高等代數(shù) 二次型

第五章二次型一、二次型及其標準形的概念二、二次型的表示方法三、二次型的矩陣及秩四、化二次型為標準形五、慣性定理六、正(負)定二次型的概念七、正(負)定二次型的判別1一、二次型及其標準形的概念稱為二次型.2只含有平方項的二次型稱為二次型的標準形（或法式）．例如為二次型的標準形.只含有平方項的且形如以下二次型稱為二次型的規(guī)范形31．用和號表示對二次型二、二次型的表示方法42．用矩陣表示56三、二次型的矩陣及秩在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型．這樣，二次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系．7解例１8四、化二次型為標準形2.正交線性替換法1.配方法Ｐ２０６例２3.初等變換法9設(shè)四、化二次型為標準形對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標準形．1011說明1213用正交變換化二次型為標準形的具體步驟14解1．寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值例215從而得特征值2．求特征向量3．將特征向量正交化得正交向量組164．將正交向量組單位化，得正交矩陣17于是所求正交變換為18解例31920212223二、小結(jié)

將一個二次型化為標準形，可以用正交變換法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，這取決于問題的要求．如果要求找出一個正交矩陣，無疑應(yīng)使用正交變換法；如果只需要找出一個可逆的線性變換，那么各種方法都可以使用．正交變換法的好處是有固定的步驟，可以按部就班一步一步地求解，但計算量通常較大；如果二次型中變量個數(shù)較少，使用拉格朗日配方法反而比較簡單．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的標準形可能不相同，但標準形中含有的項數(shù)必定相同，項數(shù)等于所給二次型的秩．24五、慣性定理一個實二次型，既可以通過正交變換化為標準形，也可以通過配方法化為標準形，顯然，其標準形一般來說是不唯一的，但標準形中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩．只含有平方項的且形如以下二次型稱為二次型的規(guī)范形正慣性指數(shù):規(guī)范型中正項個數(shù).負慣性指數(shù):規(guī)范型中負項個數(shù)25六、正(負)定二次型的判概念1.正定二次型與正定矩陣P2152.負定二次型與負定矩陣P22026七、正(負)定二次型的判別27正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)28例1

判別二次型是否正定.解它的順序主子式故上述二次型是正定的.29例2

判別二次型是否正定.解二次型的矩陣為用特征值判別法.故此二次型為正定二次型.即知是正定矩陣，30例3

判別二次型的正定性.解312.

正定二次型（正定矩陣）的判別方法：(1)定義法；(2)順次主子式判別法；(3)特征值判別法.四、小結(jié)

1.正定二次型的概念，正定二次型與正定