2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學（理）試題

2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三下學期第二次模擬考試數(shù)學（理）試題一、單選題1．已知復數(shù)z滿足，則的虛部為（

）A．1 B． C．i D．【答案】B【分析】由復數(shù)的乘法、除法運算化簡復數(shù)，再由共軛復數(shù)的定義求出，即可得出答案.【詳解】因為，所以，所以，故的虛部為．故選：B.2．已知集合，，若，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分，和三種情況討論即可.【詳解】因為，且，若，則，不符題意，若，則，與題意矛盾，若，則，由，所以，即a的取值范圍為.故選：C.3．已知隨機變量X的分布列為X024Pm則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)及期望公式即得.【詳解】由題可知，，解得，則．故選：D.4．已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線C上，，若的面積為，則（

）A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積公式，結合拋物線定義進行求解即可.【詳解】由題意知,準線方程為，設．因為，的面積為，所以，則，所以．故選：A5．已知等差數(shù)列滿足，則的前20項和（

）A．400 B．380 C．340 D．280【答案】A【分析】設，，則解方程即可求出，再由等差數(shù)列的前項和即可得出答案.【詳解】設，所以，所以．因為，所以所以則，所以．故選：A.6．在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關系及線面平行的判定定理結合條件逐項分析即得.【詳解】A選項中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項中，因為，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項中，因為，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點B，故錯誤；D選項中，假設直線BM與平面CNQ平行，過點M作CQ的平行線交于點D，則點D是在上靠近點的四等分點，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.7．定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當時，，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由和為偶函數(shù)，可知的周期為4，且的圖象關于直線對稱，利用函數(shù)的周期性和對稱性將條件進行轉(zhuǎn)化即可得出答案.【詳解】因為，所以的周期為4．又為偶函數(shù)，所以的圖象關于直線對稱，則．故選：A.8．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖得到，計算得到答案.【詳解】由題可知，．故選：D9．剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術之一，剪紙時常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為，點在四段圓弧上運動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標系，求出點的橫坐標的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得的取值范圍.【詳解】以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標系，設點，易知，以為半徑的左半圓的方程為，以為半徑的右半圓的方程為，所以點的橫坐標的取值范圍是，又因為，，所以，.故選：B.10．已知函數(shù)在上存在零點，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點和單調(diào)性求出，從而可得根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，即可求的取值范圍.【詳解】，因為在上存在零點，所以，解得．又在上單調(diào)，所以，即，解得，則，則則解得．故選：C.11．已知F是雙曲線的左焦點，P是E右支上一點，PF與E的漸近線分別交于A，B兩點，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設點，由可表示出，點的坐標，因為P是E右支上一點，帶入橢圓得方程化簡即可得出答案.【詳解】不妨設點，，由，可得為的中點，所以，由，解得．因為，則得因為P是E右支上一點，則，則，故E的離心率為．故選：B.12．若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知數(shù)的形式構造新函數(shù)，利用導數(shù)的性質(zhì)進行求解判斷即可.【詳解】令函數(shù)，則．設，當時，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，所以，所以，則，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即．因為，所以，則，故．故選：D【點睛】關鍵點睛：根據(jù)數(shù)的形式構造新函數(shù)，利用對數(shù)函數(shù)的以直代曲是解題的關鍵.二、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義，結合直線點斜式方程進行求解即可.【詳解】因為，所以，則，，故的圖象在處的切線方程為．故答案為：三、雙空題14．用0，2，3，4，5五個數(shù)組成無重復數(shù)字的四位數(shù)，則不同的四位數(shù)共有______個，其中偶數(shù)共有______個．【答案】

96

60【分析】五個數(shù)組成無重復數(shù)字的四位數(shù)只需滿足首位不為0即可，其中偶數(shù)分為個位數(shù)是0和個位數(shù)不是0，即可得出答案.【詳解】由題可知，滿足條件的四位數(shù)共有個，其中偶數(shù)分為個位數(shù)是0和個位數(shù)不是0，若這個偶數(shù)的個位數(shù)是0，則有個；若這個偶數(shù)的個位數(shù)不是0，則有個.故滿足條件的四位數(shù)中偶數(shù)的總個數(shù)為；故答案為：96；60四、填空題15．若正四面體的棱長為4，則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側棱的距離為______．【答案】【分析】設O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過作，垂足為G，由題意求出，，又因為，求出，再由，即可求出答案.【詳解】如圖，設O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過作，垂足為G，，．因為，所以，解得．因為，所以，解得，即該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側棱的距離為．故答案為：.16．已知正項數(shù)列滿足，，，若是唯一的最大項，則k的取值范圍為______．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關系得到是等比數(shù)列，進一步求出的通項公式，利用是最大項建立不等式求解即可.【詳解】因為，所以，又，，所以是首項為64，公比為k的等比數(shù)列，則，則，因為是唯一的最大項，所以，即，解得，即k的取值范圍為.故答案為：.五、解答題17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨損造成的，一般機械設備中約有80%的零件因磨損而失效報廢．零件磨損是由多方面因素造成的，某機械設備的零件隨著使用時間的增加，“磨損指數(shù)”也在增加．現(xiàn)根據(jù)相關統(tǒng)計，得到一組數(shù)據(jù)如下表．使用時間t/年12345磨損指數(shù)r/%(1)求r關于t的線性回歸方程；(2)在每使用完一整年后，工人會對該零件進行檢測分析，若該零件在下一年使用過程中的“磨損指數(shù)”超過10%，則該零件需要在本次檢測后立即進行報廢處理．根據(jù)（1）中的回歸方程，估計該零件使用多少年后需要進行報廢處理？參考數(shù)據(jù)：，．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，．【答案】(1)(2)8年【分析】（1）根據(jù)題中所給的公式和數(shù)據(jù)進行求解即可；（2）運用代入法進行求解判斷即可.【詳解】（1）因為，所以．又，，所以，所以．故r關于t的線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當時，，當時，．故估計該零件使用8年后需要進行報廢處理．18．如圖，在中，D，E在BC上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結合條件可得，，進而可得，然后利用正弦定理即得；（2）設，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結合條件即得.【詳解】（1）因為，，，所以，，故，即，則在中，根據(jù)正弦定理可得，；（2）設，則，由解得，在中，，則，，由，得，則，故面積的取值范圍為．19．如圖，在斜三棱柱中，，，分別為，的中點，．(1)證明：四邊形為正方形．(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)．【分析】（1）連接，，依題意可得，，即可得到平面，從而得到，再由得到，即可得到為矩形，再證明鄰邊相等即可得證；（2）由題可知，四面體為正四面體，以的中心點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法計算可得.【詳解】（1）證明：連接，，因為，所以與均為正三角形．因為為的中點，所以，．又，平面，所以平面．因為平面，所以．又，所以，則四邊形為矩形．因為，，所以，故四邊形為正方形．（2）解：由題可知，四面體為正四面體，以的中心點為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，．設平面的法向量為，則，即，令，得．設直線與平面所成的角為，則．20．已知橢圓的長軸長為4，O為坐標原點，A為橢圓C的右頂點，B為橢圓C的上頂點，且的面積為．(1)求橢圓C的方程．(2)過點的直線l與橢圓相交于P，Q兩點，過點P作x軸的垂線，與直線AQ相交于點M，N是PM的中點，試問直線AN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)直線AN的斜率為定值，定值為．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組求解；（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，求出點M，點N的坐標，再由斜率公式結合韋達定理得出直線AN的斜率為定值.【詳解】（1）由題可知，解得故橢圓C的方程為．（2）由題可知，直線l的斜率一定存在，設l的方程為，，，聯(lián)立方程組,消去y整理得．，解得，，．直線AQ的方程為，令，得，即點M的坐標為，則點N的坐標為．直線AN的斜率．故直線AN的斜率為定值，且該定值為．【點睛】關鍵點睛：解決問題（2）的關鍵在于，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達定理建立的聯(lián)系，從而證明直線AN的斜率為定值.21．已知，函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設表示不超過x的最大整數(shù)，證明：，．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）對求導，分和，討論導函數(shù)的符號，即可得出函數(shù)的單調(diào)性.（2）當時，由（1）可知，，由此可得，由裂項相消法結合題意放縮可證明，即可證明.【詳解】（1）因為，，所以．當時，恒成立，故在上單調(diào)遞減．當時，由，解得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：當時，由（1）可知，，即，當且僅當時，等號成立，則，則，則．又，所以，故，從而．【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．在直角坐標系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．(1)求出的普通方程和的直角坐標方程；(2)若與有公共點，求m的取值范圍．【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）消參法求的普通方程，公式法求的直角坐標方程；（2）根據(jù)與有公共點，即圓心到直線距離小于等于半徑列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）因為，所以的普通方程為．因為，所以，故的直角坐標方程為．（2）因為與有公共點，且不在上，且圓