靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題

靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題2023/5/8第五章1第1頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章2第一節(jié)靜態(tài)場(chǎng)邊值問題的基本概念一、靜態(tài)場(chǎng)：靜電場(chǎng)、恒定場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)。二、靜態(tài)場(chǎng)的基本方程：即：環(huán)量、通量方程引入輔助量泊松方程或拉普拉斯方程三個(gè)標(biāo)量方程（５－１－１）（５－１－２）第2頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章3三、靜態(tài)場(chǎng)的求解------靜態(tài)場(chǎng)的邊值問題:求(５-１-１)、(５-１-２)的通解；利用給定的邊界條件求的特解；根據(jù)唯一性定理：滿足三類邊值問題的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。四、求解靜電場(chǎng)的邊值問題的方法:解析法：求在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達(dá)式,根據(jù)表達(dá)式,可求出任意點(diǎn)確切的值.(規(guī)則邊界)第3頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章4分離變量法、鏡像法、數(shù)值計(jì)算法：缺點(diǎn)：一次運(yùn)算一個(gè)邊界；優(yōu)點(diǎn)：任意邊界。實(shí)驗(yàn)研究法:用實(shí)驗(yàn)裝置模擬實(shí)際的物理場(chǎng)方程及給定邊界值,測(cè)量出相應(yīng)的待求函數(shù)的值的方法.求在場(chǎng)域內(nèi)一組離散點(diǎn)上的近似函數(shù)值。優(yōu)點(diǎn)：解具有代數(shù)方程的形式,方程中解的參數(shù)值可以置換,便于研究不同參數(shù)下場(chǎng)的不同分布;

缺點(diǎn):要求邊界形狀比較苛刻,復(fù)雜邊界形狀的場(chǎng)域難以求解.第4頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章5第二節(jié)分離變量法一、分離變量法的一般步驟（規(guī)則邊界）：１、分離變量法：２、分離變量法的一般步驟：由給定邊界條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出該坐標(biāo)系的拉氏（泊松）方程的表示式。第5頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章6把待求的位函數(shù)用分離變量法表示出來；并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三個(gè)常微分方程；分別寫出其通解。用給定邊界條件以及通解中正交函數(shù)的正交性確定通解中的待定常數(shù)。特解。第6頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章7二、直角坐標(biāo)系中的分離變量法：(５-２-１)２、分離變量：令(５-２-２)(５-２-２)(５-２-１)將代入,并整理得:(５-２-３)１、位函數(shù)的拉氏方程：第7頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章8３、三個(gè)常微分方程：(５-２-４)(５-２-５)(５-２-６)(５-２-７)(５-２-３)由得：稱為分離常數(shù)。第8頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章9４、通解：(５-２-４)討論則為待定系數(shù)。>０，為實(shí)數(shù)；<０，為實(shí)數(shù)；則或(５-２-８)(５-２-９)(５-２-１０)１３30第9頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章10則(５-２-１１)同理，的通解亦可根據(jù)的取值不同，從而得到類似的通解。故５、由給定邊界條件確定待定系數(shù)特解。１３第10頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章11例：一長(zhǎng)直金屬槽的長(zhǎng)度方向平行于z軸，其橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為０，而頂蓋電位

求槽內(nèi)電位的解。解：由題意，沿z方向是沒有變化的，而槽的邊界是與直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)面平行的。１、選直角坐標(biāo)系：如圖所示。２、拉氏方程：(５-２-１２)１３第11頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章12３、邊界條件：條件邊界(５-２-１３)(５-２-１４)(５-２-１５)(５-２-１６)４、用分離變量法分離出兩個(gè)常微分方程：(５-２-１７)令１４15第12頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章13則(５-２-１２)變成兩個(gè)方程(５-２-１８)(５-２-１９)(５-２-２０)１１５、求通解：>０，<０；９解為三角函數(shù)解為雙曲函數(shù)或?qū)嵵笖?shù)函數(shù)>０。<０，１０均為一次線性式。１６15第13頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章14６、特解：（結(jié)合具體邊界條件）分析：１２由（５-２-１３)、(５-２-１４),(５-２-１８)的解只能取三角函數(shù),即通解中的三種情況只有第一種是可以存在的.由(５-２-１５),(５-２-１９)的解只能取雙曲函數(shù).通解:(５-２-２１)(５-２-２２)第14頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章15特解:

則即故(５-２-２３)(５-２-２４)其中稱為方程(５-２-１８)滿足(５-２-１３)(５-２-１４)邊界條件的本征函數(shù).本征值1312

第15頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章16

由１３則故(５-２-２５)(５-２-２６)

第16頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章17故(５-２-２７)由邊界條件確定.

因上式右邊為三角函數(shù)級(jí)數(shù),要確定,其左邊也應(yīng)展開成三角函數(shù)級(jí)數(shù),亦稱傅里葉級(jí)數(shù),再比較其系數(shù)即可確定.第17頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章18將上式兩邊同乘,再對(duì)x從０a積分則即第18頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章19故當(dāng)時(shí),

即因已是三角函數(shù)則第19頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章20三、圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法：１、拉氏方程的展開式：(５-２-２８)令(５-２-２９)２、分離變量法：(５-２-２８)(５-２-２９)將代入，且整理得：第20頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章21(５-２-３０)上式中第二項(xiàng)僅與有關(guān)，設(shè)它等于一常數(shù)。(５-２-３１)將(５-２-３１)(５-２-３０)代入，并整理得：(５-２-３２)上式中第一、二項(xiàng)僅與r有關(guān)，第三項(xiàng)僅與z有關(guān)。第21頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章22令那么，拉氏方程變?yōu)椋?５-２-３３)(５-２-３４)最后分離出的三個(gè)常微分方程(５-２-３１)(５-２-３３)(５-２-３４)的通解形式與、的取值有關(guān)，其可能情況為

方程的解為：(５-２-３１)(５-２-３５)因在電磁場(chǎng)的諸多問題中，是的周期函數(shù)。２8第22頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章23故n=0,1,2,3……所以，n不能取分?jǐn)?shù)，也不能小于零。

方程的解為：<０，為實(shí)數(shù)；>０，為實(shí)數(shù)；或(５-２-３６)(５-２-３７)(５-２-３８)(５-２-３９)第23頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章24方程

的解為：首先將方程兩邊同乘，并展開后為：(５-２-４０)n階貝塞爾方程討論：分兩種情況

則（５-２-４０)的解為:

則（５-２-４０)變?yōu)闅W拉方程,其解為:(５-２-４１)(５-２-４２)第24頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章25>０，則（５-２-４０)為n階貝塞爾方程,其解為:<０，為實(shí)數(shù)；其中:為第一類貝塞爾函數(shù);為第二類貝塞爾函數(shù).(諾依曼函數(shù))為虛宗(變)量貝塞爾函數(shù).(５-２-４３)(５-２-４４)３１第25頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章26n為整數(shù):且~區(qū)間有無數(shù)個(gè)零點(diǎn);則無實(shí)數(shù)零點(diǎn);且當(dāng)均發(fā)散.即時(shí)第26頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章27貝塞爾函數(shù)曲線第27頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章28例:半徑為a的半無限長(zhǎng)金屬圓筒,筒底與圓筒壁有很窄的絕緣,圓筒側(cè)壁電位為零,筒底電位為,求圓筒內(nèi)的電位分布.解:如圖所示１、建立坐標(biāo)系：依題意，取柱坐標(biāo)系0~a關(guān)于z軸對(duì)稱與無關(guān)不為周期函數(shù)故即２２第28頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章29２、滿足的拉氏方程與邊界條件：(５-２-４５)<<(５-２-４７)(５-２-４６)<３、用分離變量法求的通解：令將之代入拉氏方程（５-２-４５),并整理得:３２３４第29頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章30令則分離出的常微分方程為:(５-２-４８)(５-２-４９)由方程(５-２-４８)與邊界條件(５-２-４６),有限.且不應(yīng)為周期函數(shù),則>０.9第30頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章31而應(yīng)為有限值,故則根據(jù)方程(５-２-４３),其解為零階貝塞爾函數(shù).２５又由方程(５-２-４９)>０.時(shí)故(５-２-５０)通解第31頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章32４、由邊界條件決定待求常數(shù)特解：由（５-２-４６),２９零階貝塞爾函數(shù)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn),即有無數(shù)個(gè)取值,(５-２-５１)稱為貝塞爾函數(shù)的根,記為零階貝塞爾函數(shù)的第m個(gè)根.(５-２-５１)則由有即(５-２-５２)第32頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章33的取值既可查函數(shù)表,也可查曲線表.

故(５-２-５３)第33頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章34由邊界條件２９(５-２-４７)，則(５-２-５３)為:(５-２-５４)根據(jù)貝塞爾函數(shù)的正交性:則有(５-２-５５)將(５-２-５４)兩邊同乘以,并在區(qū)間積分.~(５-２-５６)第34頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章35而(５-２-５７)將(５-２-５５)(５-２-５７)(５-２-５６)代入故第35頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章36四、球坐標(biāo)系中的分離變量法：１、拉氏方程的展開式：２、分離變量法：令(５-２-５8)(５-２-５9)將(５-２-５９)(５-２-５８)代入并整理化簡(jiǎn)得：(５-２-６０)第36頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章37令(５-２-６１)將(５-２-６１)(５-２-６０)代入并整理化簡(jiǎn)得：(５-２-６２)令(５-２-６３)(５-２-６４)將(５-２-６４)(５-２-６２)代入并整理化簡(jiǎn)得：(５-２-６５)３９第37頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章38３、通解：方程（５-２-６１)的通解為:(５-２-６７)方程（５-２-６４)為歐拉方程,其通解為:方程（５-２-６５)稱連帶勒讓德方程,(５-２-６６)在電磁場(chǎng)的很多實(shí)際問題中,位函數(shù)常與方位角無關(guān),即由方程(５-２-６６)知,m=0第38頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章39若令３７（５-２-６８)方程（５-２-６５)變?yōu)?勒讓德方程(n階)當(dāng)場(chǎng)域包括軸.方程(５-２-６８)的解為第一類勒讓德多項(xiàng)式.（５-２-６９)微分形式第39頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章40則（５-２-７１)或通解:當(dāng)m=0,且場(chǎng)域包括z軸時(shí),其通解為:（５-２-７０)第40頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章41第三節(jié)有限差分法差分:近似地以差分代替微分.有限差分法:(近似)數(shù)值計(jì)算法.在待求場(chǎng)域中選取有限個(gè)離散點(diǎn),然后在各個(gè)離散點(diǎn)上以差分方程代替其微分方程,從而把以連續(xù)變量形式表示的位函數(shù)方程,轉(zhuǎn)化為以離散點(diǎn)位函數(shù)表示的差分方程組.由邊界條件,最后確定各離散點(diǎn)上的位函數(shù)值.第41頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章42一、差分方程組的形式：１、函數(shù)的一階差分為：有限小差分微分無限小當(dāng)很小時(shí)，差分近似等于微分。導(dǎo)數(shù)２、一階差商：當(dāng)h很小時(shí)，第42頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章43同理，二階差商（分）：３、偏導(dǎo)數(shù)亦可用差商近似表示：４、求差分方程組：（有限個(gè)點(diǎn)）第43頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章44例：在一個(gè)二維矩形場(chǎng)域Ｄ內(nèi)，電位函數(shù)滿足泊松方程和第一類邊值。即（在Ｄ內(nèi)）１２（在邊界上）Ｆ為已知函數(shù)，在電場(chǎng)中，,求的差分方程組。解：將場(chǎng)域Ｄ劃分為邊長(zhǎng)為h的正方形網(wǎng)格，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱節(jié)點(diǎn)；其正方形的邊長(zhǎng)h稱步距。將各節(jié)點(diǎn)標(biāo)上號(hào)，0、1、2、3、4４８第44頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章45設(shè)節(jié)點(diǎn)０的電位為:０點(diǎn)相鄰的四個(gè)(１,２,３,４)節(jié)點(diǎn)上的電位分別為泰勒(Taylor)公式:回憶:其中:是階比高的無窮小,則我們常以的一次式近似地代替第45頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章46則根據(jù)泰勒公式，過０點(diǎn)且平行于x軸的直線上任一點(diǎn)x處的電位為：那么,能否用的二次式或n次多項(xiàng)式來表示,從而使精確度更提高呢?答案是可以!拉格拉日余項(xiàng)３第46頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章47４５減很小,略去以上的各高次項(xiàng)得:６上式即為用０點(diǎn)處的平均中心差商近似其偏導(dǎo)數(shù)的表示式.對(duì)于節(jié)點(diǎn)“１”有則４５對(duì)于節(jié)點(diǎn)“３”有則第47頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章48４５加,并略去以及更高次方項(xiàng)后,得７８同理,將變量x改成變量y,則有:７８將代入,則１４４第48頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章49即９場(chǎng)域內(nèi)每一內(nèi)節(jié)點(diǎn)都有一個(gè)類似的方程,于是內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程組方程的個(gè)數(shù)。９解方程組，便可得到各節(jié)點(diǎn)的電位值。58第49頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章50求九個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)的正方形網(wǎng)格的差分方程組.解：應(yīng)用公式９內(nèi)節(jié)點(diǎn)“１”,與之相鄰的節(jié)點(diǎn)是則內(nèi)節(jié)點(diǎn)“２”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“３”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“４”第50頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章51內(nèi)節(jié)點(diǎn)“５”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“７”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“６”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“８”內(nèi)節(jié)點(diǎn)“９”以上九個(gè)方程即是差分方程組.第51頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章52二、差分方程組的解法：手算、機(jī)算。例：如圖所示，一很長(zhǎng)的接地金屬凹槽，橫截面為正方形，上蓋與地絕緣，且電位為４０Ｖ，蓋與槽之間間隙處為２０Ｖ，求槽內(nèi)電位值。解：１、分析：利用有限差分法來求槽內(nèi)電位值，首先應(yīng)劃分正方形網(wǎng)格，那么，網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)以多少為好？顯然，內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)越少，則計(jì)算就越簡(jiǎn)單，但是,節(jié)點(diǎn)數(shù)少，誤差就大，因而網(wǎng)格的劃分就以要求的精度為前提；其次，實(shí)際計(jì)算中，劃分網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)往往不是一次就確定其個(gè)數(shù)，而是逐次增加，直至同一節(jié)點(diǎn)上的電位值在前后兩次運(yùn)算中的誤差達(dá)到規(guī)定的要求。４０Ｖ２０Ｖ２０Ｖ０００第52頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章53２、計(jì)算：、內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電位滿足拉氏方程：即１０a如圖，利用上式，槽中心點(diǎn)的電位為：a第53頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章54上兩網(wǎng)格中心點(diǎn)的電位為：下兩網(wǎng)格中心點(diǎn)的電位為：、劃分網(wǎng)格如圖所示：bb第54頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章55兩節(jié)點(diǎn)的電位為：兩節(jié)點(diǎn)的電位分別為：、劃分網(wǎng)格如圖所示：cc第55頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章56ab對(duì)比以上三圖，發(fā)現(xiàn)圖中的內(nèi)節(jié)點(diǎn)也位于圖中，在圖中，再進(jìn)行第二次計(jì)算其電位：abccc兩點(diǎn)先后兩次計(jì)算所得電位的相對(duì)誤差不足２%。第56頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章57abc兩點(diǎn)先后兩次計(jì)算所得電位的相對(duì)誤差仍然有１２%。若要提高精度，則必須將網(wǎng)格再進(jìn)一步劃細(xì)。如內(nèi)節(jié)點(diǎn)過多，將要借助計(jì)算機(jī)才能完成差分網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的電位計(jì)算。第57頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章58例：在一個(gè)二維矩形場(chǎng)Ｄ內(nèi)，電位函數(shù)滿足泊松方程和第一類邊值求解：1、將式應(yīng)用于每一個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)(i,j)９49第58頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/8第五章59２、用迭代法計(jì)算：計(jì)算順序從左下角開始。即i小的先做，i相同時(shí)，j小的先做。采用逐次逼近法來求其內(nèi)節(jié)點(diǎn)的電位近似值，即開始計(jì)算時(shí)，首先假設(shè)一初值（稱第０次近似值），運(yùn)算從左下角開始計(jì)算，遍及所有下標(biāo)后得各內(nèi)節(jié)點(diǎn)電位值，記為，為第１次近似值。然后再從左下角過行第２次計(jì)算循環(huán)，得如此周而復(fù)始，直至第次近似值與第次近似值之誤差滿足計(jì)算精度為止。第59頁，共66頁，2023年，2月20日，星期四2023