2023屆云南省三校高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（六）數(shù)學(xué)試題

2023屆云南省三校高三高考備考實(shí)用性聯(lián)考卷（六）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式求集合N，應(yīng)用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，又，所?故選：C.2．若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)，則z的虛部為（

）A． B． C． D．－【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算及虛部的概念求解即可.【詳解】由題意，，所以z的虛部為.故選：C.3．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則＝（

）A．112 B． C．28 D．120【答案】A【分析】利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式化簡(jiǎn)已知條件，并用等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為的形式，即可求和.【詳解】由題意，所以，解得，又，所以.故選：A.4．?dāng)M柱體（所有頂點(diǎn)均在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體）可以用辛普森（Simpson）公式求體積，其中h是高，是上底面面積，是下底面面積，是中截面（到上、下底面距離相等的截面）面積，如圖所示，在五面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，，且直線EF到底面ABCD的距離為3，則該五面體的體積為（

）A．18 B．20 C．24 D．25【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用辛普森（Simpson）公式求解.【詳解】解：如圖所示：分別取邊AE，BF，CF，DE的中點(diǎn)G，H，J，K，由題意知，，則，所以，故選：B5．已知，則（

）A．－ B．－3 C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)二倍角公式，將齊次分式轉(zhuǎn)化為的方程，再利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，解得：，.故選：A6．已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A．9 B．16 C．25 D．50【答案】C【分析】由橢圓定義有，再應(yīng)用基本不等式求最大值，注意取值條件.【詳解】由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即，故最大值為.故選：C7．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列敘述正確的是（

）A．B．，恒成立C．對(duì)任意D．若，則的最小值為【答案】D【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)得到解析式，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，得到；D選項(xiàng)，根據(jù)得到，或，，求出，從而得到的最小值.【詳解】A選項(xiàng)，由圖象可知，，因?yàn)?，所以，，將代入解析式，，因?yàn)槭呛瘮?shù)在上的第一個(gè)零點(diǎn)，所以，故，故，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，故，不恒成立，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，要想對(duì)任意，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2，最小值為-2，，若，則，，即，解得，，即，解得，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；若，則，同理可得的最小值為，故D正確.故選：D8．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，其六個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6六個(gè)數(shù)字，投擲這枚骰子兩次，A表示事件“第一次向上一面的數(shù)字是1”，B表示事件“第二次向上一面的數(shù)字是2”，C表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是7”，D表示事件“兩次向上一面的數(shù)字之和是8”，則（

）A．C與D相互獨(dú)立 B．A與D相互獨(dú)立C．B與D相互獨(dú)立 D．A與C相互獨(dú)立【答案】D【分析】根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義判斷.【詳解】由題意知，，所以C與D不相互獨(dú)立，，所以A與D不相互獨(dú)立，，所以B與D不相互獨(dú)立，，所以A與C相互獨(dú)立，故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷事件A與B是否相互獨(dú)立，根據(jù)事件相互獨(dú)立的定義關(guān)鍵看是否成立.二、多選題9．已知一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，方差是2，由這組數(shù)據(jù)得到另一組新的樣本數(shù)據(jù)，則（

）A．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B．兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本方差相同C．樣本數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為D．將兩組數(shù)據(jù)合成一個(gè)樣本容量為30的新的樣本數(shù)據(jù)，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3【答案】BC【分析】由期望、方差性質(zhì)求新數(shù)據(jù)集的平均數(shù)和方差判斷A、B；應(yīng)用百分?jǐn)?shù)的求法求的第30百分位數(shù)判斷C；求出兩組數(shù)據(jù)總和即可求其平均數(shù)判斷D.【詳解】由，，的平均數(shù)是3，方差是2，則的平均數(shù)是2，方差是2，A錯(cuò)誤，B正確；由，故第30百分位數(shù)為數(shù)據(jù)集中從小到大排序后第5個(gè)數(shù)據(jù)，而，故所求百分?jǐn)?shù)為，C正確；兩組數(shù)據(jù)組合后的平均數(shù)為，D錯(cuò)誤.故選：BC10．已知平面向量，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與的夾角的余弦值為 B．在方向上的投影向量為C．與垂直的單位向量的坐標(biāo)為 D．若向量與向量共線，則【答案】ABD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，可求出，，，根據(jù)數(shù)量積的公式即可判斷出選項(xiàng)A的正誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式即可判斷出選項(xiàng)B的正誤；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)出坐標(biāo)，根據(jù)題意列出關(guān)系式，解出方程組即可判斷選項(xiàng)C項(xiàng)的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，分別求出向量與向量的坐標(biāo)，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示，即可求出的值，從而判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因，所以，所以選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由投影向量的定義知，在方向上的投影向量為，所以選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，設(shè)與垂直的單位向量的坐標(biāo)，則有，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標(biāo)為或，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，顯然與不共線.因?yàn)?，，向量與向量共線，根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示可得，，整理可得，解得，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.11．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)B到平面的距離為B．直線AP//平面C．異面直線與所成角的取值范圍是[,]D．三棱錐的體積為定值【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式、法向量的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐的體積性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】分別以DA、DC、為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，A：設(shè)邊長(zhǎng)為1，則,，所以，因?yàn)?，所以，即，又平面，所以直線平面，而為面的一個(gè)法向量，又，則B到平面的距離為，故正確；B：因?yàn)辄c(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則，由上知：平面的法向量為，，因?yàn)槠矫?，所以直線平面，故正確；C：，設(shè)異面直線AM與所成角為，所以，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，綜上，，所以，故錯(cuò)誤；D：因?yàn)?，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)P到直線的距離不變，即△的面積不變，又點(diǎn)到面距離恒為，所以到面距離不變，即三棱錐的高不變，所以三棱錐的體積為定值，而，故正確，故選：ABD12．已知圓的圓心在直線上，且與相切于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條互相垂直的弦AB，CD，記線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．圓的方程為B．四邊形ACBD面積的最大值為C．弦AB的長(zhǎng)度的取值范圍為D．直線MN恒過(guò)定點(diǎn)【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件可求圓心，利用兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，即可得到圓的方程，判斷A；由已知可證四邊形EMQN為矩形，利用對(duì)角線互相平分，即可知MN過(guò)EQ中點(diǎn)，進(jìn)而求出定點(diǎn)，判斷D；根據(jù)過(guò)定點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為直徑，最短弦垂直于直徑，即可得到弦AB的長(zhǎng)度的取值范圍，判斷C；設(shè)，利用垂徑定理分別求出AB，CD的長(zhǎng)度，即可得到四邊形ACBD面積為關(guān)于d的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值即可，判斷B.【詳解】解：設(shè)圓心，因?yàn)榕c相切于點(diǎn)，直線l的斜率，則，即，所以圓心，半徑，因此圓的方程為，A選項(xiàng)正確；因?yàn)榫€段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，則，，又，所以四邊形EMQN為矩形，則MN與EQ互相平分即MN過(guò)EQ中點(diǎn)，所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn)，D選項(xiàng)正確；當(dāng)AB過(guò)圓心E時(shí)，AB的長(zhǎng)度最長(zhǎng)且為圓的直徑4，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，AB的長(zhǎng)度最短，此時(shí)AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以，則弦AB的長(zhǎng)度的取值范圍為，C選項(xiàng)正確；因?yàn)樗倪呅蜤MQN為矩形，則，設(shè)，則，由垂徑定理可得，，則，，令，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題考查了求圓的方程、兩點(diǎn)間的距離公式、圓的切線方程，利用垂直求斜率、過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)弦長(zhǎng)的范圍，利用垂直對(duì)角線求四邊形的面積，換元法求二次型函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)，該題綜合性較強(qiáng)，需要有一定的分析問(wèn)題和處理問(wèn)題的能力，屬于難題.三、填空題13．定義在R上的偶函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，___．【答案】【分析】由題意可得出函數(shù)的周期為，所以，代入即可得出答案.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，所以函數(shù)的周期為，所以.故答案為：14．將函數(shù)的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到曲線C，則曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)，找到雙曲線旋轉(zhuǎn)后的漸近線和對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)，即可求解焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】函數(shù)為雙曲線，對(duì)稱(chēng)軸為，漸近線為軸和軸，與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為和，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，對(duì)稱(chēng)軸變?yōu)檩S，漸近線方程為，雙曲線與軸的交點(diǎn)為，所以，，則，所以曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故答案為：15．已知函數(shù)，滿(mǎn)足f（x）＜0恒成立的最大整數(shù)m的值為_(kāi)__．【答案】3【分析】利用公切線與隱零點(diǎn)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于公切點(diǎn)的對(duì)勾函數(shù)求值域問(wèn)題，即可得到答案.【詳解】原不等式等價(jià)于，由與的圖象平移變換可知，若滿(mǎn)足題意，則只要小于與兩個(gè)函數(shù)相切時(shí)的值即可.設(shè)公切點(diǎn)為，則有，所以，所以，令，則，故單調(diào)遞增，而，故，使得，所以，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得，故最大整數(shù)m取3.故答案為：3.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立求參數(shù)問(wèn)題，屬于壓軸題.常見(jiàn)的方法為：（1）分離參數(shù)為恒成立（）或（）即可；（2）數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)誰(shuí)在上方問(wèn)題即可；（3）討論最值（或）即可.（4）有些小題可以直接利用常見(jiàn)的函數(shù)放縮（）求解.四、雙空題16．螺旋線這個(gè)名詞來(lái)源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個(gè)固定點(diǎn)開(kāi)始向外逐圈旋燒而形成的曲線，如圖甲所示．如圖乙所示陰影部分也是一個(gè)美麗的螺旋線型的圖案，它的畫(huà)法是這樣的：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，取正方形ABCD各邊的四等分點(diǎn)E，F(xiàn)、G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點(diǎn)M，N，P，Q，作第3個(gè)正方形MNPQ，依此方法一直繼續(xù)下去，就可以得到陰影部分的圖案，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，后續(xù)各正方形的邊長(zhǎng)依次為；如圖乙陰影部分，直角三角形AEH的面積為，后續(xù)各直角三角形的面積依次為，則___；記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于恒成立，則的最大值為_(kāi)__．【答案】

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##【分析】先求正方形邊長(zhǎng)的規(guī)律，再求三角形面積的規(guī)律，就可以求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而就可以求出的表達(dá)式，再用參數(shù)分離求的最大值即可.【詳解】由題意，由外到內(nèi)依次各正方形的邊長(zhǎng)分別為，則，，……，，于是數(shù)列是以4為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，則.由題意可得：，即……，于是.所以，，是關(guān)于的增函數(shù)，所以，由恒成立得，令，所以當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，先寫(xiě)出數(shù)列的前幾項(xiàng)，通過(guò)找規(guī)律發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系從而得到通項(xiàng)公式.五、解答題17．在中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足．(1)求角B的大??；(2)若，設(shè)BD是AC邊上的中線，求BD的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用兩角和差正余弦公式及正弦定理化簡(jiǎn)，即可求解；（2）利用余弦定理求出，再利用平面向量關(guān)系化簡(jiǎn)即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理得，即，化?jiǎn)得，因?yàn)椋?，所以，所以，又，所以；?）由（1）得，則，又，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)锽D是邊AC上的中線，所以，兩邊平方可得：，則，所以，所以中線BD的最大值為.18．設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義即可證得數(shù)列是等比數(shù)列；（2）先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法即可求得其前n項(xiàng)和．【詳解】（1）數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，由，可得,整理得，即，又，則數(shù)列是首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）得，則，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，，又，則數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為則，則數(shù)列的前n項(xiàng)和．19．昭通蘋(píng)果種植歷史悠久，可追溯到民國(guó)十五年（1926年），法國(guó)人賈海義從歐洲引入，種植于昆明并傳入昭通，昭通蘋(píng)果主要品種有金帥，紅富士等，經(jīng)過(guò)馴化的富士系列蘋(píng)果在昭陽(yáng)區(qū)種植產(chǎn)量高、口味好、耐貯藏、含糖量高、風(fēng)味住，有成熟早、甜度好、香味濃、口感脆等特點(diǎn)，昭通蘋(píng)果開(kāi)發(fā)公司從進(jìn)入市場(chǎng)的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽檢100個(gè)，利用等級(jí)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)得到數(shù)據(jù)如下：等級(jí)A級(jí)B級(jí)C級(jí)個(gè)數(shù)504010(1)以表中抽檢的樣本估計(jì)全市“昭通蘋(píng)果”的等級(jí)，現(xiàn)從全市上市的“昭通蘋(píng)果”中隨機(jī)抽取10個(gè)，求取到4個(gè)A級(jí)品的概率；(2)某超市每天都采購(gòu)一定量的A級(jí)“昭通蘋(píng)果”，超市記錄了20天“昭通蘋(píng)果”的實(shí)際銷(xiāo)量，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：銷(xiāo)量（kg）150160170180190200天數(shù)245621今年A級(jí)“昭通蘋(píng)果”的采購(gòu)價(jià)為6元/kg，超市以10元/kg的價(jià)格賣(mài)出．為了保證蘋(píng)果質(zhì)量，如果當(dāng)天不能賣(mài)完，就以4元/kg退回供貨商．若超市計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)170kg或180kg“昭通蘋(píng)果”，你認(rèn)為應(yīng)該購(gòu)進(jìn)170kg還是180kg？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)180kg，理由見(jiàn)解析【分析】（1）首先求A級(jí)品的概率，再根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件求概率；（2）分別求出購(gòu)進(jìn)170kg和180kg時(shí)，兩種情況的平均利潤(rùn)，再比較后，即可確定.【詳解】（1）由抽檢表中的數(shù)據(jù)可知，A級(jí)品的概率為，所以10個(gè)中有4個(gè)A級(jí)的概率；（2）若超市購(gòu)進(jìn)時(shí)，利潤(rùn)為時(shí)，賣(mài)出的的千克數(shù)為，則的可能取值為150，160，170，的可能取值為，，，,,,則的分布列為680620560,若超市購(gòu)進(jìn)時(shí)，利潤(rùn)為時(shí)，賣(mài)出的的千克數(shù)為，則的可能取值為150，160，170，180的可能取值為,，，，,,,則的分布列為720660600540,,所以超市應(yīng)購(gòu)進(jìn)180kg.20．如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為菱形，，△PAC為等邊三角形，點(diǎn)Q為棱PB上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求證：；(2)若PD⊥平面ABCD，問(wèn)動(dòng)點(diǎn)Q在何處時(shí)，使得平面AQD與平面CQD的夾角的余弦值為？【答案】(1)見(jiàn)解析(2)點(diǎn)是的中點(diǎn)【分析】（1）通過(guò)證明平面，即可根據(jù)定義證出；（2）以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD所在直線為z軸，建系，根據(jù)平面AQD與平面CQD的夾角公式列方程，化簡(jiǎn)求得.【詳解】（1）連接BD交AC于點(diǎn)O，連接．是的中點(diǎn)，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）因?yàn)槠矫鍭BCD，平面，所以平面平面，以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B所在直線為x軸，以O(shè)C所在直線為y軸，以過(guò)點(diǎn)O垂直平面ABCD所在直線為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系．設(shè)OB＝1．，，，，，設(shè)，則，，則，，，，設(shè)平面AQD的法向量為，，故可設(shè)，同理可求得平面的法向量為，設(shè)平面AQD與平面CQD的夾角為，，則．即，即點(diǎn)是的中點(diǎn).21．已知點(diǎn)在拋物線上，為拋物線的焦點(diǎn)，且，（