2013年高考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練-數(shù)列(含詳解)

高考數(shù)學(xué)壓軸題突破訓(xùn)練：數(shù)列1.設(shè)函數(shù)．（1）若在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（2）證明：①；②1.解：（1）∵在單調(diào)，∴≤０或≥０在恒成立，即或在恒成立，∴≤０或≥1．（2）①設(shè)=，則，當(dāng)時(shí)，=0當(dāng)時(shí)，＞0∴遞增，當(dāng)時(shí)，＜0∴遞減，∴∴=≤0即（＞0）②由①，又＞∴左邊=≤右邊∴原不等式成立2.已知，數(shù)列滿足，。（）判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)列滿足，為的前項(xiàng)和。證明：<2.解：（1）≥0，僅當(dāng)時(shí)，，故在R上單調(diào)遞增。（2）為奇函數(shù)，,

由（1）知當(dāng)時(shí)，,即也就是在上恒成立。由已知得所以所以=3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式;（2）令，①當(dāng)為何正整數(shù)值時(shí)，：②若對(duì)一切正整數(shù)，總有，求的取值范圍。3.解：（1）令，，即由∵，∴，即數(shù)列是以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，∴（2）①，即②∵5.解：（=1\*ROMANI）∵，，，∴．即．又，可知對(duì)任何，，所以．∵，∴是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列．（=2\*ROMANII）由（=1\*ROMANI）可知=（）．∴．．當(dāng)n=7時(shí)，，；當(dāng)n<7時(shí)，，；當(dāng)n>7時(shí)，，．∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，取最大值，最大值為．（=3\*ROMANIII）由，得（*）依題意（*）式對(duì)任意恒成立，①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．②當(dāng)t<0時(shí)，由，可知（）．而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)，因此t<0不合題意．③當(dāng)t>0時(shí)，由（）,∴∴．（）設(shè)（）∵=,∴．∴的最大值為．所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．6.已知函數(shù)．（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且，已知a1=4，求證：an2n+2；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試比較與的大小，并說(shuō)明你的理由．6.解：(1)，．要使函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，則在內(nèi)恒大于0或恒小于0，當(dāng)在內(nèi)恒成立；當(dāng)要使恒成立，則，解得，當(dāng)恒成立，所以的取值范圍為．（2）根據(jù)題意得：，于是，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)，不等式成立；假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即也成立，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，不等式也成立，綜上得對(duì)所有時(shí)，都有．(3)由(2)得，于是，所以，累乘得：，所以7．（2012?四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距．（Ⅰ）用a和n表示f（n）；（Ⅱ）求對(duì)所有n都有成立的a的最小值；（Ⅲ）當(dāng)0＜a＜1時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由．考點(diǎn)圓錐曲線的綜合；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用。766398專綜合題。解答：解：（Ⅰ）∵拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，∴A（）對(duì)求導(dǎo)得y′=﹣2x∴拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，∴∵f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距，∴f（n）=an；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，則成立的充要條件是an≥2n3+1即知，an≥2n3+1對(duì)所有n成立，特別的，取n=2得到a≥當(dāng)a=，n≥3時(shí)，an＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+＞2n3+1當(dāng)n=0，1，2時(shí)，∴a=時(shí)，對(duì)所有n都有成立∴a的最小值為；（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（k）=ak，下面證明：首先證明：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x（x2﹣x）+1，0＜x＜1，則g′（x）=x（x﹣）當(dāng)0＜x＜時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)時(shí)，g′（x）＞0故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g（x）≥0，∴由0＜a＜1知0＜ak＜1，因此，從而=≥=＞=6.(2011年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分）已知數(shù)列與滿足：，，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，證明：是等比數(shù)列；（Ⅲ）設(shè)證明：．【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法.（Ⅰ）解:由,,可得,又當(dāng)n=1時(shí),,由,,得;當(dāng)n=2時(shí),,可得.當(dāng)n=3時(shí),,可得.（Ⅱ）證明:對(duì)任意,,①,②,③②-③得④,將④代入①,可得即(),又,故,因此,所以是等比數(shù)列.（III）證明：由（II）可得，于是，對(duì)任意，有將以上各式相加，得即，此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得從而所以，對(duì)任意，對(duì)于n=1，不等式顯然成立.所以，對(duì)任意（2010江西理數(shù)）22.（本小題滿分14分）證明以下命題：對(duì)任一正整a,都存在整數(shù)b,c(b<c)，使得成等差數(shù)列。存在無(wú)窮多個(gè)互不相似的三角形△，其邊長(zhǎng)為正整數(shù)且成等差數(shù)列?！窘馕觥孔鳛閴狠S題，考查數(shù)學(xué)綜合分析問(wèn)題的能力以及創(chuàng)新能力。（1）考慮到結(jié)構(gòu)要證，；類似勾股數(shù)進(jìn)行拼湊。證明：考慮到結(jié)構(gòu)特征，取特值滿足等差數(shù)列，只需取b=5a，c=7a，對(duì)一切正整數(shù)a均能成立。結(jié)合第一問(wèn)的特征，將等差數(shù)列分解，通過(guò)一個(gè)可做多種結(jié)構(gòu)分解的因式說(shuō)明構(gòu)成三角形，再證明互不相似，且無(wú)窮。證明：當(dāng)成等差數(shù)列，則，分解得：選取關(guān)于n的一個(gè)多項(xiàng)式，做兩種途徑的分解對(duì)比目標(biāo)式，構(gòu)造，由第一問(wèn)結(jié)論得，等差數(shù)列成立，考察三角形邊長(zhǎng)關(guān)系，可構(gòu)成三角形的三邊。下證互不相似。任取正整數(shù)m，n，若△m，△相似：則三邊對(duì)應(yīng)成比例，由比例的性質(zhì)得：，與約定不同的值矛盾，故互不相似。（2010安徽文數(shù)）（21）（本小題滿分13分)設(shè)是坐標(biāo)平面上的一列圓，它們的圓心都在軸的正半軸上，且都與直線相切，對(duì)每一個(gè)正整數(shù),圓都與圓相互外切，以表示的半徑，已知為遞增數(shù)列.(Ⅰ)證明：為等比數(shù)列；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【命題意圖】本題考查等比列的基本知識(shí)，利用錯(cuò)位相減法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理論證能力.【解題指導(dǎo)】（1）求直線傾斜角的正弦，設(shè)的圓心為，得，同理得，結(jié)合兩圓相切得圓心距與半徑間的關(guān)系，得兩圓半徑之間的關(guān)系，即中與的關(guān)系，證明為等比數(shù)列；（2）利用（1）的結(jié)論求的通項(xiàng)公式，代入數(shù)列，然后用錯(cuò)位相減法求和.【方法技巧】對(duì)于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問(wèn)題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)與之間的關(guān)系，然后根據(jù)這個(gè)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論.對(duì)于數(shù)列求和問(wèn)題，若數(shù)列的通項(xiàng)公式由等差與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列時(shí)，通常是利用前n項(xiàng)和乘以公比，然后錯(cuò)位相減解決.（2010天津文數(shù)）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，=0，且對(duì)任意k，成等差數(shù)列，其公差為2k.（Ⅰ）證明成等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅲ）記，證明.【解析】本小題主要考查等差數(shù)列的定義及前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法，滿分14分。（I）證明：由題設(shè)可知，，，，，。從而，所以，，成等比數(shù)列。（II）解：由題設(shè)可得所以.由，得，從而.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為或?qū)憺?，。（III）證明：由（II）可知，，以下分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m若，則，若，則.所以，從而當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)。所以，從而綜合（1）和（2）可知，對(duì)任意有（2010天津理數(shù)）（22）（本小題滿分14分）在數(shù)列中，，且對(duì)任意.，，成等差數(shù)列，其公差為。（Ⅰ）若=，證明，，成等比數(shù)列（）（Ⅱ）若對(duì)任意，，，成等比數(shù)列，其公比為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和公式、等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析和解決問(wèn)題的能力及分類討論的思想方法。滿分14分。（Ⅰ）證明：由題設(shè)，可得。所以==2k(k+1)由=0，得于是。所以成等比數(shù)列。（Ⅱ）證法一：（i）證明：由成等差數(shù)列，及成等比數(shù)列，得當(dāng)≠1時(shí)，可知≠1，k從而所以是等差數(shù)列，公差為1。（Ⅱ）證明：，，可得，從而=1.由（Ⅰ）有所以因此，以下分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)