：方案1：將采購的400袋大米不經(jīng)檢測，統(tǒng)一按每袋300元直接售出；方案2：將采購的400袋大米逐袋檢測分級，并將每袋大米重新包裝成5包（每包5kg），檢測分級所需費用和人工費共8000元，各等級大米每包的售價和包裝材料成本如下表所示：大米等級四級三級二級一級售價（元/包）55688598包裝材料成本（元/包）2245該經(jīng)銷商采用哪種銷售方案所得利潤更大？通過計算說明理由．【答案】(1)，能達到(2)該經(jīng)銷商采用方案2所得利潤更大，理由見解析【分析】（1）利用頻率和為1，求出a，即可判斷；（2）分別計算方案1和方案2的收入，即可判斷.【詳解】(1)∵∴∵∴估計經(jīng)銷商采購的這批大米中，一級大米和二級大米的總量能夠達到采購總量的一半以上．(2)若經(jīng)銷商采用方案1，則收入為元．若經(jīng)銷商采用方案2400袋大米中四級大米約袋，包三級大米約袋，包二級大米約袋，包一級大米約袋，包400袋大米共賣元400袋大米的包裝袋成本為元，∴收入為元∵，且400袋大米成本相同，∴該經(jīng)銷商采用方案2所得利潤更大．19．已知等差數(shù)列公差不為零，，，數(shù)列各項均為正數(shù)，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)若恒成立，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求數(shù)列的通項公式，根據(jù)等差數(shù)列，利用基本量計算即可求解，求數(shù)列的通項公式，先因此分解，得到數(shù)列為等比數(shù)列后可求解；（2）根據(jù)（1）得，再令，再研究其單調性可求解.【詳解】(1)設等差數(shù)列的公差為d，由條件，解得，或，∵，∴∴∵，∴，∵，∴又，∴，∴，∴是以1為首項，為公比的等比數(shù)列．∴(2)∵，∴，即，即恒成立，設，則，即時；時；時，∴或5時，為的最大項．∴，故實數(shù)的最小值為．20．設函數(shù)．(1)若，過點作曲線的切線，求切點的坐標；(2)若在區(qū)間上單調遞增，求整數(shù)的最大值．【答案】(1)切點坐標為和(2)8【分析】（1）設切點為，表示出點處切線方程，將代入解得，或，求出切點坐標為和；（2）把題意轉化為時，恒成立，.對a分類討論：i.時，ii.時，分別求出滿足條件的整數(shù)的范圍，即可求得.【詳解】(1)時，，，設切點為，則點處切線方程為：，將代入得：．即，解得，或，時，；時，．∴所求切點坐標為和．(2)．記∵在上單調遞增，∴時，恒成立.i.，即時，時，，，∴，∴在上單調遞增，∴，故，時滿足條件．ii.，即時．在上，，，所以，單調遞減；在上，，，所以，單調遞增，∴，記，在上，單調遞減，∵，.因為，時滿足條件．由i和ii知，滿足條件的整數(shù)的最大值為8．【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．21．已知點F為拋物線E：（）的焦點，點P（?3，2），，若過點P作直線與拋物線E順次交于A，B兩點，過點A作斜率為1的直線與拋物線的另一個交點為點C．(1)求拋物線E的標準方程；(2)求證：直線BC過定點；(3)若直線BC所過定點為點Q，△QAB，△PBC的面積分別為S1，S2，求的取值范圍【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用表示出，化簡即可求出答案.（2）設出直線，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達定理則可表示出寫出直線，聯(lián)立直線與拋物線，利用韋達定理則可表示出的方程，根據(jù)兩個關系式消掉點，則可得出結論.（3）將、用點表示出來，再利用韋達定理用直線的斜率表示出，最后化簡即可得出答案.【詳解】(1)焦點，∵，∴拋物線E的標準方程為(2)顯然．直線斜率存在，設的方程為由，化簡得：，設，則，∴

①直線的方程為，由化簡得：，設則

②由①②得，∴

③（?。┤糁本€沒有斜率，則，又，∴，∴，∴的方程為．（ⅱ）若直線有斜率，為，直線的方程為，即，將③代入得，∴，故直線有斜率時過點．由（?。áⅲ┲?，直線過點．(3)由（2）得，，∴，且，設，∵，且，∴∴，故的取值范圍是．【點睛】本題考查拋物線的標準方程、直線過定點.屬于難題.其中證明直線過定點，尋找坐標之間的關系進行消元是解題的關鍵.22．在平