2023屆四川省樂山市高三第一次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆四川省樂山市高三第一次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合A={x|-2＜x＜2}，B=，則A∩B=（

）A．{x|-3＜x＜2} B．{x|-3＜x＜1}C．{x|-2＜x＜1} D．{x|-2＜x＜-1}【答案】C【分析】把集合化簡(jiǎn)，再根據(jù)交集的定義求解.【詳解】,.故選：C.2．為了了解樂山大佛景區(qū)暑假游客年齡情況，大佛管委會(huì)對(duì)不同年齡段的游客人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并整理得到如下的頻率分布直方圖.已知20歲到70歲的游客人數(shù)共約200萬，則年齡在[50，60]的游客人數(shù)約為（

）A．6萬 B．60萬 C．8萬 D．80萬【答案】B【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出年齡在[50，60]的游客所占頻率，由頻數(shù)頻率總數(shù)，即可計(jì)算出年齡在[50，60]的游客人數(shù).【詳解】解：由頻率分布直方圖可知，年齡在[50，60]的游客所占頻率為，則此年齡段的游客人數(shù)為萬人，故選：B.3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（

）A．

B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義可判斷的軌跡，即可知z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，可得答案.【詳解】復(fù)數(shù)z滿足,即，其幾何意義為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)的軌跡為和的垂直平分線，即z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線上，故，故選：B4．的展開式中的系數(shù)為（

）A．4 B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】將代數(shù)式變形為，求出展開式的指數(shù)為的項(xiàng)，即可求得的系數(shù).【詳解】，展開式的指數(shù)為的項(xiàng)為，則展開式中的系數(shù)為.故選：.5．青海省龍羊峽水電站大壩為重力拱壩（如圖1），其形狀如同曲池（如圖2）.《九章算術(shù)》指出，曲池是上下底面皆為扇環(huán)形狀的水池，設(shè)其上底面扇環(huán)的內(nèi)外弧長(zhǎng)分別為，內(nèi)外徑之差為，下底面扇環(huán)的內(nèi)外弧長(zhǎng)分別為，內(nèi)外徑之差為，高為，則曲池體積公式為其中已知龍羊峽水電站大壩的上底面內(nèi)外弧長(zhǎng)分別為360m和380m，內(nèi)外半徑分別為250m和265m；下底面內(nèi)外弧長(zhǎng)分別為50m和70m，內(nèi)外半徑差為80m，高為180m.則澆鑄龍羊峽大壩需要的混凝土約為（

）（結(jié)果四舍五入）A．1.3×10?m3 B．1.4×10?m3 C．1.5×10?m3 D．1.6×10?m3【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合所給數(shù)據(jù)計(jì)算體積即可.【詳解】解：由題知，，，，，所以，所以所以，澆鑄龍羊峽大壩需要的混凝土約為故選：C6．已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】由可得出，若，，若，，必要性成立；若，則不一定成立，進(jìn)而判斷可得出結(jié)論.【詳解】若，則，不一定成立，即充分性不成立；若成立，則，即，所以，數(shù)列為遞增數(shù)列，若，，若，，所以必要性成立.所以，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.7．已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，再根據(jù)時(shí)，函數(shù)值的趨向，即可判斷選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域是，，，所以函數(shù)是奇函數(shù)，應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除CD；，當(dāng)時(shí)，，，所以，故排除B.故選：A8．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函數(shù)兩角和公式求出，再根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式，并利用同角三角函數(shù)的關(guān)系構(gòu)造齊次式，即可求解.【詳解】解：，解得，，故選：A.9．已知，設(shè)，則所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題知，進(jìn)而得，故.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，所以．故選：C．10．已知，滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題，分，兩種情況討論求解即可.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得，所以，的取值范圍是故選：D11．已知，，，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)條件利用消元法，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子，利用基本不等式求解即可.【詳解】由可得，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)的最小值為；綜上的最小值為，故選：B12．已知?jiǎng)t（

）A．c>a>b B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．a(chǎn)>b>c【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷的大小關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可判斷的大小關(guān)系，即可求解.【詳解】令，則，設(shè)恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，即在時(shí)恒成立，所以單調(diào)遞增，則，即，故，令，，因?yàn)椋?，所以在恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，所以，即，即，所以，所以，故選:A.二、填空題13．拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離|MF|=5，則拋物線的方程為_______________..【答案】【分析】根據(jù)焦半徑公式，列式求解.【詳解】根據(jù)焦半徑公式可知，，得，所以拋物線的方程為.故答案為：14．若向量滿足，與的夾角為，則______________.【答案】【分析】利用向量的數(shù)量積的定義與運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)椋c的夾角為，所以，，所以.故答案為：.15．函數(shù)上所有零點(diǎn)之和為_____.【答案】4【分析】利用數(shù)形結(jié)合，將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的交點(diǎn)問題，再利用函數(shù)的對(duì)稱性，可求零點(diǎn)的和.【詳解】函數(shù)，即，函數(shù)和都關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)和的交點(diǎn)也關(guān)于對(duì)稱，如圖畫出兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間的函數(shù)圖象，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，利用對(duì)稱性可知，交點(diǎn)橫坐標(biāo)的和.故答案為：416．在平面四邊形ABCD中，沿BD將△ABD折起，使得△ABC與△BADABCD外接球球心到平面ABC的距離為，四面體ABCD的內(nèi)切球球心到點(diǎn)A的距離為，則的值為______.【答案】【分析】根據(jù)四面體各條棱的長(zhǎng)度特點(diǎn)將四面體放在長(zhǎng)方體中求解，利用外接球的半徑，的外接圓的半徑，以及點(diǎn)到平面的距離成直角三角形的關(guān)系，利用勾股定理求出，再根據(jù)內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合確定內(nèi)切球球心到點(diǎn)A的距離為，進(jìn)而可求解.【詳解】因?yàn)榈谩鰽BC與△BAD全等，所以,且所以可以把該四面體放在長(zhǎng)方體中求解，如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為，則有解得，設(shè)四面體外接球的半徑為,則，在中，,則，設(shè)外接圓的半徑為，則有，所以，所以，，設(shè)四面體內(nèi)切球的半徑為,因?yàn)樗拿骟w各個(gè)面全等，且，解得，因?yàn)?，四面體各個(gè)面全等，則外接球的球心到各個(gè)面的距離相等，所以外接球的球心與內(nèi)切球的球心重合，所以，所以.故答案為:.三、解答題17．已知等差數(shù)列{}的前三項(xiàng)和為15，等比數(shù)列{}的前三項(xiàng)積為64，且.(1)求{}和{}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)，求數(shù)列{}的前20項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)等差，等比數(shù)列的性質(zhì)，分別求公差和公比，即可求得通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用分組求和法，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件可知，，得，，所以，等比數(shù)列中，，則，，所以；（2）,對(duì)數(shù)列為奇數(shù)時(shí)，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公差為6的等差數(shù)列，對(duì)數(shù)列為偶數(shù)，，所以數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以數(shù)列的前20項(xiàng)和為：.18．設(shè)函數(shù)(1)求函數(shù)的最大值和最小正周期；(2)在銳角中，角所對(duì)的邊分別為為且求的最大值.【答案】(1)最大值為，最小正周期為(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得，即可解決；（2）由題得，代入題中解決即可.【詳解】（1）由題知，所以函數(shù)的最大值為，最小正周期為．（2）由（1）得，因?yàn)椋裕驗(yàn)锽為銳角，所以．因?yàn)?，所以?所以．所以．當(dāng)時(shí)，原式有最大值．所以的最大值為.19．如圖，在四棱錐中，平面，底面ABCD滿足，且，三角形的面積為(1)畫出平面PAB和平面PCD的交線，并說明理由，(2)求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)答案見解析；(2).【分析】（1）延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)，連接EP，則EP為平面PAB和平面PCD的交線，分別證明點(diǎn)平面平面PCD，平面平面PCD，即可；（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答..【詳解】（1）延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)，連接EP，則EP為平面PAB和平面PCD的交線，如圖，∵，平面PAB，∴平面PAB．同理可得平面PCD．∴平面平面PCD．∵平面PAB，平面PCD，∴平面平面PCD．∴EP為平面PAB和平面PCD的交線.（2）∵平面ABCD，平面ABCD，∴，，∵三角形PAC的面積為，，∴，解得．從而，又在直角三角形PAB中，，∴，在中，，，，∴，∴，∵，，∴平面PAB，平面PAB，則，而，有，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，顯然平面PAB的一個(gè)法向量為，設(shè)平面PAB與平面PCD所成的銳二面角為，則，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為．20．“雙十一”期間，某大型商場(chǎng)舉行了“消費(fèi)領(lǐng)獎(jiǎng)”的促銷活動(dòng)，在規(guī)定的商品中，顧客消費(fèi)滿，200元（含200元）即可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方式有兩種（顧客只能選擇其中一種）.方案一：從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個(gè)，黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出2球，每摸出1次紅球，立減100元.方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，黑球8個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，不放回地摸出2個(gè)球，中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸出2個(gè)紅球，享受免費(fèi)優(yōu)惠；若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)黑球，則打5折；若摸出2個(gè)黑球，則抵扣現(xiàn)金50元.(1)某顧客恰好消費(fèi)200元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付現(xiàn)金的分布列和期望；(2)若顧客消費(fèi)300元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方式更合理?【答案】(1)分布列見解析，160元(2)選擇方案二更合理【分析】（1）設(shè)實(shí)付金額為元，則可能取值為0，100，200，分別求出對(duì)應(yīng)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，即可按定義求得分布列和期望；（2）選擇期望較小的方案，方案一可先求出摸到紅球的個(gè)數(shù)的期望，再進(jìn)一步求即可；方案二設(shè)實(shí)付金額為，則的可能取值為0，150，250，通過古典概型求得對(duì)應(yīng)分布列和期望.【詳解】（1）設(shè)實(shí)付金額為元，則可能取值為0，100，200．則，，，則的分布列為0100200∴（元）（2）若選方案一，設(shè)摸到紅球的個(gè)數(shù)為，實(shí)付金額為，則，由題意得，故．∴（元）若選方案二，設(shè)實(shí)付金額為，則的可能取值為0，150，250．則，，．則的分布列為0150250∴（元）∵，∴選擇方案二更合理．21．若函數(shù)(1)證明:當(dāng)時(shí)；(2)設(shè)，證明【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)給函數(shù)求導(dǎo)得，令，通過導(dǎo)數(shù)可得到，即可解決得到單調(diào)性；(2)根據(jù)可得不等式成立，換元變?yōu)?，令證明.【詳解】（1）∵，∴．令，則．當(dāng)時(shí)，．∴在上單調(diào)遞減，故．∵，∴．∴在上單調(diào)遞減，故．∴當(dāng)時(shí)，．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，．令，則上式化為．∴，．令，*得．∴，．∵．∴，得證．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．22．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)若是上一動(dòng)點(diǎn)，，作線段的中垂線交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化公式直接求解即可；（2）由題知點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為的雙曲線，再求其方程即可.【詳解】（1）解：因?yàn)榍€的極坐標(biāo)方程為，，所以，，即，所以，曲線的直角坐標(biāo)方程為（2）解：因?yàn)椋云渲苯亲鴺?biāo)為所以