高等數(shù)學(xué)同濟版第一章

高等數(shù)學(xué)同濟(tónɡjì)版第一章第一頁，共40頁。數(shù)學(xué)——研究(yánjiū)數(shù)和空間圖形及其相互關(guān)系的科學(xué)數(shù)學(xué)(shùxué)不僅(bùjǐn)是一種工具,數(shù)學(xué)而且是一種思維模式;

不僅是一種知識,

而且是一種素養(yǎng);

不僅是一種科學(xué),

而且是一種文化;

能否運用數(shù)學(xué)觀念定量思維是衡量民族科學(xué)文化素質(zhì)的一個重要標(biāo)志.數(shù)學(xué)一、什么是數(shù)學(xué)?第二頁，共40頁。2高等數(shù)學(xué)—研究(yánjiū)對象為變量,運動(yùndòng)和辯證法進入了數(shù)學(xué).1.分析根底(gēndǐ):函數(shù),極限,連續(xù)

2.微積分學(xué):一元微積分(上冊)(下冊)3.向量代數(shù)與空間解析幾何4.無窮級數(shù)5.常微分方程主要內(nèi)容：多元微積分二、什么是高等數(shù)學(xué)?初等數(shù)學(xué)—研究對象為常量,以靜止觀點研究問題.初等數(shù)學(xué)

——代數(shù)、幾何、三角、解析幾何第三頁，共40頁。3三、如何(rúhé)學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)?學(xué)數(shù)學(xué)(shùxué)最好的方式是做數(shù)學(xué)(shùxué)預(yù)習(xí)(yùxí)復(fù)習(xí)作業(yè)考勤自我學(xué)習(xí)的能力微信公眾號:山東建大高等數(shù)學(xué)第四頁，共40頁。4新生(xīnshēng)寄語學(xué)而優(yōu)那么(nàme)用,學(xué)而優(yōu)那么(nàme)創(chuàng)治學(xué)(zhìxué)之道：寬,專,漫

根底要寬專業(yè)要專

要使自己的專業(yè)知識漫到其他領(lǐng)域厚積薄發(fā)做好當(dāng)下第五頁，共40頁。5第一章分析(fēnxī)根底函數(shù)(hánshù)極限(jíxiàn)連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限第六頁，共40頁。6一、映射(yìngshè)二、函數(shù)(hánshù)的概念第一節(jié)映射(yìngshè)與函數(shù)

第一章三、函數(shù)的幾種特性四、反函數(shù)五、復(fù)合函數(shù)六、初等函數(shù)第七頁，共40頁。7一、映射(yìngshè)映射(yìngshè)設(shè)X,Y是兩個(liǎnɡɡè)非空集合,假設(shè)存在一個對應(yīng)規(guī)那么f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),那么稱f為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f

下的像

,記作元素

x

稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域

;Y

的子集稱為f

的值域

.第八頁，共40頁。8注意(zhùyì):1)映射的三要素—定義域,對應(yīng)(duìyìng)規(guī)那么,值域.2)元素(yuánsù)x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.對映射假設(shè),那么稱f為滿射;假設(shè)有那么稱f為單射;假設(shè)f既是滿射又是單射,那么稱f為雙射或一一映射.第九頁，共40頁。9例如(lìrú)

f

既是滿射又是單射,故f為雙射或一一映射(yìngshè).又如海倫(hǎilún)公式(滿射)第十頁，共40頁。10X(數(shù)集或點集

)說明(shuōmíng):在不同數(shù)學(xué)(shùxué)分支中有不同的慣用名稱.X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為(chēnɡwéi)X上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的函數(shù)映射又稱為算子.例如,目錄第十一頁，共40頁。11定義域二、函數(shù)(hánshù)的概念1.函數(shù)(hánshù)的概念設(shè)數(shù)集那么(nàme)稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為自變量因變量叫作函數(shù)在x0處的函數(shù)值.稱為函數(shù)的值域.函數(shù)圖形:第十二頁，共40頁。12〔1〕單值函數(shù)(hánshù)多值函數(shù)(hánshù)沒有特別說明(shuōmíng)，均指單值函數(shù).說明：例如在(-r,r)內(nèi)為多值函數(shù).為單值函數(shù),在〔2〕函數(shù)相等例如：和是不同的函數(shù)〔對應(yīng)關(guān)系不同〕和是不同的函數(shù)〔定義域不同〕和是相同的函數(shù).第十三頁，共40頁。13例1函數(shù)(hánshù)解及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域第十四頁，共40頁。14例2函數(shù)例3絕對值函數(shù)例4符號(fúhào)函數(shù)Sign[sain]1x顯然(xiǎnrán)：定義域為值域為第十五頁，共40頁。15例5取整函數(shù)(hánshù)：如3yx1123-1-2-3-2-1-32不超過(chāoguò)x的最大整數(shù)，記做：目錄(mùlù)除例2外都是分段函數(shù)第十六頁，共40頁。161.函數(shù)(hánshù)的有界性上界:

為一個上界.稱f(x)在

X上有上界.下界(xiàjiè):稱f(x)在X上有下界.

為一個下界.有界:|f(x)|M.M為正數(shù)(zhèngshù)無界:在(0,1)內(nèi)有下界,但沒有上界,所以無界.例如f(x)=sinx,有界.結(jié)論f(x)在X上有界f(x)在X上既有上界又有下界.使得三、函數(shù)的幾種特性第十七頁，共40頁。172.函數(shù)(hánshù)的單調(diào)性設(shè)f(x)的定義域為D，區(qū)間I

D,對于I

上任意兩點若恒有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在I

內(nèi)單調(diào)增加

;則稱f(x)在I

內(nèi)單調(diào)減少

.若恒有f(x1)>f(x2),單調(diào)增加或單調(diào)減少的函數(shù)(hánshù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)(hánshù).圖象(túxiànɡ)：第十八頁，共40頁。183.函數(shù)(hánshù)的奇偶性設(shè)f(x)的定義域

D關(guān)于原點對稱（即x

D，x

D），偶函數(shù)的圖形關(guān)于(guānyú)y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于(guānyú)原點對稱.若恒有

，則稱f(x)在

D內(nèi)為偶函數(shù).若恒有，則稱f(x)在D內(nèi)為奇函數(shù)

;說明(shuōmíng)假設(shè)在x=0有定義,為奇函數(shù)時,那么當(dāng)必有第十九頁，共40頁。19例如(lìrú),

偶函數(shù)雙曲余弦(yúxián)記又如,奇函數(shù)雙曲正弦(zhèngxián)記P13：第二十頁，共40頁。20再如,奇函數(shù)雙曲正切(zhèngqiē)記說明(shuōmíng)給定那么(nàme)偶函數(shù)奇函數(shù)P11例11自學(xué)：P11函數(shù)的運算第二十一頁，共40頁。214.函數(shù)(hánshù)的周期性都有(xl)D，且

f(xl)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，設(shè)f(x)的定義域為D，如果存在l≠0,使得對于任意xD,l稱為(chēnɡwéi)f(x)的周期.通常(tōngcháng)，周期是指最小正周期.周期為

周期為注周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x

為無理數(shù)目錄第二十二頁，共40頁。221.反函數(shù)的概念(gàiniàn)假設(shè)(jiǎshè)函數(shù)為單射,那么(nàme)存在逆映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù)

.其反函數(shù)(減)(減).(1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增2.反函數(shù)的性質(zhì)四、反函數(shù)相對而言，y=f(x)稱為直接函數(shù).第二十三頁，共40頁。23(2)函數(shù)(hánshù)與其(yǔqí)反函數(shù)的圖形關(guān)于(guānyú)直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)第二十四頁，共40頁。24考慮正弦函數(shù)(hánshù)、余弦函數(shù)(hánshù):第二十五頁，共40頁。25得到(dédào)反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù):反三角函數(shù)都是多值函數(shù)，可選取(xuǎnqǔ)其單值支作為主值.第二十六頁，共40頁。26考慮正切(zhèngqiē)函數(shù):得到反正(fǎnzhèng)切函數(shù):第二十七頁，共40頁。27考慮(kǎolǜ)余切函數(shù):得到(dédào)反余切函數(shù):目錄(mùlù)第二十八頁，共40頁。28那么(nàme)設(shè)有函數(shù)(hánshù)鏈稱為由①,②確定(quèdìng)的復(fù)合函數(shù),①②u稱為中間變量.注意

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:可定義復(fù)合函數(shù)五、復(fù)合函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù).第二十九頁，共40頁。29兩個(liǎnɡɡè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如(lìrú),可定義復(fù)合(fùhé)函數(shù):約定:為簡單計,書寫復(fù)合函數(shù)時不一定寫出其定義域,

默認對應(yīng)的函數(shù)鏈順次滿足構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件.目錄第三十頁，共40頁。30六、初等(chūděng)函數(shù)1.根本初等(chūděng)函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)(zhǐshùhánshù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)及根本初等函數(shù)否那么稱為非初等函數(shù).例如

,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四那么運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù)

.可表為故為初等函數(shù).又如

,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).(自學(xué),P13–P15)如

第三十一頁，共40頁。31設(shè)函數(shù)(hánshù)

x

換為f

(x)例6解第三十二頁，共40頁。32例7求的反函數(shù)及其定義域.解當(dāng)時,那么(nàme)當(dāng)時,那么(nàme)當(dāng)時,那么(nàme)反函數(shù)定義域為第三十三頁，共40頁。33內(nèi)容(nèiróng)小結(jié)1.映射(yìngshè)的概念定義域?qū)?yīng)(duìyìng)規(guī)律3.函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性4.初等函數(shù)的結(jié)構(gòu)2.函數(shù)的定義及函數(shù)的二要素

第一章第一節(jié)作業(yè)：1~6結(jié)束第三十四頁，共40頁。34且備用(bèiyòng)題證明(zhèngmíng)證:

令那么(nàme