大學(xué)物理教學(xué)課件：量子物理2-1

第二章波函數(shù)和薛定諤方程1§1薛定諤方程的建立1.自由粒子波函數(shù)沿x方向傳播的單色平面波表示為：實(shí)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式沿x方向運(yùn)動的動能為E和動量為p的自由粒子的波函數(shù)=2k=2/?=h/222.自由粒子的薛定諤方程自由粒子波函數(shù)：當(dāng)自由粒子速度遠(yuǎn)小于光速c時（v<<c）自由粒子的動量和能量滿足以下關(guān)系：3一維自由粒子運(yùn)動所遵從的薛定諤方程：三維自由粒子運(yùn)動所遵從的薛定諤方程：引入則：43.薛定諤方程的一般形式薛定諤方程為：

若粒子不是自由的，而是在某力場中運(yùn)動，勢能為V(x)，則一維運(yùn)動時粒子的總能量應(yīng)為：薛定諤方程的三維表示：54.對自由粒子薛定諤方程的討論薛定諤方程的解是粒子的波函數(shù)，每一個波函數(shù)描寫粒子的一個運(yùn)動狀態(tài)；該方程是一個線性方程，態(tài)疊加原理成立。薛定諤方程是微觀粒子的運(yùn)動方程，若已知某時刻粒子的狀態(tài)，即波函數(shù)，則可以求出其后任何時刻的狀態(tài)；利用該方程還可以求出粒子在給定環(huán)境下可能的所有穩(wěn)定狀態(tài)。61.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋§2波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋波動觀點(diǎn)粒子觀點(diǎn)明紋處:電子波強(qiáng)(r,t)2大,電子出現(xiàn)的概率大;暗紋處:電子波強(qiáng)(r,t)2小,電子出現(xiàn)的概率小。電子單縫衍射實(shí)驗I01XP結(jié)論：波函數(shù)模的平方(r,t)2與粒子在處附近出現(xiàn)的概率成正比。7電子的雙縫干涉實(shí)驗圖片：電子在底片上各位置出現(xiàn)的幾率不是常數(shù)，出現(xiàn)的幾率大，即出現(xiàn)干涉圖樣中的“亮條紋”；有些地方電子出現(xiàn)的幾率為零，沒有電子到達(dá)，顯示“暗條紋”。在電子雙縫干涉實(shí)驗中觀察到的，是大量事件所顯示出來的一種概率分布。玻恩對波函數(shù)物理意義的解釋：波函數(shù)在空間某一點(diǎn)的強(qiáng)度和在該點(diǎn)找到粒子的幾率成正比。8波函數(shù)模的平方代表時刻t，在處粒子出現(xiàn)的幾率密度。時刻t粒子出現(xiàn)在附近d體積內(nèi)的幾率為：波函數(shù)不僅把粒子與波統(tǒng)一起來，同時以幾率幅（幾率密度幅）的形式描述粒子的量子運(yùn)動狀態(tài)已知波函數(shù)可以得知粒子在空間任意一點(diǎn)出現(xiàn)的幾率：粒子在空間各點(diǎn)出現(xiàn)的幾率總和等于1。9波函數(shù)必須滿足以下幾個條件：單值、連續(xù)、有限、歸一化連續(xù)可微，且一階導(dǎo)數(shù)也連續(xù)可微若一個未歸一化的波函數(shù)其歸一化的形式的，和描述同一個微觀狀態(tài)。10用經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)描述粒子狀態(tài)的區(qū)別：經(jīng)典力學(xué)量子力學(xué)粒子狀態(tài)的基本描述坐標(biāo)（位置）動量（運(yùn)動速度）--都是確定量粒子具有波粒二象性，不可能同時具有確定的坐標(biāo)和動量，坐標(biāo)和動量都是以一定的幾率出現(xiàn)。用波函數(shù)描寫體粒子的量子狀態(tài)。其它量其它物理量如能量等都是坐標(biāo)和動量的函數(shù)--都是確定量所有其它量都是以一定幾率出現(xiàn)--用波函數(shù)描寫體粒子的量子狀態(tài)。11對于一維粒子出現(xiàn)在x坐標(biāo)的平均值為相應(yīng)的漲落偏差例如在量子力學(xué)中力學(xué)量表示為：結(jié)論：經(jīng)典力學(xué)能夠表示粒子確定的位置和動量，但是量子力學(xué)中的波函數(shù)只能給出粒子位置的平均值及其偏差。122.態(tài)的疊加原理用電子雙縫干涉說明量子力學(xué)中態(tài)的疊加導(dǎo)致了在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性（即波動性）。12當(dāng)雙縫同時打開時，一個電子同時處在1態(tài)和2態(tài)。雙縫干涉結(jié)果是它們的線性組合態(tài)。單縫1使通過它的電子處于1態(tài)；單縫2使其處于2態(tài)。處于兩態(tài)的幾率分別為：13第三項稱為相干項。量子力學(xué)中態(tài)的疊加原理導(dǎo)致了疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性，出現(xiàn)了干涉圖樣。它是由微觀粒子波粒兩象性所決定的，不同于經(jīng)典粒子。雙縫同時打開時電子的狀態(tài)為：電子的幾率分布為：經(jīng)典粒子態(tài)的疊加沒有相干項。14例題設(shè)粒子在一維空間運(yùn)動，其狀態(tài)可用波函數(shù)描述為：其中A為任意常數(shù)，E和b均為確定的常數(shù)求：歸一化的波函數(shù)；幾率密度W？即：15歸一化的波函數(shù)表示為：幾率密度為：在區(qū)間（b/2,b/2)以外找不到粒子。在x=0處找到粒子的幾率最大。b/2-b/216波函數(shù)描述的粒子的動量的平均值為，偏差為經(jīng)典力學(xué)能夠表示粒子確定的位置和動量，但是量子力學(xué)中的波函數(shù)只能給出粒子位置的平均值及其偏差?！?不確定關(guān)系設(shè)描述粒子的波函數(shù)為，則粒子出現(xiàn)在x-x+dx間隔的概率：波函數(shù)描述的粒子的位置的平均值為，偏差為海森堡指出，平均偏差x和p之積有最小限制，即不確定關(guān)系或者測不準(zhǔn)關(guān)系171.不確定關(guān)系的物理表述及物理意義x表示粒子在x方向上的位置的不確定范圍，px表示在x方向上動量的不確定范圍，其乘積不得小于一個常數(shù)。若一個粒子的能量狀態(tài)是完全確定的，即E=0，則粒子停留在該態(tài)的時間為無限長，t=

。1927年海森堡提出的不確定關(guān)系是自然界的客觀規(guī)律，而不是測量技術(shù)和主觀能力的問題。不確定關(guān)系是量子理論中的一個重要概念。18例如：小球質(zhì)量m=10-3千克，速度V=10-1米/秒，

x=10-6米，則：普朗克常數(shù)在宏觀尺度上很小，因此宏觀物理量的不確定性在實(shí)驗的測量精度之內(nèi)。再如：電子質(zhì)量me=9.110-31千克，在原子中電子的

x10-10米，則：原子中電子速度的不確定量與速度本身的大小可比，甚至還大。因此，經(jīng)典粒子的概念已不適用，要考慮微觀粒子的波粒兩象性。192.不確定關(guān)系的應(yīng)用-估算氫原子可能具有的最低能量

電子束縛在半徑為r的球內(nèi)，所以x=r按不確定關(guān)系p?/r,pp?/r

當(dāng)不計核運(yùn)動時，氫原子的能量就是電子的能量：代入上式得：20基態(tài)能應(yīng)滿足：由此得出基態(tài)氫原子半徑：基態(tài)氫原子的能量：與玻爾理論結(jié)果一致。本例還說明：量子體系有所謂的零點(diǎn)能。21量子力學(xué)之爭

PK愛因斯坦玻爾波恩