2023屆山東省聊城市高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題

2023屆山東省聊城市高三下學(xué)期第一次模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意將集合化簡(jiǎn)，然后結(jié)合交集的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕?，且或，所以或，即，所?故選:B2．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則故選：.3．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，關(guān)于函數(shù)的下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．周期是 B．非奇非偶函數(shù)C．圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱 D．在內(nèi)單調(diào)遞增【答案】D【分析】，再根據(jù)平移變換可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，奇偶性，對(duì)稱性和單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】，則，則，故A正確；因?yàn)?，則，故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，則函數(shù)在上不單調(diào)，故D錯(cuò)誤.故選：D.4．“綠色出行，低碳環(huán)?！币殉蔀樾碌臅r(shí)尚．近幾年國(guó)家相繼出臺(tái)了一系列的環(huán)保政策，在汽車行業(yè)提出了重點(diǎn)扶持新能源汽車和最終停止傳統(tǒng)汽車銷售的時(shí)間計(jì)劃表，為新能源汽車行業(yè)的發(fā)展開辟了廣闊的前景．新能源汽車主要指電動(dòng)力汽車，其能量來(lái)源于蓄電池．已知蓄電池的容量（單位：）、放電時(shí)間（單位：）、放電電流（單位：）三者之間滿足關(guān)系．假設(shè)某款電動(dòng)汽車的蓄電池容量為，正常行駛時(shí)放電電源為，那么該汽車能持續(xù)行駛的時(shí)間大約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意蓄電池的容量C，再把代入，結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得解.【詳解】由，,時(shí)，；，.又,故選：C.5．在正方體中，直線、分別在平面和，且，則下列命題中正確的是（

）A．若垂直于，則垂直于 B．若垂直于，則不垂直于C．若不垂直于，則垂直于 D．若不垂直于，則不垂直于【答案】C【分析】根據(jù)線面垂直的判定定理及直線位置關(guān)系來(lái)判定選項(xiàng)即可.【詳解】如圖所示：A選項(xiàng)，若垂直于，則面內(nèi)的所有直線均與垂直，無(wú)法證明的關(guān)系，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)與A同理；C選項(xiàng)，若不垂直于，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以垂直于；D選項(xiàng)與C同理.故選：C6．是內(nèi)的一點(diǎn)，若，，則（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】利用各向量的幾何關(guān)系及已知條件可得，且，即可得結(jié)果.【詳解】由，則，所以，即，又，故，故.故選：D7．研究發(fā)現(xiàn)橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)圓叫做橢圓的蒙日?qǐng)A．設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為，，為橢圓上的任意一點(diǎn)，為橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑．若的最小值為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)分析可得蒙日?qǐng)A的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，設(shè)，根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得，進(jìn)而可得，代入運(yùn)算即可得離心率.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、焦距分別為，不妨設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，顯然均為橢圓的切線，即均在蒙日?qǐng)A上，根據(jù)對(duì)稱性分析可得：蒙日?qǐng)A的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑，設(shè)橢圓方程為，橢圓上任一點(diǎn)，∵，則，可得，注意到，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最小值為，故，整理得，即，整理得，即.故選：D.8．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和構(gòu)造函數(shù)并證明單調(diào)性即可求解.【詳解】令，所以，令得，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，令，所以，所以在單調(diào)遞增，，所以，所以，所以，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)比較大小，需要注意控制變量的唯一性.二、多選題9．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，直線交于另一點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．直線的斜率為C． D．線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】BD【分析】對(duì)A：代入點(diǎn)即可解得，進(jìn)而可得焦點(diǎn)和準(zhǔn)線；對(duì)B：根據(jù)斜率公式運(yùn)算求解；對(duì)C：聯(lián)立方程求交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線的定義運(yùn)算求解；對(duì)D：根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式運(yùn)算求解.【詳解】對(duì)A：∵點(diǎn)在拋物線上，則，解得，故拋物線的方程為，焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，A錯(cuò)誤；對(duì)B：直線的斜率，B正確；對(duì)C：直線的方程，聯(lián)立方程，解得或，即，故，C錯(cuò)誤；對(duì)D：線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，D正確；故選：BD.10．在中，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A．． B．． C． D．．【答案】ABD【分析】在三角形中，A>B?a>b，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理及恒等變換公式對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可.【詳解】A>B?a>b?sinA>sinB，A正確.由于在(0，π)上，y＝cosx單調(diào)遞減，故cosA<cosB，B正確.取，，則，故C錯(cuò)誤.由cos2α＝1－2sin2α.∵sinA>sinB>0，∴sin2A>sin2B，∴cos2A<cos2B，D正確.故選：ABD.三、單選題11．設(shè)，，且，則（

）A．的最大值為 B．的最小值為1C．的最小值為 D．的最小值為【答案】ACD【分析】對(duì)A，直接運(yùn)用均值不等式即可判斷；對(duì)B，即可判斷；對(duì)C，，討論二次函數(shù)最值即可；對(duì)D，將代入替換，利用“1”的代換，化簡(jiǎn)然后利用均值不等式即可.【詳解】對(duì)A，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，可取等號(hào)，A對(duì)；對(duì)B，，因?yàn)?，所以，，取不?，故B錯(cuò)；對(duì)C，，當(dāng)時(shí)，可取等號(hào)，C對(duì)；對(duì)D，，，當(dāng)時(shí)，可取等號(hào)，D對(duì)；故選：ACD四、多選題12．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?duì)于任意的正數(shù)，都有，且時(shí)，都有，則（

）A．B．函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增C．對(duì)于任意都有D．不等式的解集為【答案】ACD【分析】根據(jù)已知應(yīng)用賦值法判斷A選項(xiàng)，結(jié)合奇函數(shù)判斷C選項(xiàng)，根據(jù)單調(diào)性定義判斷B選項(xiàng)，結(jié)合單調(diào)性解不等式判斷D選項(xiàng).【詳解】已知,令可得,令可得,得,,A選項(xiàng)正確;奇函數(shù)的定義域?yàn)?，所以,又知,所以函數(shù)在內(nèi)不是單調(diào)遞增,B選項(xiàng)錯(cuò)誤;對(duì)于任意的正數(shù)，都有，對(duì)于任意都有,,,又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，可得,C選項(xiàng)正確;對(duì)于任意的正數(shù)，都有，,又因?yàn)?所以,所以,又因?yàn)樗?所以,所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,不等式,,已知,令,因?yàn)榭傻茫瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,所以,已知,令,因?yàn)?可得，同理，,又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，,,又因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增,所以不等式的解集為,D選項(xiàng)正確；故選:ACD.五、填空題13．某班共有50名學(xué)生，在期末考試中，小明因病未參加數(shù)學(xué)考試．參加考試的49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為2．在評(píng)估數(shù)學(xué)成績(jī)時(shí)，老師把小明的數(shù)學(xué)成績(jī)按這49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)來(lái)算，那么全班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為______．【答案】##【分析】先由題意得到，再由數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為求解.【詳解】解：設(shè)參加考試的49名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?，平均成?jī)?yōu)椋深}意得，則全班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為：，，，故答案為：14．記為不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則的前2023項(xiàng)的和______．【答案】4962【分析】根據(jù)定義表示出由此計(jì)算出；【詳解】根據(jù)題意知：；故答案為：496215．某綜合性大學(xué)數(shù)學(xué)系為了提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，開設(shè)了“古今數(shù)學(xué)思想”“世界數(shù)學(xué)通史”“幾何原本”“什么是數(shù)學(xué)”四門選修課程，要求每位學(xué)生從大一到大三的三個(gè)學(xué)年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，若同一學(xué)年內(nèi)選修的課程不分前后順序，則每位學(xué)生共有______種不同的選修方式可選．（用數(shù)字填寫答案）【答案】【分析】先按和兩種情況分成三組，再分配到三年去即可.【詳解】由題意可知三年內(nèi)將四門選修課程全部修完，且每學(xué)年最多選修兩門，則四門學(xué)科可按和兩種情況分成三組，若按分成三組，有種分組方法，若按分成三組，有種分組方法，所以每位學(xué)生共有種不同的選修方式可選．故答案為：.16．已知正四棱柱的體積為16，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值為______．【答案】【分析】取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，即可得到、、、四點(diǎn)共面，從而得到平面平面，連接交于點(diǎn)，則線段即為點(diǎn)的軌跡，再由三角形相似得到，則問題轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)、，，利用勾股定理表示出，再由均值不等式求出的最小值，即可得解.【詳解】如圖取的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槭抢獾闹悬c(diǎn)，所以，則為的四等分點(diǎn)且，由正四棱柱的性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，所以平面平面，連接交于點(diǎn)，因?yàn)槭莻?cè)棱上的動(dòng)點(diǎn)，直線交平面于點(diǎn)，所以線段即為點(diǎn)的軌跡，如圖在平面中，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以，所以，設(shè)、，，依題意，，所以，要求動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值，即求的最小值，即求的最小值，因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以，所以，即動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是找到動(dòng)點(diǎn)的軌跡，再利用均值不等式求出的最小值.六、解答題17．在四邊形中，．(1)證明：；(2)若，，，，求外接圓的面積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由平行關(guān)系得到角的數(shù)量關(guān)系，在兩個(gè)三角形中分別使用正弦定理，在根據(jù)數(shù)量關(guān)系進(jìn)行傳遞.(2)根據(jù)已知的數(shù)量關(guān)系對(duì)未知角的大小進(jìn)行求解，再在使用余弦定理對(duì)未知邊的大小進(jìn)行求解，最后在中使用正弦定理得到外接圓半徑.【詳解】（1）因?yàn)?，所?在中，由正弦定理可知，在中，由正弦定理可知，，所以，，故有.（2）由(1)可知，，設(shè)，又因?yàn)?，可得，即，解得，所以，在中，由正弦定理可知，，所以，所以的外接圓的面積為.18．已知數(shù)列滿足，，數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意先求出，再根據(jù)，得，從而可得，再利用構(gòu)造法求出的通項(xiàng)，從而可得的通項(xiàng)公式；（2）分為偶數(shù)和奇數(shù)兩種情況討論，再結(jié)合分組求和法即可得解.【詳解】（1），得，因?yàn)?，即，解得，由，得，又，故，所以，即，所以，又，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，則，故，所以；（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，綜上所述，.19．如圖，在四棱錐中，為等邊三角形，為的中點(diǎn)，，平面平面．(1)證明：平面平面；(2)若，，，直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析；(2)或【分析】（1）根據(jù)題意，取中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，再由線面垂直的判定可得平面，從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由條件可得，從而得到三棱錐的體積.【詳解】（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，且平面平面，平面平面，面，所以平面，又平面，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面.（2）由（1）可知，且，，所以平面，且平面，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則可得，即，，設(shè)平面的法向量為，則，則可得，取，則，所以平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得，或，即或當(dāng)時(shí)，則，所以.當(dāng)時(shí)，，所以.20．某中學(xué)在高一學(xué)生選科時(shí)，要求每位學(xué)生先從物理和和歷史這兩個(gè)科目中選定一個(gè)科目，再?gòu)乃枷胝巍⒌乩?、化學(xué)、生物這四個(gè)科目中任選兩個(gè)科目．選科工作完成后，為了解該校高一學(xué)生的選科情況，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生作為樣本，對(duì)他們的選科情況統(tǒng)計(jì)后得到下表：思想政治地理化學(xué)生物物理類100120200180歷史類1201406080(1)利用上述樣本數(shù)據(jù)填寫以下列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析以上兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法是否存在差異．科類生物學(xué)科選法選不選合計(jì)物理類歷史類合計(jì)(2)假設(shè)該校高一所有學(xué)生中有的學(xué)生選擇了物理類，其余的學(xué)生都選擇了歷史類，且在物理類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為，而在歷史類的學(xué)生中其余兩科選擇的是地理和化學(xué)的概率為．若從該校高一所有學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生，用表示這100名學(xué)生中同時(shí)選擇了地理和化學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的均值．附：【答案】(1)存在(2)16【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，根據(jù)表中數(shù)據(jù)求，并與臨界值對(duì)比分析；（2）根據(jù)全概率公式求，可得，再根據(jù)二項(xiàng)分布求.【詳解】（1）由題意可得：選擇物理類的總?cè)藬?shù)有600，其中選擇生物學(xué)科的人數(shù)為180，不選擇生物學(xué)科的人數(shù)為420；選擇歷史類的總?cè)藬?shù)有400，其中選擇生物學(xué)科的人數(shù)為80，不選擇生物學(xué)科的人數(shù)為320；據(jù)此完善列聯(lián)表科類生物學(xué)科選法選不選合計(jì)物理類180120300歷史類80120200合計(jì)260240500零假設(shè)：兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法沒有差異，可得，由于，根據(jù)小概率值可知假設(shè)不成立，故可以認(rèn)為兩類學(xué)生對(duì)生物學(xué)科的選法存在差異，且犯錯(cuò)誤的概率不大于.（2）記“學(xué)生選擇物理類”為事件M，“學(xué)生選擇歷史類”為事件N，“同時(shí)選擇的地理和化學(xué)”為事件C，則，故，由題意可得，則，故隨機(jī)變量的均值.21．已知雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)為，一條漸近線的傾斜角為60°，且上的點(diǎn)到的距離的最小值為1．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，，動(dòng)直線：與的右支相交于不同兩點(diǎn)，，且，過點(diǎn)作，為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)在定圓上，并求該圓的方程．【答案】(1)(2)證明見解析，【分析】(1)根據(jù)漸