2023屆湘豫名校聯(lián)考高三第二次（4月）模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆湘豫名校聯(lián)考高三第二次（4月）模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式不等式求出集合A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B，結(jié)合交集的定義和運(yùn)算即可求解.【詳解】由，得，解得，所以；由，得，所以，所以.故選：D.2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算即可求解．【詳解】因?yàn)?，所以，所以z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限．故選：D．3．已知函數(shù)，則（

）A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】A【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以．所以，解得．故選：A4．設(shè)m，n，l分別是三條不同的直線，是平面，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，，，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【分析】利用直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系即可判斷．【詳解】A選項(xiàng)，時(shí)，直線m可能不垂直于平面，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)m，n異面時(shí)，也存在平面，使得，，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由線面垂直的性質(zhì)可知，當(dāng)，時(shí)，必有，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，顯然也可以有m，n異面，，，D錯(cuò)誤．故選：C．5．有兩個(gè)質(zhì)地均勻、大小相同的正四面體玩具，每個(gè)玩具的各面上分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4．同時(shí)拋擲兩個(gè)玩具，則朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型的概率公式即可求得本題答案.【詳解】根據(jù)題意，同時(shí)拋擲兩個(gè)玩具，朝下的面寫(xiě)有的數(shù)字有16種情況，分別為（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），朝下的面的數(shù)字之積是3的倍數(shù)的結(jié)果有7種，分別為（1，3），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），則數(shù)字之積是3的倍數(shù)的概率為，故選：D6．某公司為了解本公司的用電情況，統(tǒng)計(jì)了4天氣溫x（℃）與用電量y（度）之間的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：x9121518y60m3020若它們之間的線性回歸方程為，則（

）A．48 B．50 C．52 D．54【答案】B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)求得樣本中心，代入回歸方程，即可求解.【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得，，將點(diǎn)代入回歸方程得，解得．故選：B.7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】逐次執(zhí)行程序計(jì)算，直到滿足結(jié)束.【詳解】第1次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第2次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第3次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第4次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第5次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第6次循環(huán)：時(shí)，，不成立，第7次循環(huán)：時(shí)，，此時(shí)滿足，退出循環(huán)，輸出，故選：C8．已知F是拋物線C：的焦點(diǎn)，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，橫坐標(biāo)為的點(diǎn)P在直線l上，且滿足，則（

）A．2 B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量相等以及拋物線的定義求得.【詳解】設(shè)，，由，得，整理得，由拋物線C的方程，得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為．根據(jù)拋物線的定義，知，，所以．故選：A9．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且（且），若，則（

）A．46 B．49 C．52 D．55【答案】B【分析】根據(jù)遞推關(guān)系利用累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)，然后代入計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以，解得或（舍去）．故選：B．10．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．B．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱C．若在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】C【分析】根據(jù)圖象求得的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱性、最值等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由題圖知，的最小正周期，則．所以．將代入得，則，即．因?yàn)?，所以，將代入得，則，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以直線不是的圖象的一個(gè)對(duì)稱軸，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；易得在上單調(diào)遞增，且，即在時(shí)取得最大值，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為，C正確．故選：C11．已知橢圓C：的上頂點(diǎn)為A，直線l：與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的中點(diǎn)為B，直線AB恰好經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法求得，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】設(shè)，，，，，因?yàn)?，所以，即．所以，，即．因?yàn)锽為線段PQ的中點(diǎn)，所以，，又P，Q為橢圓上兩點(diǎn)，所以兩式相減得，所以，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，即，即．所以或，所以離心率或.故選：D12．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且，將沿EF折到的位置，則當(dāng)五棱錐的體積最大時(shí)，三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，求得五棱錐的體積表達(dá)式，并利用導(dǎo)數(shù)求得此時(shí)的值，判斷出球心的位置，計(jì)算出球的半徑，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】如圖，設(shè)，則．當(dāng)五棱錐的體積最大時(shí)，平面平面ABCD．設(shè)H是EF的中點(diǎn)，則．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面ABCD．因?yàn)椋?，所以．設(shè)，則．令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，五棱錐的體積最大，設(shè)外接圓的圓心為，外接圓的圓心為，如圖，過(guò)點(diǎn)，分別作平面和平面DEF的垂線交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O即為三棱錐外接球的球心．因?yàn)椋?，所以．所以球O的表面積為.故選：B【點(diǎn)睛】求解幾何體外接球有關(guān)的問(wèn)題，首先要找到球心的位置，可利用幾何體各面的外心來(lái)確定球心的位置，然后利用勾股定理等知識(shí)求得球的半徑.二、填空題13．已知向量，，且，則實(shí)數(shù)______．【答案】±1【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量的模長(zhǎng)公式求解即可．【詳解】由題意，得，所以，解得．故答案為：±1.14．若、滿足約束條件，則的取值范圍是______．【答案】【分析】作出不等式組所表示的可行域，分析可知目標(biāo)函數(shù)的幾何意義表示原點(diǎn)與可行域中任意一點(diǎn)的距離的平方，找出使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)即可得解.【詳解】不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)的幾何意義表示原點(diǎn)與可行域中任意一點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圖形可知，在點(diǎn)處取得最小值，在點(diǎn)處取得最大值，聯(lián)立方程，可得，即點(diǎn)，此時(shí)．所以的取值范圍為.故答案為：.15．已知函數(shù)滿足：對(duì)于任意，且，不等式恒成立．若是奇函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______．【答案】【分析】根據(jù)題目條件構(gòu)造函數(shù)，然后結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，逐步轉(zhuǎn)化，即可求得不等式的解集.【詳解】因?yàn)閷?duì)于任意的，且，都有，不妨設(shè)，則，即，所以在上單調(diào)遞減，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，則，因?yàn)椋?，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，即不等式的解集為，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：16．如圖，已知銳角為圓O的內(nèi)接三角形，圓O的半徑為R，且，∠BAC的平分線交邊BC于點(diǎn)D，且點(diǎn)D為邊BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，，則的面積為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用正弦定理，先求出的大小，然后由，可以得到，結(jié)合余弦定理，即可求出的值，由此可知，代入三角形的面積公式，即可得到本題答案.【詳解】因?yàn)椋愿鶕?jù)正弦定理，得，又因?yàn)闉殇J角，得，由題可知，因?yàn)椋?，即，化?jiǎn)得，設(shè)，在中，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以，又，所以，則，在中，，，所以.故答案為：三、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用退一作商法，結(jié)合等差數(shù)列的知識(shí)證得數(shù)列是等差數(shù)列.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.【詳解】（1）因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②．因?yàn)椋杂傻?，即．所以，即．由，得，所以，所以．所以?shù)列是以-2為首項(xiàng)，-3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，即，所以．所以．18．2022年10月12日，“天宮課堂”第三課在中國(guó)空間站開(kāi)講，新晉“太空教師”劉洋用2米長(zhǎng)的吸管成功喝到了芒果汁．這是中國(guó)航天員首次在問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙內(nèi)進(jìn)行授課，并通過(guò)網(wǎng)絡(luò)向全國(guó)進(jìn)行直播，這場(chǎng)直播極大地激發(fā)了廣大中學(xué)生對(duì)航天知識(shí)的興趣，為領(lǐng)悟航天精神，感受中國(guó)夢(mèng)想，某校高一年級(jí)組織了一次“尋夢(mèng)天宮”航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，為了解男生和女生對(duì)航天知識(shí)的掌握情況，該校隨機(jī)抽取了100名男生和100名女生的競(jìng)賽成績(jī)（滿分100分）作為樣本數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)分成6組：［40，50），［50，60），［60，70），［70，80），［80，90），［90，100］，整理得到如下頻率分布直方圖．(1)估計(jì)該校男生和女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)若競(jìng)賽成績(jī)?yōu)?0分或70分以上的學(xué)生稱為“太空達(dá)人”，完善2×2列聯(lián)表，并判斷：是否有95%的把握認(rèn)為是否獲得“太空達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)？非“太空達(dá)人”“太空達(dá)人”總計(jì)男生女生總計(jì)附：，其中．【答案】(1)男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為72.5，女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為69；(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析，有95%的把握認(rèn)為是否獲得“太空達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)．【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).（2）完善2×2列聯(lián)表，計(jì)算的值，由此作出判斷.【詳解】（1）男生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.2+95×0.1=72.5，女生競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)為：45×0.1+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.15+95×0.1=69．（2）完善2×2列聯(lián)表如下：非“太空達(dá)人”“太空達(dá)人”總計(jì)男生4060100女生5545100總計(jì)95105200所以的觀測(cè)值．所以有95%的把握認(rèn)為是否獲得“太空達(dá)人”稱號(hào)與性別有關(guān)．19．如圖，在四棱柱中，底面ABCD為平行四邊形，，∠BAD=60°，平面平面ABCD，，，E為上的一點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若平面BDE，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)，可得平面，從而，結(jié)合，即可證明平面；（2）利用等體積法，求三棱錐的體積轉(zhuǎn)化為求三棱錐體積的一半，即可求得本題答案.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，又，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?；因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以，又因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫?，平面，且，所以平?（2）如圖，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以在中，，所以?20．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線E：的右焦點(diǎn)為F，離心率為2，且過(guò)點(diǎn)．(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的直線在第一、三象限內(nèi)分別交雙曲線E于A，C兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)O的直線在第二、四象限內(nèi)分別交雙曲線E于B，D兩點(diǎn)，若直線AD過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F，求四邊形ABCD面積的最小值．【答案】(1)；(2)24．【分析】（1）利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)即可求解.（2）通過(guò)直線與雙曲線的位置關(guān)系，利用韋達(dá)定理，代入，求解雙曲線中的最值問(wèn)題．【詳解】（1）由雙曲線E的離心率為2，得①．因?yàn)殡p曲線E過(guò)點(diǎn)，所以②．又③，聯(lián)立①②③式，解得，．故雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由雙曲線的對(duì)稱性，知四邊形ABCD為平行四邊形，所以．由題意知直線AD的斜率不為零，設(shè)AD的方程為．聯(lián)立消去x，得．，設(shè)，，則，．因?yàn)锳，D均在雙曲線右支，所以所以解得．所以，．令，則．所以．令函數(shù)，易得在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．所以四邊形ABCD面積的最小值為24．21．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：．【答案】(1)分類討論，答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求得，對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的單調(diào)區(qū)間.（2）轉(zhuǎn)化不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得不等式成立.【詳解】（1）由題可得，．當(dāng)，即時(shí)，，由，得；由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，由，得或；由，得，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，在上單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）當(dāng)時(shí)，由，得，即．設(shè)，，則．設(shè)，，則．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，即．令，得，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以．又因?yàn)椋裕虼耍?dāng)時(shí)，恒成立．故當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)或證明不等式，當(dāng)一次求導(dǎo)無(wú)法求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可考慮進(jìn)行二次求導(dǎo)來(lái)對(duì)函數(shù)進(jìn)行研究，研究過(guò)程中要注意導(dǎo)函數(shù)和原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不能弄混.22．在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求直線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點(diǎn)，且直線與曲線交于，兩點(diǎn)，求的值.【答案】(1)；；.(2)6【分析】（1）根據(jù)直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，可得普通方程；根據(jù)動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為，可得曲線的直角坐標(biāo)方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化公式可得其極坐標(biāo)方程.（2）求出直線l的參數(shù)方程，聯(lián)立曲線的直角坐標(biāo)方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，表示出，進(jìn)行化簡(jiǎn)求值，可得答案.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，所以消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為.點(diǎn)N的直角坐標(biāo)為，由題意知,設(shè)，則即，即曲線C的直角坐