高二數(shù)學(xué)選修2-1第三章同步檢測3-1-4

3.1第4課時(shí)空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示一、選擇題1．對于向量A．若a·b＝0，則a＝0或b＝0B．若λa＝0，則λ＝0或a＝0C．若a＝b，則a＝b或a＝－a·b＝a·c，則b＝c[答案]B[解析]a·b＝0?a⊥b，|a|2＝|b|2?(a＋b)·(a－b)＝0?(a＋b)⊥(a－b)；a·b＝a·c?a⊥(b－c)；故A、C、D均錯(cuò)．2．以下四個(gè)命題中正確的是A．空間的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)向量表示B．若{a，b，c}為空間向量的一組基底，則a，b，c全不是零向量C．△ABC為直角三角形的充要條件是→→D．任何三個(gè)不[答案]B[解析]使用排除法．因?yàn)榭臻g中的任何一個(gè)向量都可用其它三個(gè)不共面的向量來表a，b，c和實(shí)數(shù)λ，下列命題中真命題是()22bD．若()AB·AC＝0共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底．．．示，故A不正確；△ABC為直角三角形并不一定是AB→·AC→＝0，可能是BC→·BA→＝0，也可能是CA→·CB→＝0，故空間向量基底是由三個(gè)不共面的向量組成的，故D不正確，故選C不正確；B.→→→→3．長方體ABCD－ABCD中，若AB＝3i，AD＝2j，AA＝5k，則AC()111111111B.i＋j＋k325A．i＋j＋kC．3i＋2j＋5k[答案]CD．3i＋2j－5k4．給出下列命題{a，b，c}可以a∥b，則BA→，BM→，BN→不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么A，B，M，N共面；④已{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，若m＝a＋c，則{a，b，m}也是空間的一個(gè)基底．其：①若作為空間的一個(gè)基底，d與c共線，d≠0，則{a，b，d}也可作為空間的基底；②已知向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底；③A，B，M，N是空間四點(diǎn)，若知向量組中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4[答案]D[解析]根據(jù)基底的概念，空間中任何三個(gè)不共面的向量都可作為空間的一個(gè)基底，否→→→則就不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．顯然②正確，③中由BA、BM、BN共面且過相同點(diǎn)B，故A、B、M、N共面．下面證明①④正確．①假設(shè)d與a、b共面，則存在實(shí)數(shù)λ，μ，使d＝λa＋μb，∵d與c共線，c≠0，∴存在實(shí)數(shù)k，使d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，從而c＝λa＋μb，kk∴c與a、b共面∴d與a，b不共面．證④也是正確的．5．已知向量{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以與向量p，q與條件矛盾．同理可構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是()A．a(chǎn)C．c[答案]CB．bD．無法確定11[解析]∵a＝p＋q，∴a與p、q共面，221212∵b＝p－q，∴b與p、q共面，∵不存在λ、μ，使c＝λp＋μq，∴c與p、q不共面，故{c，p，q}可作為空間的一個(gè)基底，故選C.6．給出下列兩個(gè)命題：①如果向量a，b與任何向量不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么a，b的關(guān)系是不共線；②O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量OA→，OB→，OC→不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面．其中正確的命題是()A．僅①B．僅②C．①②D．都不正確[答案]B[解析]①對空間任意向量c，都有c與a、b共面，則必有a與b共線，∴①錯(cuò)；②∵OA→、故存在實(shí)數(shù)λ，μ，使OA→＝λOB→＋μOC→，OB→、OC→不能構(gòu)成空間的基底，∴OA→、OB→、OC→必共面，∴O、A、B、C四點(diǎn)共面，∴②正確．→i、j、k是空間直角坐標(biāo)系O－xyz的坐標(biāo)向量，并且AB＝－i＋j－k，則B點(diǎn)的7．已知為(A．(－1,1，－B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－坐標(biāo))1)1)D．不確定[答案]D[解析]向量AB→的坐標(biāo)與B點(diǎn)的坐標(biāo)不同．8．設(shè)O－ABC是四面體，G是△ABC的重心，G是OG上的一點(diǎn)，且OG＝3GG1，11若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，則(x，y，z)為()333444111444A.，，B.，，333222111C.，，D.，，333[答案]A[解析]連AG1交BC于E，則E為BC中點(diǎn)，1212AE→＝(AB＋AC)＝(OB－2OA＋OC)，→→→→→2313→→→→→AG＝AE＝(OB－2OA＋OC)，134→→→→∵OG＝3GG＝3(OG－OG)，∴OG＝OG1，113434→→→→∴OG＝OG＝(OA＋AG)1134132313→→→→＝(OA＋OB－OA＋OC)141414→→→＝OA＋OB＋OC，故選A.9．如果向量a，b與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則一定有()A．a(chǎn)與b共線B．a(chǎn)與b同向C．a(chǎn)與b反向D．a(chǎn)與b共面[答案]A[解析]由定理可知只有不共線的兩向量才可以做基底，B，C都是A的一種情況．空D錯(cuò)．10．對于空間的四個(gè)向量a，b，c，d最多能構(gòu)成的基底個(gè)數(shù)是B．2D．4間中任兩個(gè)向量都是共面的，故()A．1C．3[答案]D[解析]最多的情況是a，b，c，d中任兩個(gè)不共線，任三個(gè)不共面，從中任選三個(gè)都可做一組基底，共4個(gè)．二、填空題11．已知e、e、e3是不共面向量，若a＝e＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d121＝e1＋2e2＋3e3，又d＝αa＋βb＋γc，則α、β、γ分別為________．51]－1－22[答案[解析＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，d＝e＋2e2＋3e3，e1、e2、e3不共面，]d＝αa＋βb＋γc＝α(e1＋e2＋e3)＋β(e1＋e2－e3)＋γ(e1－e2＋e3)＝(α＋β＋γ)e1＋(α又因?yàn)?5α＝2β＝－α＋β＋γ＝11∴α＋β－γ＝2，解得.α－β＋γ＝31γ＝－212．已知向量下的坐標(biāo)為________，在基底31p在基底{a，b，c}下的坐標(biāo)為(2,1，－1)，則p在基底{a＋b，a－b，c}{2a，b，－c}下的坐標(biāo)為________．[答案](，，－1)(1,1,1)22[解析]由條件p＝2a＋b－c.設(shè)p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(x，y，z)，則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a、b、c不共面，3x＝x＋y＝221∴－＝，∴xy1.＝y(tǒng)2z＝－1z＝－131{a＋b，a－b，c}下的坐標(biāo)為(，，－22即p在基底1)，同理可求p在基底c}下的坐標(biāo)為(1,1,1)．{2a，b，－O—ABC中，→E為AD的中點(diǎn)，則OE＝________.b＋→→→13．(2010·商丘高二檢測)在四面體OA＝a，OB＝b，OC＝c，D為BC的中點(diǎn)，121414[答案]a＋c14．三棱錐P－ABC中，∠ABC為直角，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M為PC→→→→{BA，BC，BP}為基底，則MN的坐標(biāo)為________．的中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，以121)[答案](，0，－212121212→→→→→→→→→[解析]MN＝BN－BM＝(BA＋BC)－(BP＋BC)＝BA－BP，1212→即MN＝，0，－.三、解答題→→→15．如圖所示，平行六面體OABC－O′A′B′C′，且OA＝a，OC＝b，OO′＝c.(1)用a，b，c表示向量OB→→′，AC′.(2)設(shè)G、H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH→.→→→→→→[解析](1)OB′＝OB＋BB′＝OA＋OC＋OO′＝a＋b＋c.→→→→→→AC′＝AC＋CC′＝AB＋AO＋AA′＝OC→→→＋OO′－OA＝b＋c－a.→→→→→(2)GH＝GO＋OH＝－OG＋OH1212→→→→＝－(OB＋OC′)＋(OB′＋OO′)12121(c－b)＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝216．如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′中，點(diǎn)E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中的x、y、z的值：(1)BD→→→→′＝xAD＋yAB＋zAA′.(2)AE→→→→＝xAD＋yAB＋zAA.→→→→→→→→→[解析](1)∵BD′＝BD＋DD′＝BA＋BC＋DD′＝－AB＋AD＋AA′→→→→又BD′＝xAD＋yAB＋zAA′∴x＝1，y＝－1，z＝1.1→→→→→(2)∵AE＝AA′＋A′E＝AA′＋AC′21→→→＝AA′＋(A′B′＋A′D′)21212→→→＝AD＋AB＋AA′，→→→→又AE＝xAD＋yAB＋zAA′.121y＝，z＝1.2∴x＝，17．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，并且PA＝AD＝1.選取恰當(dāng)?shù)幕浊笙蛄縈N→→、DC的坐標(biāo)．[解析]如圖所示，因?yàn)镻A＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可設(shè)DA→→→＝e，AB＝e，AP＝e.123以{e，e，e}為基底．123則∵M(jìn)N→→→→＝MA＋AP＋PN121→→→(PA＋AD＋DC)→→→→→＝MA＋AP＋PC＝MA＋AP＋2121(－e－e＋e)＝－e＋e＋223312121e，＝－e＋231→→DC＝AB＝e，21212∴MN→＝－，0，，DC→＝(0,1,0)．18．如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別在B1B和D1D上，且BE1323＝BB1，DF＝DD1.(1)證明：A、E、C1、F四點(diǎn)共面；(2)若EF→＝xAB→＋yAD→＋zAA，求x＋y＋z的值．→1→→→→[解析]