天體運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)問(wèn)題

天體運(yùn)動(dòng)中的幾個(gè)“另類”問(wèn)題天體運(yùn)動(dòng)部分的絕大多數(shù)問(wèn)題，解決的原理及方法比較單一，處理的基本思路是：將天體的運(yùn)動(dòng)近似看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力列方程，向心加速度按涉及的運(yùn)動(dòng)學(xué)量選擇相應(yīng)的展開(kāi)形式。如有必要，可結(jié)合黃金代換式GM=/簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。不過(guò)，還有幾類問(wèn)題僅依靠基本思路和方法，會(huì)讓人感覺(jué)力不從心，甚至就算找出了結(jié)果但仍心存疑惑，不得要領(lǐng)。這就要求我們必須從根本上理解它們的本質(zhì)，把握解決的關(guān)鍵，不僅要知其然，更要知其所以然。、變軌問(wèn)題例：某人造衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的軌道會(huì)慢慢改變。每次測(cè)量中衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)可近似看作圓周運(yùn)動(dòng)，某次測(cè)量衛(wèi)星的軌道半徑為卩，后來(lái)變?yōu)椋ィ远ⅰ虮硎拘l(wèi)星在這兩個(gè)軌道上的線速度大小，爲(wèi)、爲(wèi)表示衛(wèi)星在這兩個(gè)軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)的周期，則（）A．B．C．D．A．B．C．D．分析：空氣阻力作用下，衛(wèi)星的運(yùn)行速度首先減小，速度減小后的衛(wèi)星不能繼續(xù)沿原軌道運(yùn)動(dòng)，而要作近（向）心運(yùn)動(dòng)，直到向心力再次供需平衡，即由于衛(wèi)星又做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)。道運(yùn)動(dòng)，而要作近（向）心運(yùn)動(dòng)，直到向心力再次供需平衡，即由于衛(wèi)星又做穩(wěn)定的圓周運(yùn)動(dòng)。如圖，近（向）心運(yùn)動(dòng)過(guò)程中萬(wàn)有引力方向與衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)方向不垂直，會(huì)讓衛(wèi)星加速，速度增大（從能量角度看，萬(wàn)有引力對(duì)衛(wèi)星做正功，衛(wèi)星動(dòng)能增加，速度增大），且增加的數(shù)t=^l值超過(guò)原先減少的數(shù)值。所以n、，又由 可知爲(wèi)＞爲(wèi)。解：應(yīng)選C選項(xiàng)。說(shuō)明：本題如果只注意到空氣阻力使衛(wèi)星速度減小的過(guò)程，很容易錯(cuò)選B選項(xiàng)，因此，分析問(wèn)題一定要全面，切忌盲目下結(jié)論。衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個(gè)重要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個(gè)技術(shù)。以衛(wèi)星從橢圓遠(yuǎn)點(diǎn)變到圓軌道為例加以分析：如圖，在軌道遠(yuǎn)點(diǎn)，萬(wàn)有引力要使衛(wèi)星改做圓周運(yùn)動(dòng)，而月丄卩在遠(yuǎn)點(diǎn)明顯成立，所以要使衛(wèi)星改做圓周運(yùn)動(dòng)，而月丄卩在遠(yuǎn)點(diǎn)明顯成立，所以m—=F只需增大速度，讓速度增大到廣 成立即可，這個(gè)任務(wù)由衛(wèi)星自帶的推進(jìn)器完成“神舟”飛船就是通過(guò)這種技術(shù)變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過(guò)這種技術(shù)定點(diǎn)于同步軌道上的、雙星問(wèn)題

例：在天體運(yùn)動(dòng)中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們?cè)谙嗷サ娜f(wàn)有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果雙星間距為質(zhì)量分別為和皿2,試計(jì)算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運(yùn)行周期；（3）雙星的線速度。分析：雙星系統(tǒng)中，兩顆星球繞同一點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，且兩者始終與圓心共線，相同時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)相同的角度，即角速度相等，則周期也相等。但兩者做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑不相等。解：設(shè)行星轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為皿，周期為?。?）如圖，對(duì)星球"1,由向心力公式可得:同理對(duì)星球“2有:同理對(duì)星球“2有:兩式相除得：^ "1（即軌道半徑與質(zhì)量成反比）又因?yàn)椤?妁+盡

所以2）因?yàn)樗?）因?yàn)椤杆?泌際頁(yè)3）v=1。（甌+嶇）、,叫

因?yàn)関=<^,所以上"L 3）說(shuō)明：處理雙星問(wèn)題必須注意兩點(diǎn)（1）兩顆星球運(yùn)行的角速度、周期相等；（2）軌道半徑不等于引力距離（這一點(diǎn)務(wù)必理解）。弄清每個(gè)表達(dá)式中各字母的含義，在示意圖中相應(yīng)位置標(biāo)出相關(guān)量，可以最大限度減少錯(cuò)誤。三、追及問(wèn)題例：兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球半徑為應(yīng)，'衛(wèi)星離地面的高度等于R，衛(wèi)星離地面高度為彳尺，貝I」：（1）尬、占兩衛(wèi)星運(yùn)行周期之比瞪：爲(wèi)是多少？（2）若某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過(guò)地面同一點(diǎn)正上方，則住至少經(jīng)過(guò)多少個(gè)周期與“相距最遠(yuǎn)？分析：兩衛(wèi)星周期之比可按基本思路處理；要求與心相距最遠(yuǎn)的最少時(shí)間，其實(shí)是個(gè)追及和相遇問(wèn)題，可借用直線運(yùn)動(dòng)部分追及和相遇問(wèn)題的處理思想，只不過(guò)，關(guān)鍵一步應(yīng)該變換成“利用角位移關(guān)系列方程”。解：（1）對(duì)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星使用向心力公式可得：可得：所以Tj.T嚴(yán)忌帶?.忌不肅=5扭e_2打（2）由 可知：%"，即尬轉(zhuǎn)動(dòng)得更快。設(shè)經(jīng)過(guò)時(shí)間f兩衛(wèi)星相距最遠(yuǎn)，則由圖可得:気—?dú)荨狤=（加—1）?。〞A二1、2、3其中時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短。2tf皿=——而日二碗，所以2tf，得所以2tf，得說(shuō)明：圓周運(yùn)動(dòng)中的追及和相遇問(wèn)題也應(yīng)“利用（角）位移關(guān)系列方程”。當(dāng)然，如果能直接將角位移關(guān)系轉(zhuǎn)化成轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)關(guān)系，運(yùn)算過(guò)程更簡(jiǎn)潔，但不如利用角位移關(guān)系容易理解，而且可以和直線運(yùn)動(dòng)中同類問(wèn)題的解法統(tǒng)一起來(lái)，記憶比較方便。常見(jiàn)情況下的角位移關(guān)系如下，請(qǐng)自行結(jié)合運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖理解。設(shè)3%，則:相距最近T相距最遠(yuǎn)相距最遠(yuǎn)T相距最近相距最近T相距最近相距最遠(yuǎn)T相距最遠(yuǎn)即初、末位置關(guān)系相反$=（2挖-1）兀其中〔応“）耳即初、末位置關(guān)系相同相距最近T相距最遠(yuǎn)相距最遠(yuǎn)T相距最近相距最近T相距最近相距最遠(yuǎn)T相距最遠(yuǎn)四、超失重問(wèn)題例：某物體在地面上受到的重力為160"，將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加速度 2隨火箭加速上升的過(guò)程中，當(dāng)物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為時(shí)，求此時(shí)衛(wèi)星距地球表面有多遠(yuǎn)？（地球半徑曲，g取10枕/■應(yīng)）分析：物體具有豎直向上的加速度，處于超重狀態(tài)，物體對(duì)支持物的壓力大于自身實(shí)際重力；而由于高空重力加速度小于地面重力加速度，同一物體在高空的實(shí)際重力又小于在地面的實(shí)際重力。解：如圖，設(shè)此時(shí)火箭離地球表面的高度為應(yīng)，火箭上物體對(duì)支持物的壓力為爲(wèi)，物體受到的重力為喘刃根據(jù)超、失重觀點(diǎn)有爲(wèi)二陶^+曲

-ma可得hm90-16x1x1016而由可知：g-ma可得hm90-16x1x1016而由可知：g一（應(yīng)+硏所以說(shuō)明：航天器在發(fā)射過(guò)程中有一個(gè)向上加速運(yùn)動(dòng)階段，在返回地球時(shí)有一個(gè)向下減速階段，這兩個(gè)過(guò)程中航天器及內(nèi)部的物體都處于超重狀態(tài)；航天器進(jìn)入軌道作勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于萬(wàn)有引力（重力）全部提供向心力，此時(shí)航天器及內(nèi)部的所有物體都處于完全失重狀態(tài)。既掌握基本問(wèn)題的處理方法，又熟悉“另類”問(wèn)題的分析要點(diǎn)，這樣在面對(duì)天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)才能應(yīng)付自如。五、變式練習(xí)1．開(kāi)普勒三定律也適用于神舟七號(hào)飛船的變軌運(yùn)動(dòng)。飛船與火箭分離后進(jìn)入預(yù)定軌道，飛船在近地點(diǎn)（可認(rèn)為近地面）開(kāi)動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)加速，之后，飛船速度增大并轉(zhuǎn)移到與地球表面相切的橢圓軌道，飛船在遠(yuǎn)地點(diǎn)再次點(diǎn)火加速，飛船沿半徑為的圓軌道繞地運(yùn)動(dòng)。設(shè)地球半徑為尺，地球表面的重力加速度為童，若不計(jì)空氣阻力，試求神舟七號(hào)從近地點(diǎn)到遠(yuǎn)地點(diǎn)的時(shí)間（變軌時(shí)間）。2．兩個(gè)星球組成雙星，它們?cè)谙嗷ブg的萬(wàn)有引力作用下，繞連線上某點(diǎn)做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)測(cè)得兩星中心距離為R,其運(yùn)動(dòng)周期為T,求兩星的總質(zhì)量。3.如圖所示，山是地球的同步衛(wèi)星。另一衛(wèi)星月的圓形軌道位于赤道平面內(nèi)，離地面高度為刃，已知地球半徑為氏，地球自轉(zhuǎn)角速度為“°,地球表面的重力加速度為g,°為地球中心。（1）求衛(wèi)星的運(yùn)行周期；（2）若衛(wèi)星占繞行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，某時(shí)刻貝、縣兩衛(wèi)星相距最近（°、占、衛(wèi)在同一直線上），則至少經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間，他們?cè)僖淮蜗嗑嘧罱?．北京時(shí)間9月27日17時(shí)，航天員翟志剛在完成一系列空間科學(xué)實(shí)驗(yàn)，并按預(yù)定方案進(jìn)行太空行走后，安全返回神舟七號(hào)軌道艙，這標(biāo)志著我國(guó)航天員首次空間出艙活動(dòng)取得成功。若這時(shí)神舟七號(hào)在離地面高為曲的軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為應(yīng)，地球表面處的重力加速度為^。航天員站在飛船時(shí)，求：（1）航天員對(duì)艙底的壓力，簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。（2）航天員運(yùn)動(dòng)的加速度大小。5．為了迎接太空時(shí)代的到來(lái)，美國(guó)國(guó)會(huì)通過(guò)一項(xiàng)計(jì)劃：在2050年前建造成太空升降機(jī)，就是把長(zhǎng)繩的一端擱置在地球的衛(wèi)星上，另一端系住長(zhǎng)降機(jī)。放開(kāi)繩，升降機(jī)能到達(dá)地球上；人坐在升降機(jī)里，在衛(wèi)星上通過(guò)電動(dòng)機(jī)把升降機(jī)拉到衛(wèi)星上。已知地球表面的重力加速陀％2,地球半徑為應(yīng)。求：（1）某人在地球表面用體重計(jì)稱得重80077，站在升降機(jī)中，當(dāng)升降機(jī)以加速度^=g（g為地球表面處的重力加速度）豎直上升時(shí)，在某處此人再一次用同一體重計(jì)稱得視重為卸N，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求升降機(jī)此時(shí)距地面的高度;（2）如果把繩的一