2012西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱

2012西安電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)分析考研大綱一、考試總體要求與考試要點1．考試對象考試對象為具有全國碩士研究生入學(xué)考試資格并報考西安電子科技大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系碩士研究生的考生。2．考試總體要求測試考生對數(shù)學(xué)分析的基本內(nèi)容的理解、掌握和熟練程度。要求考生熟悉數(shù)學(xué)分析的基本理論、掌握數(shù)學(xué)分析的基本方法，具有較強的抽象思維能力、邏輯推理能力和運算能力。3．考試內(nèi)容和要點(一)實數(shù)集與函數(shù)

1、實數(shù)：實數(shù)的概念；實數(shù)的性質(zhì)；絕對值不等式。

2、函數(shù)：函數(shù)的概念；函數(shù)的定義域和值域；復(fù)合函數(shù)；反函數(shù)。

3、函數(shù)的幾何特性：單調(diào)性；奇偶性；周期性。

要求：理解和掌握絕對值不等式的性質(zhì)，會求解絕對值不等式；掌握函數(shù)的概念和表示方法，會求函數(shù)的定義域和值域，會證明具體函數(shù)的幾何特性。(二)數(shù)列極限

1、數(shù)列極限的概念（定義）。

2、數(shù)列極限的性質(zhì)：唯一性；有界性；保號性。

3、數(shù)列極限存在的條件：單調(diào)有界準則；兩邊夾法則。

要求：理解和掌握數(shù)列極限的概念，會使用語言證明數(shù)列的極限；掌握數(shù)列極限的基本性質(zhì)、運算法則以及數(shù)列極限的存在條件(單調(diào)有界原理和兩邊夾法則)，并能運用它們求數(shù)列極限；了解無窮小量和無窮大量的概念性質(zhì)和運算法則，會比較無窮小量與無窮大量的階。

(三)函數(shù)極限

1、函數(shù)極限的概念（定義、定義）；單側(cè)極限的概念。

2、函數(shù)極限的性質(zhì)：唯一性；局部有界性；局部保號性。

3、函數(shù)極限與數(shù)列極限的聯(lián)系。

4、兩個重要極限。

要求：理解和掌握函數(shù)極限的概念，會使用語言以及語言證明函數(shù)的極限；掌握函數(shù)極限的基本性質(zhì)、運算法則，會使用海涅歸結(jié)原理證明函數(shù)極限不存在；掌握兩個重要極限并能利用它們來求極限；了解單側(cè)極限的概念以及求法。(四)函數(shù)連續(xù)

1、函數(shù)連續(xù)的概念：一點連續(xù)的定義；區(qū)間連續(xù)的定義；單側(cè)連續(xù)的定義；間斷點的分類。

2、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：局部性質(zhì)及運算；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值性、有界性、介值性、一致連續(xù)性）；復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性；反函數(shù)的連續(xù)性。

3、初等函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解與掌握函數(shù)連續(xù)性、一致連續(xù)性的定義以及它們的區(qū)別和聯(lián)系，會證明具體函數(shù)的連續(xù)以及一致連續(xù)性；理解與掌握函數(shù)間斷點的分類；能正確敘述并簡單應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)以及初等函數(shù)的連續(xù)性。（五）實數(shù)系六大基本定理及應(yīng)用

1、實數(shù)系六大基本定理：確界存在定理；單調(diào)有界定理；閉區(qū)間套定理；致密性定理；柯西收斂準則；有限覆蓋定理。

2、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明：有界性定理的證明；最值性定理的證明；介值性定理的證明；一致連續(xù)性定理的證明。

要求：理解和掌握上、下確界的定義，會求具體數(shù)集的上、下確界；理解和掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)及其證明；能正確敘述實數(shù)系六大基本定理的內(nèi)容及其證明思想，會使用開覆蓋以及二分法構(gòu)造區(qū)間套進行簡單證明。

（六）導(dǎo)數(shù)與微分

1、導(dǎo)數(shù)概念：導(dǎo)數(shù)的定義；單側(cè)導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2、求導(dǎo)法則：初等函數(shù)的求導(dǎo)；反函數(shù)的求導(dǎo)；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)；隱函數(shù)的求導(dǎo)；參數(shù)方程的求導(dǎo)；導(dǎo)數(shù)的運算(四則運算)。

3、微分：微分的定義；微分的運算法則；微分的應(yīng)用。

4、高階導(dǎo)數(shù)與高階微分。

要求：能熟練地運用導(dǎo)數(shù)的運算性質(zhì)和求導(dǎo)法則求具體函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)和微分；理解和2、一致收斂的性質(zhì)：連續(xù)性定理；可積性定理；可導(dǎo)性定理。3、一致收斂的判別法；M-判別法；阿貝爾判別法；狄利克雷判別法。

要求：理解和掌握一致收斂的概念、性質(zhì)及其證明；能夠熟練地運用M-判別法判斷一些函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性。

（十五）冪級數(shù)

1、冪級數(shù)的概念以及冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域。

2、冪級數(shù)的性質(zhì)。3、函數(shù)展開成冪級數(shù)。

要求：理解和掌握冪級數(shù)的概念，會求冪級數(shù)的和函數(shù)以及它的收斂半徑、收斂區(qū)間、收斂域；掌握冪級數(shù)的性質(zhì)以及兩種將函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法，會把一些函數(shù)直接或者間接展開成冪級數(shù)。

（十六）傅里葉級數(shù)

1、傅里葉級數(shù)：三角函數(shù)系的正交性；傅里葉系數(shù)。

2、以為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)。3、以2L為周期的傅里葉級數(shù)。

4、收斂定理的證明。5、傅里葉變換。

要求：理解和掌握三角函數(shù)系的正交性與傅里葉級數(shù)的概念；掌握傅里葉級數(shù)收斂性判別法；能將一些函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)；了解收斂定理的證明以及傅里葉變換的概念和性質(zhì)。

（十七）多元函數(shù)極限與連續(xù)

1、平面點集與多元函數(shù)的概念。

2、二元函數(shù)的二重極限、二次極限。

3、二元函數(shù)的連續(xù)性。

要求：理解和掌握二元函數(shù)的二重極限、二次極限的概念以及它們之間的關(guān)系，會計算一些簡單的二元函數(shù)的二重極限和二次極限；掌握平面點集、聚點的概念；了解平面點集的幾個基本定理以及閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

（十八）多元函數(shù)的微分學(xué)

1、偏導(dǎo)數(shù)與全微分：偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念；可微與可偏導(dǎo)、可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

2、復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)。3、空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線。

4、方向?qū)?shù)與梯度。

5、多元函數(shù)的泰勒公式。6、極值和條件極值

要求：理解和掌握偏導(dǎo)數(shù)、全微分、方向?qū)?shù)、梯度的概念及其計算；掌握多元函數(shù)可微、可偏導(dǎo)和連續(xù)之間的關(guān)系；會求空間曲線的切線與法平面以及空間曲面的切平面和法線；會求函數(shù)的極值、最值；了解多元泰勒公式。

（十九）隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

1、隱函數(shù)：隱函數(shù)存在定理；反函數(shù)存在定理；雅克比行列式。

2、函數(shù)相關(guān)。

要求：了解隱函數(shù)的概念及隱函數(shù)存在定理，會求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；了解函數(shù)行列式的性質(zhì)以及函數(shù)相關(guān)。（二十）含參變量積分以及反常積分

1、含參變量積分：積分與極限交換次序；積分與求導(dǎo)交換次序；兩個積分號交換次序。

2、含參變量反常積分：含參變量反常積分的一致收斂性；一致收斂的判別法；歐拉積分、函數(shù)、函數(shù)。

要求：理解和掌握積分號下求導(dǎo)的方法；掌握函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)及其相互關(guān)系；了解含參變量反常積分的一致收斂性以及一致收斂的判別法。

（二十一）重積分

1、重積分概念：重積分的概念；重積分的性質(zhì)。

2、二重積分的計算：用直角坐標計算二重積分；用極坐標計算二重積分；用一般變換計算二重積分。

3、三重積分計算：用直角坐標計算三重積分；用柱面坐標計算三重積分；用球面坐標計算三重積分。

4、重積分應(yīng)用：求物體的質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量；求立體體積，曲面的面積；求引力。

要求：理解和掌握二重、三重積分的各種積分方法和特點，會選擇最合適的方法進行積分；掌握并合理運用重積分的對稱性簡化計算；了解柱面坐標和球面坐標積分元素的推導(dǎo)。

（二十二）曲線積分與曲面積分

1、第一類曲線積分：第一類曲線積分的概念、性質(zhì)與計算；第一類曲線積分的對稱性。

2、第二類曲線積分：第二類曲線積分的概念、性質(zhì)與計算；兩類曲線積分的聯(lián)系。3、第一類曲面積分：第一類曲面積分的概念、性質(zhì)與計算；第一類曲面積分的對稱性。4、第二類曲面積分：曲面的側(cè)；第二類曲面積分的概念、性質(zhì)與計算；兩類曲面積分的聯(lián)系。

5、格林公式：曲線積分與路徑的無關(guān)的四種等價敘述。

6、高斯公式。7、斯托克斯公式。

8、場論初步：梯度；散度；旋度。

要求：理解和掌握兩類曲線積分與曲面積分的概念、性質(zhì)與計算，會使用對稱性簡化第一類曲線以及曲面積分；熟練掌握格林公式、高斯公式的證明并能利用它們求一些曲線積分和曲面積分；了解兩類曲線積分及曲面積分的區(qū)別和聯(lián)系；了解斯托克斯公式和場論初步。二、考試形式與試卷結(jié)構(gòu)1.