2021年上半年教師資格證《數(shù)學學科知識與教學能力》(高級中學)試題網(wǎng)友回憶版

參考答案：參考答案：B參考答案：參考答案：C2021年上半年教師資格證《數(shù)學學科知識與教學能力》(高級中學)試題(網(wǎng)友

回憶版)［單選題］1.在空間直角坐標系，直線 平面3x-2y-z+5=0的位置關系是()相交且垂直相交不垂直平行 直線在平面上參考答案：C參考解析：本題考查空間解析幾何的線面關系。由題意可知直線的方向向量為s=(l,2,-1),過定點(2,11,-1),平面的法向量n=(3,-2,-1),因為5.n=0,定點(2,11,-1)不在平面上面上，故直線與平面的關系為平行。故本題選C。［單選題］2.使得函數(shù) 一致連續(xù)的x取值范圍是()。同心］TOC\o"1-5"\h\z(-81)(1,+8)(-8,+8)參考答案：A本題考者極限與連續(xù)中的一致連續(xù)。因為 1-X的定義域為(―i)u(iz),故小在1)小-8)上連續(xù)，但不_致連續(xù)，而［。加［訓If‘)5故在［。卽使L參考解析：致連續(xù)。故本題選A。 ，［單選題］3.方程的整數(shù)解的個數(shù)是0123原方程可化簡為('或('一伽「陽-2)?。，所以此方程的整數(shù)解為為T和Xq2,共兩個。故本題選參考解析：C。［單選題］4.設函數(shù)y=f(x)在xO的自變量的改變量為AX,相應的函數(shù)改變量為△y,O(AX)表示AX的高階無窮小.若函數(shù)y=f(x)在xO可微，則下列表述不正確的是()4'■，(％)*■廣(％)*-0(土)頌■/(%)山D￥?4-。(囲4?廣(％)次參考答案：C參考解析：A選項是微分的概念，正確;B選項是微分的有限增量公式，正確;C選項不是微分的增量公式，錯誤;D選項是函數(shù)增量與微分的關系，正確。故本題選C。［單選題］5.拋擲兩粒正方體骰子(每個面上的點數(shù)分別為1,2,....，6),假定每個面朝上的可能性相同，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和等于5的概率為()TOC\o"1-5"\h\z5/361/91/121/18參考答案：B參考解析：本題考查古典概型概率。拋擲兩次兩粒正方體骰子出現(xiàn)的情況共有6x6=36種，向上點數(shù)的情況有(1,4),(2,3)、(3,2)、(4,1)4種情況,故點數(shù)之和等于5的概率為4/36=1/9,故本題選B。［單選題］6.對于"”矩陣"存在心$矩陣恥'°’使得AB二。成齡牖到疑KA的秩rank。滿足()rank(A)Wnrank(A)rank(A)Nnrank(A)>n解析必要性，由條件可設￡= 為…，0),則.技=4(角缶，"，，妃)，由題惹可知方為M厚向星，故玲9亢中至少有壽向星。若?技,°,貝II“.0(丿*…,S)因此q.o有耳涪解，故WE；充分性：若W)<。則方程組仙?0有非零解，設g解為角ME即?也?°,(/■12l>s),令B= fl.,-,0),則參考解析：『蝦』故本題選B。［單選題］7.《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版2020年修訂)》中明確提出的數(shù)學核心素養(yǎng)不包括()數(shù)據(jù)分析直觀想象數(shù)學抽象合情推理參考答案：D參考解析：本題考查高中數(shù)學課程標準相關內(nèi)容。數(shù)學學科核心素養(yǎng)包括：數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析。ABC正確，D選項合情推理是數(shù)學教學論的相關概念。故本題選D。［單選題］8.下列函數(shù)：/(x)-x,,^(x)-e/(x)-x,,^(x)-e,-lnx:,A(x)-x'-tanx,D(x)--1,'為無理數(shù)其中初等函數(shù)的個數(shù)是()TOC\o"1-5"\h\z1個2個3個4個參考答案：C參考解析：解析本題考查初函數(shù)。A、B、C均為初等函數(shù)，分段函數(shù)不是初等函數(shù)。故本題選C。［問答題］1.已知三維空間中的兩點A,B,其距離為2c,求到A,B兩點距離之和等于2a(0參考答案：詳見解析

由靈意可知，該立住囹形為一個旋鋳槌球而，可由了<r~cX：亠廣.rT

繞著海族我一周得至J,方程為扌f宀了，參考解析:［問答題］2.所以由橢球面的體積公弍辱:所求立弘圖彩的為積為參考解析:［問答題］2.所以由橢球面的體積公弍辱:所求立弘圖彩的為積為；S(W?C：).:一c：)A(x)-/5。0,A(x)-/5。0,其他l-e'-k?lE-l設顧客在某銀行窗口等待月鸚的時間x(min)的槪率密度為用變星Y表示顧客對銀行服務質(zhì)星的評價值，若顧客等待時1可颼過5(min),貝i研價值”1否或g則，評價值Y-1,即 〔>"5. 請回卦列問題：求x的分布函數(shù)；求y的分布律參考答案：無參考解析：(1)當xWO時，fx(x)二0,則XK)分布函數(shù)*.=丄?°心=°當x>o時九e=V,則X&9分布函數(shù)「V ［0x^O戶(、).0?匚捉以.yW.1.J F(x)T..a? ，綜上，X的分布函數(shù) ［l-e?x>。(2)-1-e1，則">5)?1"心5).廣，所以丫的分布律為［問答題］3.

已瀝程組I"-"宀有唯一解當且僅當行列式%%%已瀝程組I"-"宀有唯一解當且僅當行列式%%%fl：ia：%角】角：心于零，請T5U問題。（1） 行列式②的幾何意義是什久？（2） 上述結論的幾何意義是什么？參考答案：無參考解析：（1）行列式②的幾何意義就是行列式中的行或列向量所構成的超平行多面體的有向面積或有向體積。（2）上述結論的幾何意義是方程組中三個方程所表示的平面交于一點。［問答題］4.數(shù)學課堂教學過程中，為了鼓勵學生獨立思考深入理解問題，教師常常在呈現(xiàn)任務后，不是立刻講解，而是留給學生足夠的思考時間，這種教學方式可稱之為"課堂留白”請談談課堂留白的必要性及其意義。參考答案：無參考解析：必要性：新課程要求以學生為主體，學生是課堂的主人，教師是引導者。倡導積極主動、勇于探索、動手實踐、合作交流的學習方式，學生的數(shù)學學習活動不應限于接收、記憶、模仿和練習。意義：&有助于發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的〃再創(chuàng)造”過程，學生被動接受為主動探索。課堂上長時間的“滿堂灌”不利于學生接受和理解所學知識，適時留出一點空白時間，反而能舒緩學生的緊張心理，集中學生的注意力，提高思維的質(zhì)量。能極大地發(fā)揮學生主觀能動性，激發(fā)學生積極探索、自主學習數(shù)學的興趣，激發(fā)學生的求知欲，啟迪學生的思維。［問答題］5.給出指數(shù)函數(shù)模型的兩個實際背景，分別寫出其對應的函數(shù)解析式，并簡述指數(shù)函數(shù)模型的特點。參考答案：無參考解析：實際背景1：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間成為〃半衰期”。設人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P,則碳14含量P死亡年數(shù)t的對應函數(shù)解析式為實際背景2：某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，...設分裂x次得到的細胞個數(shù)為y,則其對應函數(shù)解析式為。指數(shù)函數(shù)模型特點：從時間上講，i示函數(shù)模型對時間間隔長短、否相等沒有要求，因此建模相對比較靈活。 從建模計算而言，指數(shù)函數(shù)模型是非線性模型，需要參數(shù)的初始值。從實際應用上講，指數(shù)函數(shù)適用于原始數(shù)據(jù)非負且符合指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律特點的情形?！甔】-2x:-4^-5x4--6x.-x,-2x4?-2‘2耳-5'：-9另?1氏??14［問答題］6.已知非齊次線性方程組岳-3“5呂-四=￡（1） a為何值時，對應齊次線性方程組解空間的維數(shù)為2?（2） 對于（1）中確定的a值，求該非齊次線性方程組的通解參考答案：無參考解析：（1）題意知，齊次線性方程組解空間維數(shù)為2,即其系數(shù)矩陣秩為2,*12T-5、'12-4-5'01-1-201-1-225-9-12?01-1-2則，.13-5a.01-1a-5丿則a+5=-2,解得，a=-7由（1制，a二-7則對増廣矩陣B二（Ab作初等行變?yōu)樾须A梯型矩有：B=（A;b）=12-4-5-6,1-4-5-6、‘12-401-1-2-2、01-1-2-201-1.25-9-121~-1401-1-2-2000U3-5-7-8.1-1-2-2』000［問答題］7.數(shù)學運算能力是中學數(shù)學教學需要培養(yǎng)的某本能力。學生的數(shù)學運算能力具體表現(xiàn)為哪些方面？請以平面向量運算為例予以說明。參考答案：無參考解析：運算能力是中學數(shù)學教學的一項重要活動，在數(shù)學教學中貫穿始終，在運算律指導下，對具體式子進行演繹推理。

學生的數(shù)學運算能力具體表現(xiàn)為以下幾個方面：合理運算準確運算有效運算靈活運算簡約運算平面向量運算為例說明：中學階段平而向量運算的具體學習內(nèi)容：(1)借助實例和平面向量的幾何表示，掌握平面向量加、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義(2)通過實例分析，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義。理解兩個平面向共線的含義。［問答題］8.案例：在學習了”基木不等式”后,教帥要求學生解決如下問題設x、y均為正數(shù)，且滿足、-2)T，求x)的最小值。T2學生給岀的解法如下：因為x,y均為正數(shù),所以丄丄?土馬二應，①有由x—得：由?2兩幺=l②由?③二-二2-^-22x275-4很結合①③得，*)處從而')的最小值為4很。指出上述解答的錯誤之處，分析錯誤原因，并給出正確解法簡述求二元函數(shù)最值的一般解法有哪些？參考答案：無參考解析：(1)上述解答的錯誤之處在于學生在解題過程中兩次用到了均值不等式，分別是倒②,對于航x?x?2f等號成立時，即為X兒可得x=y;而對于3恩號成立時為 2。兩次y值不風正確解法因為X、y為正實救且x+2y=L所以：-卜（、-2}'）?卜},?3-￥-訐3-2^^?3-2>丄_丄,當且颶、5=眼時取等號，所以xy鈉小值3-2很(2)二次函數(shù)求最值的一?^法設謀二次函數(shù)一^為）'.以.版?c1、求導八杰或-七求導可得y 令〉■垃*,可得'—%時y取最值x.b_2、 配方：可利用配方法將）'■"***配平為）f當 2a時取其最偵k為最值3、 戳U用根的判別式分海寸論抻，可以令）?冰I"0因式分解該一元二次方程求兩個根，最值一定位于兩根的中間值［問答題］9.〃等比數(shù)列前n項和公式”是普通高中數(shù)學教學的重要內(nèi)容，請完成下列任務。（1） 設計一組問題，說明學習"等比數(shù)列前〃項和公式"的重要性（2） 教學設計寫出等比數(shù)列前n項和公式，并給出兩種不同的推導方法；（3） 教學設計針對（2）中的一種推導方法寫出教學過程參考答案：無參考解析：（1）講解國王賞麥的故事：在古印度，相傳國王要獎勵國際象棋的發(fā)明者西薩，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我模盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王宮廷數(shù)學家計算，結果出來后，王大吃一驚。為什么呢？問題1：西薩要的是多少粒小麥？問題2：1+2+'+'+…+2仝究竟等于多少？問題3：分析一下這個和式有什么特征？如何求和？實際問題中，要對等比數(shù)列求和，學生感受到學習等比數(shù)列前n項和Sn的必要性。（2）

4】-/)第項租減法S.n/+o： ++a.、+gS.FF-+jf?財…D所以(I)&.f德’I?swvs°i=a：q心?a^q因為％=%?￡所以。：.與.??'[?冬■g(G+%..++a>i)S.-A—glS.-q)傳(l?g)S.?/?％Q所以博1-9①導入：濟解(1)中國王寞麥的哉爭2新授譚