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文檔簡(jiǎn)介

1第二章離散時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間系統(tǒng)2.1

引言本書研究的對(duì)象是數(shù)字信號(hào)的分析和處理。信號(hào)通常分為:連續(xù)時(shí)間信號(hào)、離散時(shí)間信號(hào)、數(shù)字信號(hào)。

通常把時(shí)間連續(xù)、幅度也連續(xù)的信號(hào)稱為模擬信號(hào)或稱為連續(xù)時(shí)間信號(hào)。時(shí)間離散、幅度連續(xù)的信號(hào)被稱為離散時(shí)間信號(hào)。時(shí)間離散、幅度也離散的信號(hào)被稱為數(shù)字信號(hào)。系統(tǒng)的作用是把信號(hào)變換成某種更合乎要求的形式。輸入和輸出都是模擬信號(hào)的系統(tǒng)被稱為模擬系統(tǒng);輸入和輸出都是離散時(shí)間信號(hào)的系統(tǒng)被稱為離散時(shí)間系統(tǒng);輸入和輸出都是數(shù)字信號(hào)的系統(tǒng)被稱為數(shù)字系統(tǒng)。時(shí)域離散信號(hào)的表示方法;典型信號(hào)、線性時(shí)不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性;系統(tǒng)的輸入輸出描述法,線性常系數(shù)差分方程的解法;模擬信號(hào)數(shù)字處理方法。本章主要學(xué)習(xí)52.2

離散時(shí)間信號(hào)

離散時(shí)間信號(hào)是指一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)的數(shù)字序列,它是整數(shù)自變量n的函數(shù),表示為x(n)。離散時(shí)間信號(hào)也常用圖形描述。6一、常用的典型序列1.單位脈沖(采樣,沖激)序列圖1-2單位采樣序列和單位沖激信號(hào)(a)單位脈沖序列;(b)單位沖激信號(hào)72.單位階躍序列u(n)與單位脈沖序列的關(guān)系83.矩形序列圖1-4矩形序列(N=4)94.實(shí)指數(shù)序列105.正弦型序列

式中ω是正弦序列數(shù)字域的頻率。它反映了序列變化快慢的速率,或相鄰兩個(gè)樣點(diǎn)的弧度數(shù)。11

對(duì)連續(xù)信號(hào)中的正弦信號(hào)進(jìn)行采樣,可得正弦序列。模擬正弦信號(hào):數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω:數(shù)字域頻率;Ω:模擬域頻率

T:采樣周期;fs:采樣頻率數(shù)字域頻率相當(dāng)于模擬域頻率對(duì)采樣頻率的歸一化值。126.復(fù)指數(shù)序列式中,ω為數(shù)字域頻率。若σ=0,可得歐拉公式復(fù)正弦序列137.周期序列

如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小整數(shù)N,滿足則稱x(n)為周期序列,記,最小周期為N。例:因此,x(n)是周期為8的周期序列。14下面討論一般正弦序列的周期性

要使x(n+N)=x(n),即x(n)為周期為N的周期序列,則要求,即,即N,k為整數(shù),且k的取值保證N是最小的正整數(shù)。15分三種情況討論()

(1)當(dāng)為整數(shù)時(shí),取k=1,x(n)即是周期為的周期序列。

(2)當(dāng)為有理數(shù)時(shí)(P、Q為互素的整數(shù)),則正弦序列是以P為周期的周期序列。

(3)當(dāng)為無理數(shù)時(shí),任何整數(shù)k

都不能使N為正整數(shù),因此,此時(shí)的正弦序列不是周期序列。16例1-2判斷下列函數(shù)的周期性,并畫出相應(yīng)的波形。①②③17二、序列運(yùn)算1.乘法和加法圖1-7序列的加法和乘法182.移位及翻轉(zhuǎn)

表示序列右移(延時(shí));表示序列左移(超前)。是以n=0的縱軸為對(duì)稱軸左右翻轉(zhuǎn)得到。圖1-8序列的移位圖圖1-9序列的翻轉(zhuǎn)

193.尺度變換

表示序列每m點(diǎn)(或每隔m-1點(diǎn))取一點(diǎn),稱為序列的壓縮或抽取。表示把原序列兩相鄰值之間插入零值,稱為序列的伸展或內(nèi)插零值。20三、任意序列的單位脈沖序列表示

任意序列可表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和。即例如212.3離散時(shí)間系統(tǒng)

系統(tǒng)——將輸入序列x(n)變換成輸出序列y(n)的一種運(yùn)算,以T[]表示,則一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)可用下圖來表示記為y(n)=T[x(n)]

T[]y(n)x(n)221.LinearSystems

線性系統(tǒng)滿足疊加性和均勻性。

設(shè)T[x1(n)]=y1(n),T[x2(n)]=y2(n)

如果T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)成立,則此系統(tǒng)為線性系統(tǒng),否則為非線性系統(tǒng)。23

例1-3:判別系統(tǒng)y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b是否為線性系統(tǒng)?解:設(shè)T[x1(n)]=ax1(n)+bT[x2(n)]=ax2(n)+b

因?yàn)門[cx1(n)+dx2(n)]=a[cx1(n)+cx2(n)]+b而cy1(n)+dy2(n)=cax1(n)+dax2(n)+b(c+d)≠T[cx1(n)+dx2(n)]故此系統(tǒng)不是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)z(n)x(n)y(n)y0(n)圖1-15

增量線性系統(tǒng)

242.Time-InvariantSystems

系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號(hào)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無關(guān)。或者說,系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間變化,即不管輸入信號(hào)作用的時(shí)間先后,輸出信號(hào)的形狀均相同,僅是出現(xiàn)的時(shí)間不同。

設(shè)y(n)=T[x(n)],若y(n-k)=T[x(n-k)]成立,則稱該系統(tǒng)為時(shí)不變系統(tǒng)。25圖1-16系統(tǒng)時(shí)不變說明的示意圖26

例1-5判別y(n)=nx(n)所代表的系統(tǒng)是否是時(shí)不變系統(tǒng)。解:因?yàn)橐虼嗽撓到y(tǒng)不是時(shí)不變系統(tǒng)。273.線性時(shí)不變系統(tǒng)

同時(shí)具有線性和時(shí)不變性的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為線性時(shí)不變系統(tǒng)。(1)輸入與輸出之間的關(guān)系輸入為單位脈沖序列時(shí)系統(tǒng)的輸出稱為單位脈沖響應(yīng)。由h(n)可以確定任意輸入時(shí)的系統(tǒng)輸出,從而推出線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)一個(gè)非常重要的描述關(guān)系式。T[·]28對(duì)LTI系統(tǒng),討論對(duì)任意輸入的系統(tǒng)輸出任意輸入序列:系統(tǒng)輸出:T[·]

任意序列都可以表示成單位脈沖序列的移位加權(quán)和

——離散卷積或線性卷積29線性時(shí)不變系統(tǒng)卷積運(yùn)算有明確的物理意義,就是在一般意義上描述了線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)對(duì)輸入序列的作用或處理作用。

一個(gè)LTI系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)h(n)來表征,任意輸入的系統(tǒng)輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)的卷積。

30(2)線性卷積的計(jì)算計(jì)算它們的卷積的步驟如下:

(1)翻轉(zhuǎn)(折疊):先在啞變量坐標(biāo)軸m上畫出x(m)和h(m),將h(m)以縱坐標(biāo)為對(duì)稱軸折疊成h(-m)。

(2)移位:將h(-m)移位n,得h(n-m)。當(dāng)m為正數(shù)時(shí),右移m;當(dāng)m為負(fù)數(shù)時(shí),左移m。

(3)相乘:將h(n-m)和x(m)的對(duì)應(yīng)取樣值相乘。

(4)相加:把所有的乘積累加起來,即得y(n)。31例1-6

設(shè)x(n)=R4(n),h(n)=R4(n),求y(n)=x(n)*h(n)。解:采用圖解法。32

例1-7

設(shè)x(n)=3δ(n)+2δ(n-1)+δ(n-2),

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2),求y(n)=x(n)*h(n)。

解:采用列表法。

n=?3211126112711271123112133

在Matlab中,卷積可通過調(diào)用函數(shù)y=conv(x,h)來實(shí)現(xiàn)。卷積的性質(zhì):

1)兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N和M的序列,線性卷積后的序列長(zhǎng)度為N+M-1。證明:設(shè)x1(n)是長(zhǎng)度為N的有限長(zhǎng)序列(0≤n≤N-1),x2(n)是長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列(0≤n≤M-1)。

x1(m)的非零區(qū)間為0≤m≤N-1,x2(n-m)的非零區(qū)間為0≤n-m≤M-1,兩個(gè)不等式相加有0≤n≤N+M-2,所以,y(n)是一個(gè)長(zhǎng)度為N+M-1的有限長(zhǎng)序列。432)線性卷積服從交換律、結(jié)合律和分配律444.因果系統(tǒng)

如果系統(tǒng)n0時(shí)刻的輸出,只取決于n0時(shí)刻以及n0時(shí)刻以前的輸入序列,而和n0時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān),則稱為因果系統(tǒng)。

在數(shù)學(xué)上因果系統(tǒng)滿足方程:y(n)=f[x(n),x(n-1),x(n-2),……]

一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)為因果系統(tǒng)的充分必要條件是:

因果系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)物理上的可實(shí)現(xiàn)性。45非因果系統(tǒng)的延時(shí)實(shí)現(xiàn)465.穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)是指有界輸入產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)。即如果|x(n)|≤M(M為正常數(shù)),有|y(n)|<+∞,則該系統(tǒng)被稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分和必要條件是其單位取樣響應(yīng)h(n)絕對(duì)可和,即47

例1-8

設(shè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)h(n)=anu(n),式中a是實(shí)常數(shù),試分析該系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性。

解:(1)因果性

由于n<0時(shí),h(n)=0,系統(tǒng)是因果系統(tǒng)。(2)穩(wěn)定性因此系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是:

48

例1-9

判別系統(tǒng)y(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)的因果穩(wěn)定性。

解:(1)因果性

因?yàn)閥(n)=T[x(n)]=x(n)cos(ωn+φ)只與x(n)的當(dāng)前值有關(guān),而與x(n+1),x(n+2)……等未來值無關(guān),故系統(tǒng)是因果的。

(2)穩(wěn)定性

當(dāng)|x(n)|<M時(shí)有T[x(n)]|<M|cos(ωn+φ)|,由于|cos(ωn+φ)|≤1是有界的,所以y(n)=T[x(n)]也是有界的,故系統(tǒng)是穩(wěn)定的。49

系統(tǒng)的線性、時(shí)不變性、因果性和穩(wěn)定性是系統(tǒng)的四個(gè)互不相關(guān)的性質(zhì)。502.3.3

離散時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域描述––––差分方程一、常系數(shù)線性差分方程的一般表達(dá)式或其中ak,br都是常數(shù)。51說明:

1)差分方程的階數(shù)是用方程y(n-k)項(xiàng)中的k取值最大與最小之差確定的。

2)

該式說明,系統(tǒng)在某時(shí)刻n的輸出值y(n)不僅與該時(shí)刻的輸入x(n)、過去時(shí)刻的輸入x(n-1),x(n-2)等有關(guān),還與該時(shí)刻以前的輸出值y(n-1),y(n-2)等有關(guān)。

52差分方程的特點(diǎn)

采用差分方程描述系統(tǒng)簡(jiǎn)便、直觀、易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)

容易得到系統(tǒng)的運(yùn)算結(jié)構(gòu)

便于求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)但差分方程不能直接反應(yīng)系統(tǒng)的頻率特性和穩(wěn)定性等。實(shí)際上用來描述系統(tǒng)多數(shù)還是由系統(tǒng)函數(shù)。53二、差分方程的求解

常系數(shù)差分方程的求解方法有迭代法,時(shí)域經(jīng)典法,卷積法和變換域法。

時(shí)域經(jīng)典法類似于解微分方程,過程繁瑣,應(yīng)用很少,但物理概念比較清楚。迭代法(遞推法)比較簡(jiǎn)單,且適合于計(jì)算機(jī)求解,但不能直接給出一個(gè)完整的解析式作為解答(也稱閉合形式解答)。卷積法適用于系統(tǒng)起始狀態(tài)為零時(shí)的求解。變換域方法類似于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的拉普拉斯變換,這里采用Z變換法來求解差分方程,這在實(shí)際使用上是最簡(jiǎn)單有效的方法。54

例1-10:若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,輸入序列x(n)=δ(n),求初始條件分別為h(n)=0,n<0和h(n)=0,n>0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解:(1)令x(n)=δ(n),根據(jù)初始條件可遞推如下

y(0)=ay(-1)+δ(0)=1

y(1)=ay(0)+δ(1)=a

y(2)=ay(1)+δ(2)=a2……y(n)=ay(n-1)=an因此,h(n)=y(n)=anu(n)55

例1-10:若系統(tǒng)用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述,輸入序列x(n)=δ(n),求初始條件分別為h(n)=0,n<0和h(n)=0,n>0時(shí)的單位脈沖響應(yīng)h(n)。

解:(2)將差分方程改寫成y(n-1)=a-1[y(n)-x(n)]根據(jù)初始條件可遞推如下

y(0)=a-1[y(1)-δ(1)]=0

y(-1)=a-1[y(0)-δ(0)]=-a-1……

y(n)=ay(n-1)=-an因此,h(n)=y(n)=-anu(-n-1)56以上結(jié)果說明:

(1)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程不一定代表一個(gè)因果系統(tǒng)。(2)一個(gè)常系數(shù)線性差分方程,如果沒有附加的起始條件,不能唯一的確定一個(gè)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系,并且只有當(dāng)起始條件選擇合適時(shí),才相當(dāng)于一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)。

在以下的討論中,除非另外聲明,我們都假設(shè)常系數(shù)線性差分方程所表示的系統(tǒng)都是指線性時(shí)不變系統(tǒng),并且多數(shù)是指因果系統(tǒng)。連續(xù)系統(tǒng)的描述:微分方程,卷積,轉(zhuǎn)移函數(shù)(Laplace變換),頻率響應(yīng)(Fourier變換)離散時(shí)間系統(tǒng)離散系統(tǒng)的描述:差分方程,卷積,轉(zhuǎn)移函數(shù)(Z變換),頻率響應(yīng)(DTFT,DFT)例:當(dāng)前時(shí)刻差分方程前一時(shí)刻例:令則單位抽樣響應(yīng)描述了離散系統(tǒng)的特征,是重要的“物理量”,由可得到例:IIR系統(tǒng)即InfiniteImpulseResponseFiniteImpulseResponse例有限長(zhǎng):FIR系統(tǒng)66三、Matlab實(shí)現(xiàn)y=filter(b,a,x)

例1-11解:MATLAB程序a=[1,-1,0.9];b=[1];x=impseq(0,-20,120);%輸入n=[-20:120];h=filter(b,a,x);%系統(tǒng)輸出stem(n,h,'.');2.4離散時(shí)間信號(hào)和系統(tǒng)的

頻域描述對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)——時(shí)域分析方法采用差分方程描述頻域分析方法則用Z變換或傅里葉變換這一數(shù)學(xué)工具本章主要內(nèi)容:

本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換,以及利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性。

2.1序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)

2.2序列的Z變換

2.3系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)2.1

序列的傅立葉變換的定義及性質(zhì)一、序列的傅里葉變換的定義眾所周知,連續(xù)時(shí)間信號(hào)x(t)的傅里葉變換定義為:而X(jΩ)的傅里葉反變換定義為

離散時(shí)間信號(hào)x(n)的傅里葉變換定義為反變換

在物理意義上,X(ejω)表示序列x(n)的頻譜,ω為數(shù)字域頻率。X(ejω)一般為復(fù)數(shù)。值得注意的是,式中右邊的級(jí)數(shù)并不總是收斂的,或者說并不是任何序列x(n)的傅里葉變換都是存在的。只有當(dāng)序列x(n)絕對(duì)可和式中的級(jí)數(shù)才是絕對(duì)收斂的,或x(n)的傅里葉變換存在。二、常用序列的傅里葉變換

1.單位脈沖序列

其傅里葉變換為?含義是什么

單位脈沖信號(hào)包含了所有頻率分量,而且這些分量的幅度和相位都相同。

這就是用單位脈沖響應(yīng)能夠表征線性時(shí)不變系統(tǒng)的原因。2.矩形序列其傅里葉變換為

圖2.1RN(n)的幅度與相位曲線設(shè)N=5,幅度與相位隨ω變化曲線3.實(shí)指數(shù)序列其傅里葉變換為

設(shè)a=0.6,幅度與相位隨ω變化曲線如圖。離散時(shí)間傅里葉變換的兩個(gè)特點(diǎn):(1)X(ejω)是以2π為周期的ω的連續(xù)函數(shù)。(2)當(dāng)x(n)為實(shí)序列時(shí),X(ejω)的幅值|X(ejω)|在0≤ω≤2π區(qū)間內(nèi)是偶對(duì)稱函數(shù),相位arg[X(ejω)]是奇對(duì)稱函數(shù)。二、序列的傅里葉變換的性質(zhì)

1.線性設(shè)則式中a,b為常數(shù)。

2.時(shí)移與頻移設(shè),則時(shí)移特性頻移特性

3.周期性

序列的傅里葉變換是頻率ω的周期函數(shù),周期是2π。

4.對(duì)稱性質(zhì)

設(shè)一復(fù)序列,如果滿足則稱序列為共軛對(duì)稱序列。如果滿足,則稱序列為共軛反對(duì)稱序列。比較:對(duì)于實(shí)序列中偶對(duì)稱和奇對(duì)稱的定義。(公式2)(公式3)(公式4)(公式5)(公式6)(公式7)

1)任一序列可表示為共軛對(duì)稱序列與共軛反對(duì)稱序列之和(如是實(shí)序列,就是偶對(duì)稱序列和奇對(duì)稱序列之和)

類似地,序列的傅里葉變換可以被分解成共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱兩部分之和。

2)DTFT的對(duì)稱特性(同學(xué)們自己證明)

若x(n)為實(shí)序列,則推論

對(duì)于實(shí)序列的DTFT,要畫出X(ejω)的幅頻特性,只需要X(ejω)半個(gè)周期即可,通常在實(shí)際中是選擇ω∈[0,π]的部分。

5.時(shí)域卷積定理

若,則

6.頻域卷積定理(復(fù)卷積定理)

若,則

7.帕斯瓦爾(Parseval)定理信號(hào)時(shí)域的總能量與頻域中的總能量是一樣的。三、MATLAB實(shí)現(xiàn)

例2-1

,,求離散時(shí)間傅里葉變換并探討其周期性。解:因?yàn)閤(n)是復(fù)值的,它只滿足周期性,被唯一地定義在一個(gè)2

周期上。以下程序是在[-2,2]之間的兩個(gè)周期中的401個(gè)頻點(diǎn)上作計(jì)算以觀察周期性。n=0:10;x=(0.9*exp(j*pi/3)).^n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*pi/100)).^(n'*k);%用矩陣-向量乘法求DTFTmagX=abs(X);angX=angle(X);subplot(2,1,1);plot(w/pi,magX);axis([-2,2,0,8]);subplot(2,1,2);plot(w/pi,angX/pi);axis([-2,2,-1,1]);對(duì)

是周期的,但不是共軛對(duì)稱的。

例2-2

解:

不僅對(duì)對(duì)稱,而且是共軛對(duì)稱的。因此,對(duì)實(shí)序列,我們只需畫出它們從(0)間的傅里葉變換的模和相角響應(yīng)。952.4.3.離散時(shí)間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)設(shè)輸入序列是頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列,由線性卷積公式,得到系統(tǒng)的響應(yīng)頻率響應(yīng)的定義當(dāng)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸入是頻率為ω的復(fù)指數(shù)序列時(shí),輸出為同頻率的復(fù)指數(shù)序列乘以加權(quán)函數(shù)H(ω)。H(ω)反映復(fù)指數(shù)序列通過系統(tǒng)后幅度和相位隨頻率ω的變化H(ω)是一個(gè)與系統(tǒng)的特性有關(guān)的量,稱為單位脈沖響應(yīng)為h(n)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。

96H(ω)的表示

復(fù)函數(shù)H(ω)是以2π為周期的連續(xù)周期函數(shù),用實(shí)部和虛部表示為

H(ω)用幅度與相位表示為H(ω)的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)

97正弦輸入序列的系統(tǒng)頻率響應(yīng)可見,當(dāng)離散線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入正弦序列時(shí),輸出為同頻率的正弦序列,其幅度受頻率響應(yīng)幅度|H(ω)|的加權(quán),而相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和。

其傅里葉變換為

圖2.1RN(n)的幅度與相位曲線設(shè)N=5,幅度與相位隨ω變化曲線1002.5信號(hào)的取樣

2.5.1模擬信號(hào)數(shù)字處理方法前置預(yù)濾波器A/D變換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A變換器模擬濾波器模擬xa(t)PrFADCDSPDACPoF模擬ya(t)采樣采樣恢復(fù)101一、采樣的基本概念

所謂“采樣”,就是利用采樣脈沖序列從連續(xù)時(shí)間信號(hào)中抽取一系列的離散樣值,由此得到的離散時(shí)間信號(hào)通常稱為采樣信號(hào),以表示。圖1-21采樣的原理框圖采樣器連續(xù)信號(hào)采樣脈沖采樣信號(hào)102

(a)實(shí)際采樣(b)理想采樣圖1-22兩種采樣方式103二、理想采樣及其頻譜

1.時(shí)域分析數(shù)學(xué)模型采樣脈沖:理想采樣輸出:1042.頻域分析

傅里葉(Fourier,1768~1830)生子法國(guó)中部歐塞爾一個(gè)裁縫家庭,八歲時(shí)淪為孤兒,就讀子地方軍校,1795年任巴黎綜合工科大學(xué)助教,1798年隨拿破侖軍隊(duì)遠(yuǎn)征埃及,受到拿破侖器重,回國(guó)后被任命為格倫諾布爾省省長(zhǎng),由于對(duì)熱傳導(dǎo)理論的貢獻(xiàn)于1817年當(dāng)選為巴黎科學(xué)院院士,1822年成為科學(xué)院終身秘書。105

傅里葉早在1807年就寫成關(guān)于熱傳導(dǎo)的基本論文,但經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德審閱后被科學(xué)院拒絕,1811年又提交了經(jīng)修改的論文,該文獲科學(xué)院大獎(jiǎng),卻未正式發(fā)表。1822年,傅里葉終于出版了專著《熱的解析理論》。這部經(jīng)典著作將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應(yīng)用的三角級(jí)數(shù)方法發(fā)展成內(nèi)容豐富的一般理論,三角級(jí)數(shù)后來就以傅里葉名字命名。106

傅里葉發(fā)現(xiàn),任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示(選擇正弦函數(shù)與余弦函數(shù)作為基函數(shù)是因?yàn)樗鼈兪钦坏模?,后世稱為傅里葉級(jí)數(shù)。107

映射時(shí)域相乘頻域卷積(模擬系統(tǒng))

1)沖激函數(shù)序列δT(t)的頻譜考慮到周期信號(hào)可以用傅里葉級(jí)數(shù)展開,因此,沖激函數(shù)序列δT(t)可用傅里葉級(jí)數(shù)表示為:其中108因此,上式表明沖激函數(shù)序列具有梳狀譜的結(jié)構(gòu),即它的各次諧波都具有相等的幅度1/T。因?yàn)?,所以幅度譜頻譜1092)理想采樣信號(hào)的頻譜上式表明:

(1)頻譜產(chǎn)生周期延拓。即采樣信號(hào)的頻譜是頻率的周期函數(shù),其周期為Ωs。

(2)頻譜的幅度是Xa(jΩ)的1/T倍。110三、時(shí)域采樣定理

如果信號(hào)xa(t)是帶限信號(hào),且最高頻率不超過Ωs/2,即那么采樣頻譜中,基帶頻譜以及各次諧波頻譜彼此是不重疊的。

用一個(gè)帶寬為Ωs/2的理想低通濾波器,可以不失真的還原出原來的連續(xù)信號(hào)。

但是,如果信號(hào)最高頻譜超過Ωs/2,那么在采樣頻譜中,各次調(diào)制頻譜就會(huì)相互交疊起來,這就是頻譜混疊現(xiàn)象。其中,Ωs/2或fs/2,稱作折疊頻率。111圖1-24采樣信號(hào)的頻譜圖112圖1-26單音(余弦)信號(hào)采樣中的頻譜混疊情況示意圖

113

設(shè)

√沒有混疊時(shí),恢復(fù)出的輸出為

√有混疊時(shí),則是結(jié)論:為使采樣后能不失真的還原出原信號(hào),采樣頻率必須大于兩倍信號(hào)最高頻率,這就是奈奎斯特采樣定理。114四、采樣的恢復(fù)(內(nèi)插)

1.頻域分析1152.時(shí)域分析

把輸出看成是與理想低通單位沖激響應(yīng)g(t)的卷積理想低通G(jΩ)的沖激響應(yīng)為116

根據(jù)卷積公式,低通濾波器的輸出為:117其中:采樣內(nèi)插公式

內(nèi)插函數(shù)

內(nèi)插函數(shù)權(quán)內(nèi)插公式

內(nèi)插結(jié)果使得被恢復(fù)的信號(hào)在采樣點(diǎn)的值就等于xa(nT),采樣點(diǎn)之間的信號(hào)則是由各采樣值內(nèi)插函數(shù)的波形延伸疊加而成的。

頻率歸一化在的條件下,離散時(shí)間信號(hào)的頻譜與取樣信號(hào)的頻譜相等。118119

要完全恢復(fù)原來的連續(xù)信號(hào)xa(t),需要以下條件:

①限帶信號(hào);

②無限次的理想取樣(δ函數(shù));(N→∞)

③理想低通濾波器,即Sinc內(nèi)插函數(shù)(其截止頻率滿足fc≤f≤fs/2)但后兩條在物理上都是不可實(shí)現(xiàn)的,因此,原始信號(hào)在實(shí)際中不能由采樣真實(shí)的重建,而只能逼近原來的信號(hào)。

采樣內(nèi)插公式說明,只要采樣頻率高于兩倍信號(hào)最高頻率,則整個(gè)連續(xù)信號(hào)就可以完全用它的采樣值來代表,而不會(huì)丟掉任何信息。這就是奈奎斯特定理的意義。120

例1-12

已知某模擬信號(hào),將它分別用不同的采樣頻率進(jìn)行采樣得到離散時(shí)間信號(hào),試分析在以下兩種采樣頻率情況下對(duì)信號(hào)頻譜的影響。(1)采樣頻率fs=5kHz;(2)采樣頻率fs=1kHz121

例1-13:有一理想

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