例談?dòng)脭?shù)學(xué)方法處理高中物理問題

例談?dòng)脭?shù)學(xué)方法處理高中物理問題

石震陽(yáng)[Summary]用數(shù)學(xué)方法處理物理問題的題目在全國(guó)卷和地方卷都有所出現(xiàn)。此類題目難度較大，綜合考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力、物理思維能力和解決問題能力。求解物理問題離不開數(shù)學(xué)方法。[Key]數(shù)學(xué)方法;物理問題;函數(shù);圖形;歸納[]G633.7[]A[]1674-6058（2020）17-0048-02物理和數(shù)學(xué)緊密相連，密不可分。學(xué)好物理需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。處理物理計(jì)算題離不開數(shù)學(xué)方法和縝密的計(jì)算。多年的物理教學(xué)實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)成績(jī)好的學(xué)生一般物理成績(jī)都不會(huì)差。物理成績(jī)好的學(xué)生，數(shù)學(xué)成績(jī)一定好。本文結(jié)合典型例題探討運(yùn)用數(shù)學(xué)方法分析解決高中物理問題。一、應(yīng)用正、余弦定理和幾何圖形解決物理問題正、余弦定理是數(shù)學(xué)中解三角形時(shí)常用的兩個(gè)定理，學(xué)生在解決物理問題時(shí)也經(jīng)常遇到三角形的問題，正確運(yùn)用正、余弦定理和幾何圖形解決物理問題，往往能收到事半功倍的效果。[例1]（2019.山東日照市3月模擬）如圖1所示，兩個(gè)質(zhì)量分別為、/3m、m的小網(wǎng)環(huán)A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)線連著，套在一個(gè)豎直固定的大網(wǎng)環(huán)上，大網(wǎng)環(huán)的圓心為O。系統(tǒng)平衡時(shí)，細(xì)線所對(duì)的網(wǎng)心角為90°，大網(wǎng)環(huán)和小網(wǎng)環(huán)之間的摩擦力及細(xì)線的質(zhì)量忽略不計(jì)，重力加速度大小用g表示，下列判斷正確的是（）。A.小網(wǎng)環(huán)A、B受到大圓環(huán)的支持力之比是、/3：1B.小網(wǎng)環(huán)A受到大圓環(huán)的支持力與豎直方向的夾角為15。C.細(xì)線與水平方向的夾角為30°D.細(xì)線的拉力大小為解析：對(duì)A和B進(jìn)行受力分析，根據(jù)平行四邊形定則作出重力和支持力的合力，此合力的大小等于繩子的拉力的大小，設(shè)A、B所受的支持力與豎直方向的夾角分別為α和β，如圖2所示。再題圖中，根據(jù)幾何知識(shí)可以知道，細(xì)線與水平方向的夾角為180°-（45°+30°）-90°=15°，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤。思路分析：要正確分析小網(wǎng)環(huán)A、B的受力情況，首先作出重力和支持力的合力。在網(wǎng)上畫出A、B所受的支持力與豎直方向的夾角α、β是解題的關(guān)鍵。然后正確運(yùn)用正弦定理解題。二、應(yīng)用三角函數(shù)分析物理問題在處理物理矢量問題時(shí)，常常用三角函數(shù)知識(shí)來分析解決。三角函數(shù)不僅是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)，也是處理物理矢量問題時(shí)不可缺少的解題方法。[例2]（2019.山西臨汾市二輪復(fù)習(xí)模擬）如圖3所示是一旅行箱，它既可以在地面上推著行走，也可以在地面上拉著行走。已知該旅行箱的總質(zhì)量為15kg，一旅客用斜向上的拉力拉著旅行箱在水平地面上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，若拉力的最小值為90N，此時(shí)拉力與水平方向間的夾角為θ，重力加速度大小為g=10m/s2，sin37°=0.6，旅行箱受到地面的阻力與其受到地面的支持力成正比，比值為μ，則（）。A.μ=0.5，θ=37°B.μ=0.5，θ=53°C.μ=0，75，θ=53°D.μ=0.75，θ=37°解析：對(duì)旅行箱進(jìn)行受力分析，如圖4所示。根據(jù)平衡條件，水平方向，有：Fcosθ-Ff=0豎直方向有：FN+Fsinθ-G=0其中：Ff=μFN，思路分析：用三角函數(shù)知識(shí)處理物理問題的情形比較多，本題主要通過角度的分析，處理旅行箱的受力情況。通過力的正交分解，并應(yīng)用相關(guān)三角函數(shù)知識(shí)，使問題迎刃而解。三、應(yīng)用歸納法解決物理問題在解決某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，可以采用歸納法，即從個(gè)別的、特殊的事例出發(fā)，推出一般的、普遍的規(guī)律。數(shù)學(xué)歸納法對(duì)人的思維要求較高，高中物理的某些問題也離不開數(shù)學(xué)歸納法。[例3]（2019.山東日照市3月模擬）如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一、二象限內(nèi)，存在以虛線OM為邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。勻強(qiáng)電場(chǎng)方向沿y軸負(fù)方向，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于xOy平面向里，虛線OM與x軸負(fù)方向成45。角。一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處以初速度v0沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，粒子每次到達(dá)x軸將反彈，第一次反彈無能量損失，以后每次反彈水平分速度不變、豎直分速度大小均減為反彈前的1/2，方向相反。電場(chǎng)強(qiáng)度大小等于mv0/16gd，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小等于mv0/gd求：（不計(jì)粒子重力，題中各物理量單位均為國(guó)際單位，計(jì)算結(jié)果可用分式表示）（1）帶電粒子第三次經(jīng)過OM時(shí)的坐標(biāo);（2）帶電粒子第三次到達(dá)OM時(shí)經(jīng)過的時(shí)間;（3）帶電粒子從第二次進(jìn)入電場(chǎng)開始，沿電場(chǎng)方向運(yùn)動(dòng)的總路程。粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖6所示，由圖可知，帶電粒子第三次經(jīng)過OM時(shí)的坐標(biāo)為（-2d，2d）;（3）因粒子第二次進(jìn)入電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)，故到達(dá)x軸時(shí)的水平分速度為v0。第一次豎直分速度減半反彈，豎直分速度為：第二次豎直分速度減半反彈，豎直分速度為：思路分析：數(shù)學(xué)歸納法是高考數(shù)學(xué)主觀題?？贾R(shí)點(diǎn)之一，也是處理物理問題常用方法之一。本題第三小問恰如其分地運(yùn)用了數(shù)學(xué)歸納法。正確分析計(jì)算出第一次豎直分速度和高度就成功了